Тема урока: "Применение свойств функции к решению уравнений и неравенств"

Кудрявцева Наталья Николаевна, учитель математики

Разделы: Математика

Цель урока: показать нестандартные методы решения уравнений и неравенств основанных на свойствах функции.

Задачи:

Рассмотреть некоторые методы нестандартного решения уравнений и неравенств.
Работа над умением решать нестандартные уравнения и неравенства, используя ранее полученные умения и навыки.
Расширить математический кругозор.

Оборудование: Магнитная доска, раздаточный материал, таблица.

Тип урока: обобщающий урок по теме.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– На уроке вы познакомитесь с нестандартными методами решения уравнений и неравенств, основанных на свойствах функции.

1. Повторим свойства функции по графику: (Фронтальная работа с учащимися).

II. Решение задач (устно)

1. Решите уравнение .

Ответ: Множества значений функций не имеют общих элементов, следовательно, уравнение не имеет решение.

2. Решите неравенство .

Ответ: Сумма неотрицательных чисел равна 0 тогда и только тогда, если каждое слагаемое равно 0; т.е. единственное решение неравенства 3.

3. При каких значениях р уравнение не имеет решения.

4. Решите неравенство .

Ответ: Решения нет.

III. Практическая часть

(Раздаточный материал).

1. Решить уравнение: .

Решение:

О.Д.З. .

Проверим будут ли корни уравнения корнями данного уравнения верно. Значит, корни уравнения являются корнями данного уравнения. Решим его: t = .

Ответ: .

2. Решить неравенство: .

Решение:

О.Д.З. ;

Решим последнее неравенство системы:

Решим первое неравенство системы с учетом –1< t < 1

При выполняется второе неравенство системы, значит решением данной системы неравенств и решением неравенства будет интервал .

Ответ: .

3. Найти все значения р, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Решение:

Учитывая, что 1+ = ,получим . Это уравнение равносильно системе:

Уравнение имеет хотя бы один корень, если число р принадлежит множеству значений функции . Найдем :

, так как функция непрерывна, значит и функция непрерывна и принимает все значения от 0 до 13. По условию , то значение р – любое число из промежутка

Ответ: при уравнение имеет хотя бы один корень.

4. Решить уравнение .

Решение:

О.Д.З.

.

Функция непрерывна и монотонно убывает на области определения, а функция непрерывна и монотонно возрастает на области определения, то уравнение имеет единственный корень. Проверим верно, значит х = 2 единственный корень уравнения.

Ответ: 2.

5. Решить уравнение

Решение:

Рассмотрим функции и .

Множество значений функции интервал.

Множество значений функции отрезок .

Уравнение имеет решение только в том случае, когда каждая часть уравнения будет равна 1. при х = – 2. Проверим будет ли равно при х = – 2.

g(– 2) = cos 4, значит х = – 2 – единственный корень уравнения.

Ответ: – 2.

6. Решить уравнение:

Решение:

Рассмотрим функции и .

Множество значений функции отрезок , а множество значений функции интервал . Левая часть уравнения при всех значениях х не более 1, а правая – не меньше 2. Значит уравнение решения не имеет.

Ответ: решения нет.

7. Найти все значения р, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Решение: Учитывая, что получим , что равносильно системе:

Уравнение имеет хотя бы одно решение, если число р принадлежит множеству значений функции .

Найдем множество значений функции .

Функция непрерывна, т.к. непрерывна функция и значит принимает все значения от 0 до 8. . Но , значит значение р – любое число из промежутка .

Ответ: при уравнение имеет хотя бы один корень.

8. Решить уравнение: .

Решение:

Рассмотрим функции и .

Множество значений функции отрезок , а множество значений функции интервал . Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда каждая часть уравнения равна 4.

при х = 1. Проверим выполнение условия f(1) = 4:

, не выполняется условие, значит х=1 не является корнем уравнения.

Ответ: корней нет.

9. При каких значениях а уравнение имеет нечетное число корней.

Решение:

Выразим . Рассмотрим функцию .

при всех х; при всех значениях х

при всех значениях х.

; симметрична относительно начала отсчета.

Функция четная, график симметричен относительно оси ОУ, значит нечетное число корней уравнения будет только в том случае, когда х = 0 является корнем уравнения.