Тема урока: "Логарифмы и сложный процентный рост"

Тип урока: урок применения основного математического аппарата при решении задач практического содержания.

Цели урока:

• Обобщить основные математические понятия: процент, логарифмы и их свойства, основное логарифмическое тождество, формула перехода от одного основания к другому.
• Продолжить формировать умение применять основной математический аппарат при постановке и решении задач, возникающих в повседневной практике и непосредственно связанных с процентами.
• Развивать умение читать диаграммы и графики, грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления.

Оборудование урока: доска, графики показательной и линейной функций, диаграммы процентного роста, карточки-задания, таблицы с формулами, калькуляторы.

Учитель: На практике человек всегда интересуется такими вопросами, как, например, насколько быстро растёт та или иная величина, в особенности, если эта величина имеет «экономический» характер – скажем платёж, если его не внести вовремя; сумма денег на его счёте в банке. Если имеется необходимость производить аналогичные одинаковые вычисления для различных исходных сумм и процентных ставок, можно составить формулу или найти её в справочнике и проводить расчёты с помощью вычислений на калькуляторе.

Вопрос 4. Какова формула перехода логарифма от одного основания к другому?

Устные упражнения (на доске)

1. Найти % от 5000 рублей: 1%, 10%, 50% (50, 500, 2500)
2. Сколько % составляет число10 от: 100, 50, 20, 10 (10%, 20%, 50%, 100%)
3. Какое из уравнений имеет положительный корень 2^х=70; 7^х=0,5; 0,1^х=1?
4. Вычислить, пользуясь определением и свойствами логарифма, формулу перехода к новому основанию: log₂16; log₃81; log_0,31; log₁₆2; log₉27; log₄8+log₄2; log₁₀15-log₁₀0,15; 2log₃3^1/2.

Задача 1. Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 10%. Какую сумму может получить через год человек, вложивший в этот банк 32 тыс.руб.? (35200р)

Задача 2. Минимальная заработная плата 1000 рублей была повышена на 25%. Каков новый размер минимальной заработной платы?

, где p – количество процентов, S – первоначальная величина.

Задача 3. Сколько надо заплатить, если квартплата 500 рублей просрочена, пеня равна 1% за каждый день просрочки, а оплата производится с задержкой на 30 дней? (650 рублей)

Задача 4. Какая сумма будет на счёте вкладчика из первой задачи через 5 лет, если процент начисляется только на вложенную сумму? (48 тыс. рублей)

Вопрос 5. Платежи бывают разные, от чего зависит их размер?

Ответ: Размер платежей зависит ещё и от времени, поэтому появилась необходимость составить общую формулу платежей: , где n – число дней.

Вопрос 6. Какую функциональную зависимость задаёт простой процентный рост?

Ответ: Линейную, вида y = kx + b.

1. Соедините стрелками утверждения, означающие одно и то же:

2. Начальная сумма составляет 2000 рублей. Ежемесячно она увеличивается на 5%. Какая из перечисленных формул соответствует данному условию?

 .

3. Соответствуют ли формулы уравнениям прямой:

По графику сравнить скорости увеличения вкладов и определить, на каком из счетов через 50 лет сумма будет больше?

4) Объяснение нового материала ( постановка проблемы перед учащимися, в виде задачи на нахождение сложных процентов, и её решение)

III. Сложный процентный рост:

В сбербанке России для некоторых видов вкладов (называемые срочными) принята следующая схема начисления денег на сумму, внесённую в банк. Каждый год она возрастает на некоторое число процентов, если в конце года вкладчик не снял «проценты», то они капитализируются и в конце года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму, то есть начисляются «проценты на проценты».

Задача 1. Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 5 лет, если проценты будут начисляться на предыдущую сумму? (учащиеся подсчитывают с помощью калькуляторов) 32000·1,1= 35200; 35200·1,1=38720; 38720·1,1=42592; 42592·1,1=46851,2; 46851,2·1,1=51536,32. Но так высчитывать суммы очень долго и неудобно, значит можно посчитать следующим образом: 32000·1,1⁵=51536,32.

В математике говорят о сложных процентах и используют следующую формулу: , которая выражает функциональную зависимость вида y = a^x (При наличии времени можно вывести формулу)

Задача 2. На счёт в банке положили 1 млн. рублей под 30% годовых. С помощью графика функции y = 1,3^x определить, через какое время сумма на счёте увеличиться в 2, 5, 8 раз?

Вопрос: Сколько решений имеет задача? И как найти решение без графика функции?

Ответ: Единственное решение, но оно будет не точным. С помощью логарифма: , значит, используя формулу сложных процентов и определение логарифма, можем более точно определить время, за которое происходит увеличение вклада: .

5) Решение задач в группах (допускается распределение ролей, если урок проводится в форме игры)

- По диаграмме определить приблизительно сумму на счёте через 11 месяцев (5 месяцев), и определить процент увеличения вклада за месяц.

- Вычислить, через сколько месяцев сумма на срочном вкладе достигнет 161тыс.руб. (285500 руб.), если было внесено 100 тыс.руб. и банк предлагает 10% в месяц?

6) Домашнее задание Построить таблицу, график и диаграмму роста вклада (с шагом в один год), считая, что начальная сумма 100 тыс.руб., а процентная ставка 20% годовых. С помощью вычислений сравнить, через какое время при разных процентных ростах будет один и тот же результат? В каком случае суммарный вклад за 10 лет будет больше?

7) Итог урока:

Объявление оценок за тест и за работу на уроке.

Вопрос: В чём разница простого и сложного процентного роста?

Ответ: Разница состоит в том, что при простом росте процент начисляется исходя из начального значения величины, а при сложном он исчисляется из предыдущего значения.

Вопрос: Вкладывая деньги в банк и знакомясь с условиями, какой вопрос вы обязательно должны задать работнику банка, чтобы вложение было выгодным?

Ответ: Какие проценты выплачивает банк – простые или сложные?