Программа элективного курса по теме: "Задачи с параметрами"

Пояснительная записка

Элективный курс “Задачи с параметрами” рассчитан на преподавание в старших классах, изучение математики в которых осуществляется в объеме 5 или 6 часов в неделю (указанное количество часов предусмотрено Региональным базисным учебным планом общеобразовательных учреждений Нижегородской области (далее БРУП) образца 2005 г. в вариантах для лицеев и профильного обучения соответственно).

Сегодня нет необходимости доказывать актуальность темы “Задачи с параметрами” в рамках обучения математике в школе. Вместе с тем приходится констатировать факт отсутствия у большинства выпускников общеобразовательных школ требуемого ВУЗами уровня подготовленности по этой теме. Несмотря на то, что почти все выпускники старшей школы, которым предстоит сдавать вступительный экзамен по математике, посещают подготовительные курсы в ВУЗах, ситуация с качеством знаний, уровнем сформированности умений и навыков по теме “Задачи с параметрами” меняется незначительно. Причиной является отсутствие базы, поскольку существующие учебные программы по математике и тематические планирования к ним (в том числе и тематические планирования учебных программ обучения математике на профильном уровне) явно не предусматривают обучение решению задач с параметрами. В силу вышеизложенного автор считает необходимым преподавание данного курса в лицейских классах за счет учебных часов, отведенных на элективные учебные предметы (вариант для лицеев БРУП образца 2005 г. предусматривает 8 часов в неделю на элективные учебные предметы в 10 классе и 7 часов в неделю - в 11 классе), и рекомендует его преподавание в классах естественно-математического и социально-экономического профиля (в варианте 2 – со специализацией – экономика). Следует заметить, что введение в учебный план лицейских классов вышеназванного курса отвечает приоритету № 2 распределения учебных часов на элективные курсы - расширяет представления обучающихся о профильной образовательной области “Математика”, что усиливает степень профильной подготовки и мотивации лицеистов (см. БРУП образца 2005 г., стр. 62).

Объем знаний, запланированный первой частью настоящей программы, является базовым по указанной теме. Его усвоение должно стать основой для осуществления школьниками поисково-исследовательской деятельности в работе над задачами самого высокого уровня сложности.

Цель курса состоит в изучении методов решения задач избранного класса и формировании умений, направленных на реализацию этих методов.

Задачи курса состоят в следующем:

• сформировать у обучающихся представление о задачах с параметрами как задачах исследовательского содержания, показать их многообразие;
• научить обучающихся применению аналитических методов в решении задач с параметрами;
• научить обучающихся приемам выполнения изображений на плоскости и их использованию в решении задач с параметрами;
• научить обучающихся осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор;
• способствовать подготовке обучающихся к вступительному экзамену по математике.

Отдельные вопросы представленной программы по своим формулировкам дублируют вопросы учебных программ по математике (например, в программе курса предусмотрено рассмотрение вопросов “Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства”, “Степенная функция”). Следует уточнить, что рассмотрение таких вопросов призвано систематизировать знания обучающихся, и, что самое главное, подготовить их к работе с подобными объектами в задачах с параметрами. В частности, при решении рациональных и иррациональных уравнений сделан акцент на специфике уравнений каждого вида с целью ее использования для нахождения контрольных значений в задачах с параметром; рассмотрение свойств степенной функции направлено на отработку на последующих занятиях умений выполнять построения ее графиков с применением параллельного переноса, растяжения и сжатия, симметрии, что необходимо для решения задач с параметром с использованием графических интерпретаций.

Значительная часть учебного времени курса отведена главе “Функции и графики”, в рамках изучения которой происходит существенное расширение знаний и умений обучающихся (изучаются и отрабатываются вопросы построения графиков функций y=|f(x)|, y=f(|x|), y=|f(|x|)| и уравнений |y|=f(x), |y|=|f(x)|, |y|= f(|x|), |y|=|f(|x|)|, вопросы использования графиков функций и уравнений при изображении множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами неравенств; рассмотрению вопросов построения графиков с модулем логично предшествует изучение темы “Уравнения и неравенства с модулем”). Уровень овладения знаниями и умениями по теме “Функции и графики”, предусмотренный настоящей программой, позволит обучающимся эффективно использовать изображения на плоскости не только в решении задач с параметрами, но и в решении широкого спектра других задач.

Одно из центральных мест в школьном курсе математики занимает тема “Квадратный трехчлен”. Настоящей программой во второй главе предусмотрено рассмотрение свойств ограниченности, знакопостоянства, наличия и отсутствия корней квадратного трехчлена и их применение в решении задач с параметрами; в четвертой главе изучаются вопросы расположения корней квадратного трехчлена, коэффициенты которого зависят от параметра, относительно точки, отрезка.

Элективный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления, концентрации внимания и математической культуры обучающихся, расширяет по сравнению с общеобразовательной программой сферу математических знаний обучающихся, побуждает к исследовательской деятельности, существенно повышает графическую культуру. Воспитательный эффект курса заключается в формировании таких важных качеств личности как трудолюбие, целеустремленность, выносливость, аккуратность.

В рамках преподавания наряду с лекциями и семинарами предусматривается активное использование элементов проблемного обучения. Доминирующей формой обучения должна стать поисково-исследовательская деятельность обучающихся, реализация которой осуществляется как в рамках уроков, так и в ходе выполнения домашних заданий.

Наличие “плавающих” критериев в оценке достижений обучающихся отражает одно из положений концепции личностно-ориентированного подхода в образовании, согласно которому особо значимым в развитии ребенка является его “рост” относительно самого себя.

Программа состоит из четырех разделов: “Тематическое планирование учебного материала”, “Примерное поурочное планирование учебного материала”, “Требования к математической подготовке обучающихся”, “Контрольные работы”.

В разделе “Тематическое планирование учебного материала” помимо конкретного планирования указаны основные цели изучения глав, выработаны методические рекомендации для учителя.

Раздел “Примерное поурочное планирование учебного материала” задает примерное количество учебного времени, которое отводится на изучение каждого параграфа, обобщение и контроль знаний.

Раздел “Требования к математической подготовке обучающихся” определяет уровень умений и навыков, которыми обучающиеся должны овладеть после изучения каждой главы.

По окончании каждой главы проводится индивидуальная контрольная работа, уровень сложности которой зависит от степени усвоения учебного материала, продемонстрированной обучающимися в ходе изучения главы. В разделе “Контрольные работы” (см. приложение1) приведено по одному варианту контрольных работ двух уровней сложности.

Тематическое планирование учебного материала

X класс

(2 часа в неделю, всего 68 часов)

I. Введение (4 часа).

Понятие о параметрах. Контрольные значения параметра. Постановка задач с параметрами. Понятие об основных методах решения задач с параметрами.

Основная цель – сформировать у обучающихся понятие о параметрах; познакомить обучающихся с многообразием вопросов в задачах с параметрами, с основными методами их решений – аналитическим и с использованием графических интерпретаций.

II. Аналитические методы решения задач с параметрами (18 часов).

Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Линейные уравнения, неравенства, системы линейных уравнений с параметром. Квадратные уравнения и неравенства с параметром. Иррациональные уравнения с параметром.

Основная цель – систематизировать умения обучающихся в решении рациональных и иррациональных уравнений, неравенств; сформировать умения решать уравнения и неравенства указанных видов с параметром.

Изучение темы начинается с элементов повторения курса основной школы – решения линейных, квадратных, дробных уравнений и неравенств, иррациональных уравнений. Решению дробных уравнений предшествует введение понятия равносильности. Его появление требует глубокой отработки: основное внимание следует уделить процессу осмысления обучающимися выполнения преобразований в ходе решения уравнений и неравенств, приводящих к равносильным уравнениям, неравенствам, системам.

В процессе обучения решению уравнений и неравенств с параметром делается акцент на разбиении контрольными значениями множества значений параметра на подмножества и решении исходной задачи на каждом из образовавшихся подмножеств, в контрольных значениях.

Наряду с решением линейных и квадратных уравнений и неравенств при каждом значении параметра рассматриваются задачи на определение числа решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными, знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра, а также задачи с параметром, решение которых предусматривает использование свойств квадратичной и линейной функций.

III. Функции и графики (20 часов).

Свойства функций , и их графики. Построение графика функции . Построение графика функции . Построение графика дробно-линейной функции. Уравнения и неравенства с модулем. Построение графиков функций и уравнений, выражения которых содержат знак модуля. Построение множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами неравенств.

Основная цель – систематизировать знания обучающихся о функциях (), (; научить выполнять построения графиков с использованием параллельного переноса, растяжения и сжатия, симметрии.

При изучении главы делается акцент на обосновании каждого из преобразований графиков. Далее с обучающимися отрабатываются правила выполнения построений графиков как результат проведенных обоснований.

Особое внимание уделяется отработке навыков: построения областей, заданных неравенствами, системами неравенств; выполнения необходимых преобразований (в том числе – выражений, содержащих несколько модулей), направленных на приведение уравнений или неравенств к виду, удобному для изображения линий или областей, заданных уравнениями или неравенствами соответственно.

IV. Использование графических интерпретаций в решении задач с параметрами (22 часа).

Решение задач с параметром с использованием изображения на плоскости (х; а), где а – параметр. Решение задач с параметром с использованием изображения на плоскости (х; y). Решение задач с параметром разными методами. Решение задач с параметром на расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка.

Основная цель – сформировать представление обучающихся о методах решения задач с параметром с использованием графических интерпретаций; научить анализировать исходные данные и на основе анализа осуществлять выбор метода решения.

В начале обучения рассматривается вопрос о количестве корней уравнения (в зависимости от значений параметра) при условии его разрешимости относительно параметра. На конкретном примере обучающимся демонстрируется метод использования изображения на плоскости (х; а), где а – параметр; при этом акцентируется внимание на условиях применения способа. Отработка осуществляется в ходе разбора задач, содержащих вопросы о нахождении значений параметра, при которых: имеется конкретное число решений; решения имеются или отсутствуют; решения удовлетворяют некоторым условиям. Также рассматриваются задачи о нахождении решений при каждом значении параметра.

Далее обучающиеся знакомятся с методом использования изображения на плоскости (х; y) и отрабатывают его в ходе решения задач. Вновь делается акцент на условиях использования метода.

Особое внимание уделяется задачам, решение которых возможно осуществить каждым из двух методов; при решении конкретной задачи обсуждаются преимущества и недостатки каждого метода.

В последней части главы изучается и отрабатывается метод решения задач на расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка. В процессе отработки не следует предлагать обучающимся заучивать условия, накладываемые на величины, определяющие положение графика квадратичной функции на плоскости в разных случаях. Необходимо, чтобы ученики поняли принцип их получения и умели проводить необходимые рассуждения при решении конкретных задач.

V. Повторение. Решение задач (4 часа).

Примерное поурочное планирование учебного материала

Требования к математической подготовке обучающихся

Аналитические методы решения задач с параметрами

В результате изучения главы обучающиеся должны уметь:

• решать линейные, квадратные уравнения и неравенства, системы двух линейных уравнений с двумя переменными, несложные иррациональные уравнения с одним параметром при всех значениях параметра;
• использовать в решении задач с параметром свойства квадратичной и линейной функций.

Функции и графики

В результате изучения главы обучающиеся должны уметь:

• устанавливать свойства функций , и изображать их графики при различных значениях р и п;
• изображать графики функций , по известному графику функции y=f(x);
• изображать графики функций y=|f(x)|, y=f(|x|), y=|f(|x|)| и уравнений |y|=f(x), |y|=|f(x)|, |y|= f(|x|), |y|=|f(|x|)| по известному графику функции y=f(x);
• использовать графики функций и уравнений при изображении множеств точек плоскости, заданных неравенствами, системами неравенств.

Использование графических интерпретаций в решении задач с параметрами

В результате изучения главы обучающиеся должны:

• овладеть понятиями о методах решения задач с параметрами с использованием графических интерпретаций;
• осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;
• владеть техникой использования каждого метода.

Литература

1. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. -Мн.: Асар, 1996.
2. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1995.
3. Иванов А.П. Тесты и контрольные работы для систематизации знаний по математике: Учебное пособие для абитуриентов. 1 и 2 ч. – Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2000.
4. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Задачи письменного экзамена по математике за курс средней школы: условия и решения. – М.: Школа-пресс, 1994.
5. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1996.
6. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. - М.: ABF, 1995.
7. Сборник задач по математике для домашних заданий при подготовке к вступительным экзаменам в ННГУ. /Сост. А.И. Нестеренко, В.И. Лукьянов, З.Г. Павлючонок, Н. Новгород, ННГУ, 2002 г.
8. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы. - М.: Просвещение, 1989.
9. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 1995.
10. Фельдман Я.С., Жаржевский А.Я. Математика. Решение задач с модулями: Пособие для абитуриентов и старшеклассников. -С-П.: Оракул, 1997.

Приложение