О некоторых приложениях неопределенного и определенного интегралов

Разделы: Математика


Имеется широкий круг задач, для решения которых применяются понятия неопределенного и определенного интегралов, и используются их свойства.

Рассмотрим некоторые типы таких задач, а именно, задачи на доказательство тождеств, неравенств, упрощение выражений, сравнение чисел.

В процессе их решения воспользуемся понятиями первообразной и неопределенного интеграла, а также указанным ниже свойством определенного интеграла.

Если функции y=f(x) и y=g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и для каждого img1.JPG (1182 bytes) выполняется неравенство img2.JPG (1559 bytes), то img3.JPG (2424 bytes). Если, кроме того, существует хотя бы одна точка img4.JPG (1261 bytes), для которой img5.JPG (1590 bytes), то img6.JPG (2408 bytes).

Итак, остановимся сначала на приложениях неопределенного интеграла.

Пример 1. Упростить img7.JPG (4015 bytes).

Решение. Обозначим данное приложение через F(х) и сначала его преобразуем.

img8.JPG (10331 bytes)

Найдем F’(х).

img9.JPG (15136 bytes)

То есть, F’(х)=12sin4x+6sin2x.

F(х) является первообразной функцией для функции f(x)=12sin4x+6sin2x на промежутке img10.JPG (1205 bytes). Тогда img11.JPG (2128 bytes) (где С – произвольная постоянная), откуда img12.JPG (2099 bytes), то есть img13.JPG (4400 bytes).

Тогда, подставляя вместо F(x) заданное выражение, получим img14.JPG (5494 bytes). Возьмем любое значение х, например, х=0, и найдем С

img15.JPG (7277 bytes)

Таким образом, имеем img16.JPG (5584 bytes)

Пример 2. Доказать тождество img17.JPG (4562 bytes)

Решение. Рассмотрим функцию img18.JPG (3204 bytes) и найдем F’(х). img19.JPG (5518 bytes).

Функция F(x) является первообразной для функции f(x)=cosx-sinx (img20.JPG (1721 bytes)),  то есть img21.JPG (3668 bytes).

Таким образом, img22.JPG (3691 bytes), определим С, взяв любое значение х.

Пусть, например, img23.JPG (1095 bytes), тогда, подставляя это значение в последнее равенство, получим img24.JPG (4749 bytes).

Таким образом, img25.JPG (3478 bytes). Что и требовалось доказать.

Пример 3. Доказать неравенство img26.JPG (1825 bytes).

Решение. Функция у=еt непрерывна и возрастающая на промежутке img27.JPG (1082 bytes), следовательно, если img28.JPG (1616 bytes). Проинтегрируем это неравенство в пределах от 1 до х (img29.JPG (941 bytes)), воспользовавшись выше указанным свойством определенного интеграла.

img30.JPG (3654 bytes)

откуда, разделив обе части неравенства получим img31.JPG (1209 bytes), то и требовалось доказать.

Пример 4. Доказать, что для img32.JPG (994 bytes)

1) img33.JPG (1598 bytes),

2) img34.JPG (2157 bytes).

Решение.

1) Легко убедиться, что img35.JPG (1038 bytes), если img36.JPG (979 bytes), рассмотрев, например, графическое решение неравенства.

Проинтегрируем это неравенство в пределах от 0 до t (img37.JPG (963 bytes)) и получим

img38.JPG (6713 bytes)

Проинтегрируем полученное неравенство в пределах от 0 до х:

 img39.JPG (6047 bytes)

Что и требовалось доказать.

2) Для доказательства неравенства воспользуемся уже доказанным неравенством img40.JPG (2059 bytes), проинтегрировав его в пределах от 0 до х:

img41.JPG (4528 bytes)

А так как img42.JPG (1782 bytes), то получим img43.JPG (2373 bytes)

Пример 5. Доказать, что верно неравенство img44.JPG (1859 bytes).

Решение. Рассмотрим функцию img45.JPG (2175 bytes) - непрерывную на промежутке img46.JPG (1142 bytes). Так как для любого t>0, img47.JPG (1614 bytes), то img48.JPG (2099 bytes).

Проинтегрируем это неравенство в пределах от 0 до х (<Рисунок32>) и, на основании свойства определенного интеграла, получим

img49.JPG (9284 bytes)

Что и требовалось доказать.

Пример 6. Доказать, что img50.JPG (2333 bytes).

Решение. Учитывая, что img51.JPG (1369 bytes), а также доказанное в примере 5 неравенство img52.JPG (1728 bytes), получим img53.JPG (2032 bytes) (t>0).

Тогда img54.JPG (2285 bytes) для x>0.

Проинтегрируем неравенство в пределах от 0 до 1 и получим

img55.JPG (8295 bytes)

Что и требовалось доказать.

Пример 7. Сравнить img56.JPG (1645 bytes) с числами img57.JPG (1002 bytes) и img58.JPG (1008 bytes).

Решение. Если img59.JPG (1556 bytes), то img60.JPG (1302 bytes) и img61.JPG (1401 bytes). Функция y=et непрерывна и монотонно возрастает на промежутке [-1;0], следовательно, img62.JPG (1445 bytes), то есть img63.JPG (1468 bytes), откуда img64.JPG (1693 bytes) (img59.JPG (1556 bytes)).

Проинтегрируем неравенство в пределах от 0 до img58.JPG (1008 bytes) и так как существует точка х0, например img65.JPG (1218 bytes), такая что при х=х0 выполняется строгое неравенство.

img66.JPG (1657 bytes), то есть img67.JPG (1637 bytes), то img68.JPG (3136 bytes), откуда получим img69.JPG (2741 bytes).

А так как img70.JPG (1461 bytes), то img71.JPG (2367 bytes). Таким образом, img56.JPG (1645 bytes) больше числа img57.JPG (1002 bytes) и меньше числа img58.JPG (1008 bytes).