Тип урока: урок постановки учебной задачи.
Цели урока:
- обучение решению уравнений со знаком модуля на основе применения свойств уравнений;
- развитие навыков теоретического мышления с применением навыков элементарных операций с модулем и определения модуля;
- воспитание внимания и умения анализировать полученное решение, участвовать в диалоге с товарищами, учителем.
ХОД УРОКА
I. Повторение пройденного
Внимательно рассмотрите предложенные уравнения:
1) | х | = х + 5;
2) | х | = – 3х + 5;
3) | х – 3 | = 2;
4) | 2х – 5 | = х – 1;
5)= х – 1;
6) | 2х – 5 | = 2 – х;
7) | х + 2 | = 2(3 – х);
8) | 3х – 5 | = | 5 – 2х | ;
9) | х – 2 | = 3 | 3 – х | ;
10) | | х – 1 | – 1 | = 2.
Задание 1. Распределите данные уравнения по группам.
Учащиеся сначала выделили две группы. В первую группу вошли уравнения 1) –3), 5) –7). Ко второй группе были отнесены уравнения 8) и 9). Затем учащиеся заметили уравнение 10), содержащее знак модуля два раза. Окончательно было выделено три группы: 1-я группа – модуль содержится в левой части уравнения; 2-я группа – модуль содержится в обеих частях уравнения; 3-я группа – в уравнении содержится двойной модуль.
Учитель. Какую главную задачу мы должны будем решить сегодня на уроке?
Учащиеся. Мы должны научиться решать уравнения.
Учитель. Да. Но посмотрите еще раз на все эти уравнения и выделите их общую особенность.
Учащиеся. Все они содержат модуль.
Учитель. Как точнее сформулировать задачу нашего урока?
Учащиеся. Применять определение модуля при решении данных уравнений.
Учитель. Действительно, эту задачу мы и должны решить на уроке. По-другому ее можно сформулировать так: “Как решать уравнения с модулем?” Какие понятия, определения могут быть полезны при решении этой задачи?
Учащиеся.
1. Что такое модуль?
2. Определение модуля.
Учитель. Вспомним, что такое модуль.
Учащиеся. По определению:
| а | = |
если а > 0 если а < 0 |
Учитель. Что помогло вам так быстро воспроизвести это понятие?
Учащиеся. Опорный конспект.
Учитель. Обратитесь еще раз к опорному конспекту и приведите свои примеры.
Учащиеся. |10 | = 10; | – 20 | = 20; | 0 | = 0; | – 100 | = 100.
Задание 2. Вычислите | а |, если: а = 3; а = – 5. Определите, какие из предложенных решений верные.
1) | а | = а, если
, поэтому | 3 | = 3, так как 3 > 0 (число
положительное).
2) | а | =, если а < 0, поэтому | – 5 | = – 5, так как – 5 < 0 (число отрицательное).
Учащиеся. Решение 1) – правильное, решение 2) – нет.
Учитель. Запишите решение 2) правильно.
Учащиеся записывают: | а | = – а, еслиа < 0, поэтому | –5 | = – (– 5), так как число – 5 – отрицательное.
Задание 3. Преобразуйте любое из данных выражений к такому виду, чтобы в записи аналитического выражения не использовались знаки модулей.
а) | х – 3 |;
б) 2| х + 4 | + Зх;
в) | х – 1 | + | х – 2 |.
Большинство учащихся выбрали выражение б), выражение в) – чуть меньше, а выражение а) – единицы. Таким образом, учащиеся самостоятельно распределились на три группы. Были предложены следующие решения:
б) Если 2х + 4 
0, то есть х 
– 2, то | 2х + 4 | = 2х + 4 и мы получаем:
| 2х + 4 | + 3х = 2х + 4 + 3х = 5х + 4.
Если 2х + 4 < 0, то есть х < –2, то | 2х + 4 | = – (2х + 4) и мы получаем: | 2х + 4 | + 3х = – (2х + 4) +3х = –2х – 4 + Зх = х – 4.
Итак, по определению:
| 2х + 4 | + 3х = |
если х > – 2 если х < – 2 |
в) Самостоятельно задание учащиеся выполнить не смогли, потребовалась помощь учителя.
Если х < 1, то х – 1 < 0, х – 2 < 0, значит, | х – 1 | = – (х – 1), | х – 2 | = – (х – 2), поэтому | х – 1 | + | х – 2 | = – (х – 1) – (х – 2) = 3 – 2х.
Если 1 
х <
2, то (х – 1) 
0,
(х – 2) < 0, значит | х – 1| = х – 1, | х
– 2 | = – (х – 2), поэтому | х – 1| + | х –
2 | = (х – 1) – (х – 2) = 1.
Если х 
2, то
(х – 1) > 0, значит | х – 1 | = х – 1, | х
– 2 | = х – 2, поэтому | х – 1 | + | х – 2 |
= х – 1 + х – 2 = 2х – 3.
| х – 1 | + | х – 2 | =  |
если х < 1 если 1 < х < 2 если х > 2 |
а) Если х – 3 
0, то есть х 
3, то | х – 3 | = х – 3;
если х – 3 < 0, то есть х < 3, то | х – 3 | = (х – 3) = 3 – х.
| х – 3 | =  |
если х < 3 если х < 3 |
Учитель. Итак, повторяя, мы вспомнили, что модуль – это расстояние. Объясним это с помощью рисунков: | а – 0 | = | а | – расстояние на координатной прямой точки а от начала координат.
Учитель. Что такое | а – b | с точки зрения расстояния? | a – b | – это расстояние между точками а и b на координатной прямой.
Задание 4. Решите уравнение | х | = 5.
Учитель. Что нужно найти?
Учащиеся. Все значения x такие, что соответствующие точки х на координатной прямой удалены от начала координат на расстояние 5.
Учитель. Изобразите это на координатной прямой. Сколько получили точек?
Учащиеся. Две.
Учитель. Назовите их.
Учащиеся. 5 и – 5. (Отмечают их на координатной прямой.)
Учитель. Сколько корней имеет это уравнение?
Учащиеся. Два.
Учитель. Назовите их.
Учащиеся. 5 и – 5.
Учитель. Запишем решение этого уравнения.
| x | = 5,
x1 = 5,
x2 = –5.
Ответ: 5, –5.
Примечание. При решении уравнений 1) – 10) обычно составляют систему, содержащую уравнение, требующее решения, и неравенство, учитывающее определение модуля. В 6-м классе учащиеся еще не изучают решение числовых неравенств, поэтому мы вынуждены решать не систему, а уравнение, опираясь на определение модуля, и в конце делать проверку, чтобы удалить значения переменной, не являющиеся корнями уравнения.
Задание 5. Решите уравнение | х – 3 | = 2.
Учитель. Что нужно найти?
Учащиеся. Отметить расстояние от точки 3 влево и вправо на 2 единицы.
Учитель. Сколько точек получилось?
Учащиеся. Две.
Учитель. Изобразите это на координатной прямой.
Учащиеся изображают схематически.
Учитель. Найдите значения отмеченных точек при перемещении вправо и влево. Какие координаты отмеченных точек мы получим?
Учащиеся. 5 и 1.
Учитель. Что это за числа?
Учащиеся. Корни данного уравнения.
Учитель. Запишем решение данного уравнения.
| х – 3 | = 2.
Решение.
х – 3 = 2, х = 2 + 3, х = 5;
х – 3 = – 2, х = –2 + 3, х = 1.
Ответ: 5, 1.
Задание 6. Решите уравнение | 2х – 5 | = 2 – х. (Решение выполнить самостоятельно.)
Решение.
2х – 5 = 2 – х, 2х + х = 2 + 5, Зх
= 7, х = 2
;
2х – 5 = – (2 – х), 2х – 5 = –2 – х,
2х – х = – 2 + 5, х = 3.
Проверка: | 2 · 2 – 5 | = 2 – 2; | 2 · 2 – 5 | = – ; | 2 · 3 – 5 | = 2 – 3, | 2 · 3 – 5 | = –
1.
В обоих случаях значение модуля оказывается
меньше нуля, что противоречит свойству модуля.
Значит, х = 2
и х = 3 не являются корнями исходного
уравнения.
Ответ: нет решений.
II. Самостоятельная работа
Решите по выбору одно из следующих уравнений.
1. | х – 2 | = 1.
2. |
– 
| = х –
1.
3. | х – 2 | = 3 | 3 – х |.
Критерии оценок:
- оценка “3” – уравнение 1;
- оценка “4” – уравнение 2;
- оценка “5” – уравнение 3.
Перед самостоятельной работой решаем уравнение^
| Зх – 5 | – | б – 2х |.
Решение.
Зх – 5 = 5 – 2х, – (Зх – 5) = – (5 – 2х),
Зх + 2х = 5 + 5, х = 2;
Зх – 5 = – (5 – 2х), – (Зх – 5) = 5 – 2х,
Зх – 2х = – 5 + 5, х = 0.
Ответ: 0, 2.
Учитель. Сколько корней может иметь уравнение?
Учащиеся. Один, два или не иметь корней.
Учитель. Вы забыли еще один случай. Вспомните решение уравнения | 2х – 5 | = 2 – х. Сколько корней мы получили?
Учащиеся. Нуль.
Учитель. Какой мы записали ответ?
Учащиеся. Уравнение не имеет решения.
Учитель. Уравнение | | х – 1 | – 1 | = 2 мы решим на следующем уроке.
III. Задание на дом
Решите уравнения: 1), 4) и 7).
IV. Рефлексия
При помощи шкалы ответьте на вопросы: кто может решить уравнение самостоятельно; кому нужна помощь; кто не сможет совсем решить уравнение?
- Могу решить уравнение самостоятельно (1-я группа)
- Нужна помощь (2-я группа)
- Совсем не могут этого сделать (3-я группа)
V. Итог урока
2-й группе оказывается помощь товарищами (консультантами); 3-й группе – учителем.
Следующий урок начинается с решения уравнения | | х – 1 | – 1 | = 2.
Решение.
| х – 1 | – 1 = 2, | х – 1 | = 3;
тогда
х – 1 = 3, х = 4; х – 1 = – 3, х = – 2.
| х – 1 | – 1 = – 2, | х – 1 | = – 1;
тогда нет решения, так как модуль (расстояние) – неотрицательное число.
Проверка:
| | 4 – 1 | – 1 = 2, | | 3 | – 1| = 2, | 3 – 1 | = 2, | 2 | = 2, 2 = 2 – верно;
| | - 2 – 1 | – 1| = 2, | | –3 | – 1 | = 2, | 3 – 1 | = 2, | 2 | = 2, 2 = 2 – верно.
Ответ: – 2, 4.
Вопросы при решении уравнения.
1. Чем данное уравнение отличается от предыдущих? (Двойным модулем.)
2. Сколько сначала составим уравнений? (Два.)
3. Какие могут получиться уравнения? (| х – 1 | – 2 = 2, | х – 1 | = 3; | х – 1 | – 1 = –2, | х – 1 | = –1.)
4. Что можно сказать об уравнении | х – 1 | = –1? (Нет решений, так как модуль (расстояние) – неотрицательное число.)