Графический способ решения уравнений

Разделы: Математика

Завершая изучение курса алгебры, необходимо ещё раз остановиться на общих подходах к решению уравнений - это будет и подведением итогов, и хорошей подготовкой к предстоящим экзаменам.

Здесь мы остановимся на функционально-графическом методе решения уравнений. Этот метод замечательно прорабатывается в УМК А.Г.Мордковича “Алгебра и начала анализа”, в котором именно функционально-графическая линия выбрана в качестве приоритетной из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры.

Данный метод помогает найти точное или приближённое значения корней, позволяет найти количество корней уравнения. При построении графиков и решении уравнений мы используем свойства функций, поэтому метод и называется функционально-графическим.

В данном случае мы рассматриваем только решении уравнений, хотя с помощью данного метода могут решаться и системы уравнений, и неравенства, и системы неравенств.

Для решения уравнений “делим” его на две части, вводим две функции, строим их графики, используя свойства функций, находим координаты точек пересечения этих графиков – абсциссы этих точек и есть корни нашего уравнения. В процессе решения уравнений повторяются и свойства различных функций.

Приведённые ниже уравнения можно использовать для работы в классе, для домашних заданий, для самоподготовки и т.д.

Уравнения, решаемые функционально-графическим методом

1. Решение уравнений P(x) = 0, где Р(х) – многочлен, степень которого больше 2

Уравнение

Функции

Ответ

х3 + х – 10 = 0

f(x) = х3,
g(x) = 10 – х

2

х5 + х – 34 = 0

f(x) = х5,
g(x) = 34 – х

2

х4 + 5х – 6 = 0

f(x) = х4,
g(x) = –5х + 6.

– 2; 1

х3 + 3х2 = (х + 2)6 + 4

f(x) = х3 + 3х2,
g(x) = (х + 2)6 + 4.

– 2

2. Решение уравнений с квадратным корнем

Уравнение

Функции

Ответ

– 2х = 0

f(x) =,
g(x) = 2х.

1

– х + 1 = 0

f(x) =,
g(x) = х – 1.

3

4 –= х

f(x) = –,
g(x) = х – 4.

2

3 –– 3х = 0

f(x) = –
g(x) = 3х – 3

1

3. Решение уравнений с модулем

Уравнение

Функции

Ответ

| х + 2 | + х = 0

f(x) = | х + 2 |,
g(x) = – х.

– 1

| х – 3 | – х + 1 = 0

f(x) = | х – 3 |,
g(x) = х – 1.

2

х2 – | х | = 0

f(x) =  х2,
g(x) = | х |.

– 1; 0; 1

х2 – 2 + | х | = 0

f(x) = х2 – 2,
g(x) = – | х |.

– 1; 1

х2 – 2х + | х – 2 | = 0

f(x) = х2 – 2х,
g(x) = – | х – 2 |.

1; 2

х2 + 2х + | х + 4 | = 0

f(x) =(х2 + 4х),
g(x) = – | х + 4 |.

– 4; – 2

| х | – = 0

f(x) = | х |,
g(x) = .

1

| х | + = 0

f(x) = | х |,
g(x) = – .

– 2

4. Решение уравнений с тригонометрическими функциями

Уравнение

Функции

Ответ

sin х – х + p = 0

f(x) = sin х,
g(x) = х – p.

sin х – + 1 = 0

f(x) = sin x,
g(x) =– 1

sin х – (х – )2 – 1 = 0

f(x) = sin х,
g(x) = (х –)2 + 1

sin х + (х – )2 + 1 = 0

f(x) = sin х,
g(x) = – (х –)2 – 1

sin х – | х –| – 1 = 0

f(x) = sin x,
g(x) = | x –| + 1

sin х – | х +| + 1= 0

f(x) = sin х,
g(x) = | х + | – 1

–

sin х += 0

f(x) = sin х,
g(x) = –

0

sin х – =0

f(x) = sin х,
g(x) = –

cos х – х – 1 = 0

f(x) = cos х,
g(x) =  х + 1

0

cos х – х + = 0

f(x) = cos х,
g(x) = x –

cos х – х2 – 1 = 0

f(x) = cos х,
g(x) = х2 + 1

0

cos х + (х – p )2 + 1 = 0

f(x) = cos х,
g(x) = – (х – p )2 – 1

cos х + | х | –1 = 0

f(x) = cos х,
g(x) = – | х | + 1

0

cos х –= 0

f(x) = cos х,
g(x) =

5. Решение уравнений с показательной и логарифмической функциями

Уравнение

Функции

Ответ

3х + х – 4 = 0

f(x) = 3х,
g(x) = 4 – х

1

3х – – 2 = 0

f(x) = 3х,
g(x) = + 2

1

3х – = 0

f(x) = 3х,
g(x) =

1

log2х + х – 3 = 0

f(x) =  log2х,
g(x) = 3 – х

2

log3х + х – 1 = 0

f(x) = log3х,
g(x) = 1– х

1

log2х – = 0

f(x) = log2х,
g(x) =

2

log2х – (х – 1)2 = 0

f(x) = log2х,
g(x) = (х – 1)2.

1; 2

Надеюсь, подборка пригодится учителям в их работе.