Имеется широкий круг задач, для решения которых применяются понятия неопределенного и определенного интегралов, и используются их свойства.
Рассмотрим некоторые типы таких задач, а именно, задачи на доказательство тождеств, неравенств, упрощение выражений, сравнение чисел.
В процессе их решения воспользуемся понятиями первообразной и неопределенного интеграла, а также указанным ниже свойством определенного интеграла.
Если функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и для каждого выполняется неравенство , то . Если, кроме того, существует хотя бы одна точка , для которой , то .
Итак, остановимся сначала на приложениях неопределенного интеграла.
Пример 1. Упростить .
Решение. Обозначим данное приложение через F(х) и сначала его преобразуем.
Найдем F’(х).
То есть, F’(х)=12sin4x+6sin2x.
F(х) является первообразной функцией для функции f(x)=12sin4x+6sin2x на промежутке . Тогда (где С – произвольная постоянная), откуда , то есть .
Тогда, подставляя вместо F(x) заданное выражение, получим . Возьмем любое значение х, например, х=0, и найдем С
Таким образом, имеем
Пример 2. Доказать тождество
Решение. Рассмотрим функцию и найдем F’(х). .
Функция F(x) является первообразной для функции f(x)=cosx-sinx (), то есть .
Таким образом, , определим С, взяв любое значение х.
Пусть, например, , тогда, подставляя это значение в последнее равенство, получим .
Таким образом, . Что и требовалось доказать.
Пример 3. Доказать неравенство .
Решение. Функция у=еt непрерывна и возрастающая на промежутке , следовательно, если . Проинтегрируем это неравенство в пределах от 1 до х (), воспользовавшись выше указанным свойством определенного интеграла.
откуда, разделив обе части неравенства получим , то и требовалось доказать.
Пример 4. Доказать, что для
1) ,
2) .
Решение.
1) Легко убедиться, что , если , рассмотрев, например, графическое решение неравенства.
Проинтегрируем это неравенство в пределах от 0 до t () и получим
Проинтегрируем полученное неравенство в пределах от 0 до х:
Что и требовалось доказать.
2) Для доказательства неравенства воспользуемся уже доказанным неравенством , проинтегрировав его в пределах от 0 до х:
А так как , то получим
Пример 5. Доказать, что верно неравенство .
Решение. Рассмотрим функцию - непрерывную на промежутке . Так как для любого t>0, , то .
Проинтегрируем это неравенство в пределах от 0 до х (<Рисунок32>) и, на основании свойства определенного интеграла, получим
Что и требовалось доказать.
Пример 6. Доказать, что .
Решение. Учитывая, что , а также доказанное в примере 5 неравенство , получим (t>0).
Тогда для x>0.
Проинтегрируем неравенство в пределах от 0 до 1 и получим
Что и требовалось доказать.
Пример 7. Сравнить с числами и .
Решение. Если , то и . Функция y=et непрерывна и монотонно возрастает на промежутке [-1;0], следовательно, , то есть , откуда ().
Проинтегрируем неравенство в пределах от 0 до и так как существует точка х0, например , такая что при х=х0 выполняется строгое неравенство.
, то есть , то , откуда получим .
А так как , то . Таким образом, больше числа и меньше числа .