Анализ школьной практики показывает, что некоторые учащиеся имеют формальные знания по геометрии, испытывают затруднения при решении задач, в том числе стереометрических. Они недостаточно владеют различными методами решения простейших задач, затрудняются в выборе рационального способа решения, некоторые не умеют самостоятельно выделять наиболее значимые части учебного материала в учебнике и устанавливать существенные связи между ними. У большинства школьников отсутствует даже предположение о целесообразности рассматривать один и тот же материал с различных сторон, ставить соответствующие вопросы к тексту учебника, выявлять ту или иную структуру изучаемой порции программного материала, осознавать программу и способы деятельности по его усвоению. А отсюда и поверхностное усвоение, формальное заучивание учебного материала, сохранение только фрагментарных, не связанных друг с другом сведений об изучаемых фактах.
Прежде в педагогической литературе роль задач сводилась лишь к выработке практических умений и навыков. Рассматривая роль задач в обучении, Л.М. Фридман пишет, что она “определяется с одной стороны тем, что в значительной своей части конечные цели обучения любому предмету сводятся к овладению учащимися методами решения определённой системы задач, с другой стороны … решение задач в обучении выступает как цель и как средство обучения”.
Основу в знаниях и умениях учащихся для решения достаточно сложных задач закладывают такие приёмы учебной работы, как
- выделение опорных задач;
- их решение и использование при решении сложных задач;
- изучение структуры решения задач;
- решение одной задачи разными способами;
- выбор эффективного метода решения.
Остановлюсь на некоторых из них.
Следует согласиться с авторами большинства монографий, что в школьных учебниках решение задач основано на трансформации словесной формулировки задачи в чертёж, а использование обратной операции, как правило, специально не предусмотрено. Это ведёт к перекосу в обучении умению решать геометрические задачи и в формировании математического мышления в целом. Эффективность решения задач на готовых чертежах очевидна: она требует меньше времени на анализ её формулировки, при этом нет необходимости выполнять чертёж, а готовый рисунок сам направляет внимание школьников на главное в задаче. Подчеркну, что особенно это важно для формирования пространственного воображения учащихся, развития их образного мышления на начальном этапе изучения стереометрии.
С этой целью с 1992 года использую набор задач “Стереометрия. Задачи на готовых чертежах” (ПРИЛОЖЕНИЯ 1, 2) . В 2004 году данный сборник был отмечен Дипломом Конкурса “Педагогические инновации”.
Задачи составлены и скомплектованы в таблицы таким образом, что могут быть использованы на разных этапах урока и в разных технологиях: решение задачи по аналогии; решение обратной задачи; решение задачи с непривычным расположением геометрической фигуры в пространстве; составление задачи по готовому рисунку. “Сборник….” снабжён ответами к задачам, и может использоваться и в классе и для самостоятельной работы дома.
Положительными моментами в работе со сборником считаю следующее:
1) Задача по готовому чертежу являет образное представление условия и может служить подсказкой в решении, помогает устно фронтально выстраивать схему решения задачи;
2) По данным таблицам возможно одновременно организовать работу со слабыми учащимися по образцу и с сильными, предложив им задание на составление обратной задачи или по модели, расположенной в другом ракурсе;
3) Зрительный обзор нескольких задач одной таблицы помогает проводить аналогию в решении задач на разные геометрические фигуры;
4) Некоторые рисунки расположены таким образом, что ученикам приходится проявлять свою изобретательность в поиске способа решения задачи.
5) Наличие ответов к задачам позволяет организовать индивидуальную работу учащихся и в классе и дома.
Составной частью образовательного процесса выступают устные упражнения, они могут быть средством развития устной математической речи, абстрактно-образного мышления, средством развития воображения, повышения интереса к изучаемому предмету. Устные упражнения дают учителю возможность судить о готовности класса к изучению нового материала, о степени его усвоения, помогают выявить ошибки учащихся, с их помощью возможно изучение большего по объёму материала.
Одним из эффективных приёмов организации познавательной деятельности, направленной на усвоение некоторой порции учебного материала, является структурирование. Важным и полезным приёмом при обучении геометрии стали предписательные структуры. Их сущность в том, что они выделяют и фиксируют некоторую программу действий неявно заданную в тексте учебника или в понимании содержания задачи. Составными элементами предписательных структур являются умственные действия, направленные на получение конечного результата.
На начальном этапе изучения стереометрии предписательные структуры при решении задач носят очень конкретный характер. Приведём пример.
Задача. ABCD – ромб, О – точка пересечения
диагоналей, М – точка пространства, не лежащая в
плоскости ромба. Точки A, D, O лежат на плоскости 
. Вычислить
площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол
равен 60°. Предложите различные способы
вычисления площади ромба.
Учащимся предлагается сделать чертёж к задаче (ПРИЛОЖЕНИЕ 3).
В ходе выполнения чертежа предлагается ответить на вопросы:
- Лежат ли в плоскости точки В и С?
- Лежит ли в плоскости МОВ точка D?
- Назовите линию пересечения плоскостей MOB и ADO.
На более позднем этапе, когда уже сформирован некоторый навык в решении задач предписательная структура может выглядеть так:
1) Прочитайте задачу.
2) Выделите условие и требование задачи, запишите их, сделайте рисунок.
3) Замените термины, содержащиеся в требованиях задачи, определением понятий, которые они обозначают, либо их признаками.
4) Если необходимо, преобразуйте требование задачи в равносильное ему. Попробуйте выразить требование задачи на векторном, координатном или др. языке.
5) Установите те положения, из которых следует требование задачи.
6) Прочитайте ещё раз условие и, уточняя понятия, входящие в условие, попробуйте провести анализ задачи начиная от вопроса задачи.
7) Используя анализ задачи прописать схему решения задачи.
Немаловажное значение приобретает составление и применение блок-схемы при поиске решения задачи. Приступая к решению задачи, ученик интуитивно ищет связи между искомым элементом задачи и заданными. Учитель должен привести в систему хаотичные поиски и приучить его к целенаправленному анализу условия. Схема сослужит хорошую службу. Ученик увидит свои пробелы на промежуточных этапах решения задачи и с помощью учебника или одноклассников ликвидирует их.
На первых порах поиск решения сложной задачи не возможен без участия учителя. Но постепенно приобретая опыт и навык, учащиеся сами находят пути решения. Более сложными получаются схемы решения задач на вычисление, с применением тригонометрии. Рассмотрим решение задачи.
Задача. В прямоугольном параллелепипеде
стороны основания 2
см и 5 см образуют угол 45°.
Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см.
Найдите его объём.
Сделаем рисунок к задаче, запишем условие.
Дано: ABCD – прямой параллелепипед,
AB= 5 см, AD= 2см, 
BAD=45о.
Найти: V.
При выполнении рисунка к задаче учащиеся должны ответить “Какая диагональ считается меньшей и почему?”
1) Сначала дадим некоторые пояснения к задаче.
Рассмотрев треугольники BDD1 и ACC1
выясняем, что DD1 =CC1 , BD 
AC ( т.к. BD лежит против
меньшего угла), следовательно, по теореме
Пифагора BD1
AC1, BD1 =7 см.
2) Проведённые рассуждения привели к созданию следующей схемы:
На первых порах на поиск решения задачи и на составление схемы уходит на уроке почти столько же времени, сколько и на само решение. Решая задачу за задачей, научившись анализировать содержание задачи ученики приобретают навык умственной деятельности и гораздо быстрее в дальнейшем справляются с поиском решения задачи.
На примере решения задачи покажу, каким образом решённая задача на уроке с помощью учащихся “раскладывается” на простые – составляющие задачи.
Задача. В основании пирамиды SABC лежит
треугольник, у которого 
С=90°, 
А = 
, АВ = с. Боковые рёбра пирамиды
одинаково наклонены к плоскости её основания,
угол между гранью SBC и плоскостью основания равен
. Найдите
объём пирамиды.
Дано: SABC – пирамида, 
АВС - прямоугольный , С =90° , А = , АВ = с. SRO = .
Найти: VSABC
Таким образом, рассмотренный приём работы по “выстраиванию цепочки”, которая приводит к окончательному ответу, упрощает решение конкретной задачи. Сам процесс поиска способствует формированию общих приёмов работы с задачей, творческой деятельности учащегося.
Напрашивается предположение, что ученик должен быть вооружён набором правил, позволяющих ему отобрать опорные задачи для решения конкретной задачи. Обзор литературы позволяет составить алгоритм правил отбора опорных задач для решения данной задачи и предложить его учащимся:
1) Изучить условие данной задачи. Изобразить схематичный рисунок. Выделить на рисунке данные и искомые задачи.
2) Выяснить, что требуется найти в задаче и что для этого надо сделать;
3) Выделить некоторые задачи из системы опорных, которые имеют что-нибудь общее с основной задачей;
4) Какие из выделенных опорных стереометрических задач, известных планиметрических задач, могут быть полезными при решении основной задачи? Что можно выяснить из решения этих задач?
5) Переформулировать данную задачу с учётом того, что пункт 4 выполнен. И затем попробовать решить её;
6) Если не удалось отыскать решение переформулированной задачи, проделать с ней то, что указано в п.1–5.
Давно было замечено, что сходство условий нередко приводит к сходству заключений. Вместе с тем практика показывает, что аналогия не может служить доказательством, что немало случаев, когда заключения по аналогии могут привести к ошибке. Вообще, аналогия означает сходство
Суть решения математических задач, построенных на аналогии, состоит в следующем:
наряду с исходной задачей формулируем аналогичную, похожую, но более простую для нас вспомогательную задачу; решаем эту вспомогательную задачу, разбивая решение на отдельные этапы; пытаемся провести сходные рассуждения на каждом шаге применительно к исходной задаче. Аналогичное задание выполняется при изучении тем “Пирамида” и “Конус”, “Призма” и “Цилиндр”. Особенно часто этот приём оказывается полезным при поиске решения трудной стереометрической задачи: в этом случае вместе с учащимися пытаемся сформулировать сходную планиметрическую задачу; решив её, рассматриваем по аналогии исходную пространственную задачу.
Рассмотрим задачи, решения которых разбиралось по принципу аналогии.
Например, предлагается найти сходства в задачах, заданных на следующих готовых чертежах и для второй задачи, после обсуждения, дополнить условие решить задачу.
Безусловно, при решении сложных задач приходится комбинировать несколько приёмов, учитывать сформированность общеучебных умений, знаний базового курса, умений решать задачи по планиметрии.
Повторюсь, что умение решать задачи рассматривается (например И.С. Якиманской) в качестве одного из критериев развития математических способностей. Однако для любого учителя сегодня проблемой остаётся отыскать в литературе освещение вопросов методики формирования общеучебных умений по решению стереометрических задач или организации совместной деятельности учителя и ученика в процессе работы над решением задачи.
ЛИТЕРАТУРА.
- Границкая А.С.Научить думать и действовать. Москва. “Просвещение”, 1991.
- Беспалько В.П.Слагаемые педагогической технологии. Москва. “Педагогика”, 1989.
- Зайцева Г.Д.О решении задач различными способами.// Математика в школе.- № 5.- 1982.
- Зайцева Г.Д. Развитие навыков решения стереометрических задач.// Математика в школе.- № 1.- 1982.
- Клопский Ю.М., Ягодовский М.И., Скопец З.А. Повышение активности учащихся на уроках стереометрии.// Математика в школе.- № 3. - 1980.
- Саранцев И.Г. Обучение Математическим доказательствам в школе. Москва. “Просвещение”, 2000.