Цели:
- Формирование умений и навыков решения уравнений третьей степени.
- Развитие у школьников творческого мышления, формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.
- Научить школьников применять современное программное обеспечение в решении уравнений третьей степени.
Ход урока.
I. Сегодня вы познакомитесь с основными методами решения уравнений третьей степени. Такие уравнения часто встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы и в текстах ЕГЭ. Рассмотрим основные способы решения уравнений третьей степени.
1.Способ подбора.
Пример: Решите уравнение: х?- х?- 4х + 4=0
Легко видеть, что одним из корней данного уравнения является х = 1 (он является одним из множителей свободного члена). Проверим это, 13-12-4*1+4=0. Разделим левую часть уравнения на множитель (х-1)
Таким образом, левую часть уравнения можно представить в виде произведения двух множителей.
х?-х?-4х+4=( х-1)( х?-4)=0, теперь задача сводится к решению совокупности уравнений: х-1=0, х?-4=0. Из первого уравнения находим х1=1, из второго - х2=2, х3=-2. Поскольку все преобразования были равносильными, найденные три значения являются корнями уравнения.
Ответ: х1=1, х2=2,х3= -2.
2. Схема Горнера.
Всякий многочлен f(х)=аn xn+an-1xn-1+…+а1x+a0 можно представить в виде f(х)=(x-a)ng(x)+r где g(x)-есть неполное частное, а r-остаток bn-1=an, bn-2=an-1+abn-1,…, bo=a1+ab1, r=ao+abo.
При вычислениях применяют таблицу. Верхняя строка задана, а нижняя вычисляется по формулам
| an | an-1 | ….. | a1 | a0 | |
| а | bn-1 | bn-2 | b0 | r |
Пример: Решите уравнение: x3+2x2+3x+6=0
Методом подбора находим один из корней корень уравнения х=-2, составляем таблицу.
| 1 | 2 | 3 | 6 | |
| -2 | 1 | 0 | 3 | 0 |
Отсюда следует х2+3=0 - решения нет.
Ответ: х= -2
3. Применение табличного процесса Excel
Табличный процессор Excel можно применить для графического решения уравнений третьей степени. Из курса математики нам известно, что корнями уравнения являются значения точек пересечения графика функции с осью абсцисс. С помощью программы Excel можно строить практически любые графики. Но графическое решение дает только приблизительные результаты.
Пример: Решите уравнение: х3-2х2+4х-12=0
Это уравнение мы решим с помощью программы EXCEL.
Алгоритм будет следующий:
1. Построим таблицу: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента х=0, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу А2+0,15 и скопировать её до ячейки А20.
2. При заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2*А2-2*А2*А2+4*х-12, которая затем копируется до ячейки В20.
С помощью мастера диаграмм выберем тип диаграммы Точечная и построим диаграмму.
На диаграмме видно, что график данной функции имеет точку пересечения с осью ОХ, которое является решением. х=1,9
Ответ: х=1,9
Таким образом, мы видим, что используя программу Excel можно графически решить практически любое уравнение.
II. Закрепление. Работа в группах.
Класс делится на 3 группы, каждой группе дается по одному примеру и указывается метод решения:
1 группа: х3+2х2+3х+6=0 – первым способом
2 группа х3+х2-4х-4=0 –схема Горнера
3 группа 2х3-х2-20х+15=0 – графически
Представитель от каждой группы показывает и защищает решение своего уравнения на доске.
III. Всему классу дается уравнение 6х3+х2-11х-6=0, которое нужно решить тремя способами.
Заранее приготовленное решение, через мультимедийный проектор, показывается учащимся для проверки правильности решения.
IV. Домашняя работа.
Решите уравнения любым способом
4х3-16х2-17х-3=0
10х3-3х2-2х+1=0
V. Итог урока. Какова же была цель урока? (Научиться решать уравнения третьей степени). Своими ответами вы показали, что цель была достигнута