Цели занятия:
- Расширить круг знаний учащихся 5-го и 6-го классов от теории чисел, об открытиях в мире чисел, сделанных Пифагором и его учениками.
- Обратить внимание ребят на то, какую роль играло число в древности.
- Заинтересовать ребят волшебной силой чисел, основанной на их свойствах.
- Показать связь теории чисел с жизнью, потому что человечество только тогда вступило на путь истинного знания, когда во все свои рассуждения ввело понятие о счете, мере и порядке, т.е. понятие о числе.
Оборудование:
- стенгазеты “Праздник числа”, “Магия цифр”;
- короны с числами 1,2,4,7,14,28;
- пятиугольники – эмблемы; кеды 26-го и 44-го размеров для сценки;
- одежды Пифагора и пифагорейцев;
- “медали” для награждения.
Пифагор: “Все есть число” - эпиграф
Учитель: “Число – это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными”. “Сущность вещей есть число, которое вносит во все единство и гармонию”. “Все есть число”. Вот такие положения проповедовали древнегреческий математик Пифагор и его ученики пифагорейцы. Сегодня, ребята, вы исполняете роли Пифагора и пифагорейцев.
- Слово Пифагору.
Я много и долго путешествовал по странам Востока, среди которых были Египет и Вавилон.
Изучал арифметику, астрономию, музыку и другие науки.
По возращении на родину я поселился в одной из греческих колоний Южной Италии. Здесь возникла моя знаменитая “Пифагорова школа”. Эта школа сыграла значительную роль не только в философско-научной, но и в политической жизни Древней Греции. Своей философией пифагорейцы (мои ученики) стремились доказать существование незыблемого, вечного мирового порядка определенной гармонии. Основу наших философских идей, пифагорейцы усматривали в числовых закономерностях.
Мы сочетали вместе несочитаемые учения о богах и числах, их арифметика окутана фантастическими и мистическими воззрениями. Но в основном наше учение о числе содержит научные факты.
Арифметику мы тесно связывали с музыкой. Однажды проходя вблизи кузницы, я услыхал звуки различной высоты от ударов различных молотков. Исходя из этого и размышляя также о звуках, получаемых от струн разной длины, я сделал вывод. Если уменьшить длину струны вдвое, тон повысится на октаву, т.е. высота тона обратно пропорциональна длине струны. От трех струн можно получить приятное гармоническое сочетание звуков, если их длины относятся как 6:4:3.
От чисел зависит гармония и числа всегда обусловливают свойства вещей и явлений. Все есть число.
Учитель:
- Пифагорейцы делали великие открытия в мире чисел. О некоторых из них нам поведают они сегодня.
О фигурных, треугольных и квадратных числах:
Треугольные числа
Простейшими из фигурных чисел являются треугольные числа:
1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; ...
На рисунке эти числа изображены количеством точек на сторонах треугольника. В равностороннем треугольнике АВС, сторона которого равна 1, сумма всех сторон (периметр) равна трем, об этом говорят три точки, размещенные в вершинах треугольника. Удлинив стороны АВ и АС в два, три, четыре и т. д. раза и соединив концы сторон, получим новые равносторонние треугольники с периметрами, соответственно равными 6 (шесть точек), 10 (десять точек) и т. д.
Последовательность треугольных чисел можно легко составить следующим образом: из ряда натуральных чисел 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; …
Берем первое число 1, затем сумму первых двух (1+2=3), сумму первых трех (1+2 + 3 = 6), четырех (1+2+3 + +4 = 10) чисел и т. д.
Задание ученикам. Написать первые 15 треугольных чисел и начертить соответствующие треугольники.
Квадратные числа. Формула Диофанта
Квадратными называются числа ряда; 1; 4; 9; 25; 36; ...т. е. квадраты натуральных чисел: 1, 2,3, 4, 5, б ... Таким образом п-е число в ряду квадратных чисел есть п2.
Выше было указано, что ряд треугольных чисел получается путем последовательного суммирования чисел натурального ряда. Аналогично можно получить ряд квадратных чисел из ряда нечетных чисел: 1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21... Действительно, 1 + + 3=4, 1+3+5=9, 1+3 + 5 +7=16.
Учитель: Продолжаем знакомиться с числовыми тайнами.
Сценка “В гостях у числа 28”
Число 28: “Сегодня я пригласила в гости своих друзей – моих делителей, младших чем я. Пора их встречать”
Стук в дверь. Заходит 1, за ней 2, 4, 7, 14.
- “Что-то вас немного, друзья мои. Мне хочется, что гостей было много. Прошу вас, приведите своих меньших делителей”
Все засуетились. Стали искать своих делителей. Оказалось, что все они здесь.
Единица: “Уважаемое число 28 гостей больше не будет. Они все здесь. Но не расстраивайтесь, что число 28, мы приготовили тебе замечательный подарок. Пусть это будет для тебя сюрпризом”.
Входят четыре плюса и встают между делителями.
Единица: “А вот и сюрприз. Сложи нас”
Число 28 восклицает, что получилось оно же само: “Вот здорово, так то же я!” Единица: “Теперь ты не просто число, а совершенное число”.
Все хлопают в ладоши, поздравляют число 28.
Число 28: “Благодарю вас, друзья мои, но я хотела бы знать, есть ли у меня родственники – совершенные числа”.
Единица: Есть, но их очень мало. До миллиона вас всего четыре: 6, 28, 496 и 8128
Учитель: Подробнее о совершенных числах рассказывает один из “пифагорийцев” “О совершенных числах”.
Есть числа, которые в точности равны сумме своих делителей, например число 6. Его собственные делители — 1, 2, 3. Имеем 6— = 1+2 + 3.
Пифагорейцы считали замечательными все числа, обладающие таким свойством, и называли их “совершенными”. Они знали только три таких числа: 6, 28, 496.
28=1+2 + 4 + 7+14;
496=1 + 24-4 + 8+16 + 31+62+124+248.
В “Арифметике” Никомаха из Гераэы (I в. н. э.) имеется четвертое совершенное число: 8 128. Никомах писал: “Совершенные “числа красивы. Однако красивые вещи редки и малочисленны. Большинство чисел являются избыточными или недостаточными, в то время как совершенных чисел немного. Среди единиц их всего лишь одно, так же среди десятков, сотен и тысяч”.
Из сказанного видно, что по мере продвижения от начала в натуральном ряду совершенные числа встречаются все реже и реже. В первых 10000 имеется всего 4 совершенных числа. Древнегреческие математики уделяли большое внимание вопросу нахождения совершенных чисел. В IX книге “Начал” Евклида доказано, что совершенным является любое число вида 2k.р, где число р=1+2'+22 + ... 2k — простое; k — натуральное число.
Примеры;
1+21=3; 21 3= 6, или 21(221)=6 1+2+22=7; 22 . 73=28, или 22(23 – 1) = 28 Аналогично 24 (25— 1) = 496; 26(27— 1) = 8128.
Пятое совершенное число 212 (213— 1) = 33 550 336 было найдено немецким математиком Региомонтаном (XV в.), который, между прочим, среди первых применял в своих трудах знаки + ” —. В XVI в. немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершеных числа: 8589 869 056 и 137438691328 (р=17; 19).
Числами вида 2p—1 много занимался французский математик М. Мерсеин (1588—1648), известный также своими переводами трудов древнегреческих математиков. В его честь эти числа были названы числами “Мерсенна”. В 1644 г. Мерсенн нашел восьмое совершенное число (р = 31). Это число, т. е. 2030(2031—1), выражается квинтиллионами. Лишь около 250 лет спустя замечательный русский математик-самоучка Иван Михайлович Первушин (1827—1900) доказал, что число 261—1 тоже простое, и таким образом было найдено девятое совершенное число. В 1911 — 1914 гг. были найдены еще 3 совершенных числа (для р = 89; 107; 127). Никакие другие совершенные числа, кроме вышеуказанных -двенадцати, не были известны до середины нашего века. Начиная с 1952 г. большие простые числа вида 2р—1 находятся учеными с помощью электронных счетных машин
Учитель: В математике для чисел есть такие понятия как средние значения: среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое. Эти средние были известны еще античным математикам, они играли большую роль в теории музыки.
Пифагор установил, что созвучно звучат струны,
длины которых пропорциональны числам 6, 8 и 9, 12.
Заметим, что 9 – среднее арифметическое чисел 6 и
12, а 8 – среднее гармоническое чисел 6 и 12 (
).
Шуточная сценка
“Ай, да, среднее арифметическое” (5 “Б” класс).
Стоит Олег, задумавшись.
Лена (входя): Олег, о чем задумался?
Олег: Знаешь, о чем я задумался? Среднее арифметическое – гениальное изобретение математиков. Смотри, мы с тобой неразлучные друзья, все делаем пополам, хорошее и плохое. Возьмем, например, оценки за сегодня – ты получила “5”, а я “1”. Складываем, делим по полам, по тройке получили оба. Видишь, как хорошо. И отец меня не накажет. Да здравствует среднее арифметическое!
Лена: Но ты даже не спросил, устраивает ли это меня?
Олег: Подожди, это еще не все. Ты пришла в школу на 15 минут раньше, а я на 15 минут позже. Складываем, делим пополам – оба пришли вовремя. Да здравствует среднее арифметическое!
Лена: Ты же гений! (в сторону) Ну, я тебя проучу. (Олегу) Слышишь, Олег, ты меня просил купить тебе кеды в нашем магазине. Тебе мама дала денег?
Олег: Да.
Лена: Давай я сбегаю в магазин: а ты решишь несколько примеров со своим арифметическим. (Уходит).
Олег: Вот здорово! Наконец-то у меня будут кеды и Роман Борисович не будет меня ругать. (Делает несколько гимнастических упражнений).
Лена: (входит с пакетом). Видишь, как я быстро вернулась. Я тебе кеды купила, ни что-нибудь!
Олег: (с нетерпением). Давай быстрее, покажем их. (Раскрывает пакет, с удивлением разглядывает: один большой кед, другой маленький.) Что это?
Лена: Ты еще спрашиваешь? Это твои кеды. Один 26 размера, другой 44. складываем, делим пополам, получаем твой размер – 35. да здравствует среднее арифметическое!
Олег с ужасом хватается за голову и убегает.
Учитель: Еще о некоторых таинственных числах расскажут нам пифагорейцы.
Число Шахерезады.
Существуют числа, носящие имена великих математиков: число Архимеда, или иначе число ? = 22/7. Неперово число, т.е. основание натуральных логарифмов е = 2, 718281. умоляя нисколько достоинства этих знаменитых чисел, мы попытаемся рассказать вам еще об одном числе, правда, не таком полезном, как те, но – по крайней мере, нам так кажется – не менее популярном.
Это число Шахерезады 1001, которое проступает в заглавии бессмертных сказок “Тысяча и одна ночь”. С точки зрения математики число 1001 обладает целым рядом интереснейших свойств;
1) это самое малое натуральное четырехзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел: 1001=103 + 13;
2) число 1001 состоит из 77 злополучных чертовых дюжин (1001 = 77.13), из 91 одиннадцаток или из 143 семерок (вспомним, что число 7 считалось магическим числом): далее, если будем считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 ночь состоит из 1+1+1/2 +1/4 года (52 . 7 + 26 . 7 + 13 . 7). Частичная сумма 1+ 1/2+1/4 является частью довольно часто встречаемого в арифметике бесконечного ряда 1+ 1/2 + 1/4 + … +1/2; таким образом, мы видим, как в числе Шахерезады литература переплетается с математикой.
Число на гробнице.
В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. трудно точно сказать, за что выпала такая честь на долю этого числа. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. действительно, нет числа, меньшего чем 2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедится в том, что это число является наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка. Это минимальное число, которое делится без остатка на 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
Версии: Срок хранения гробов.
Количество “кирпичей” в гробнице.
Учитель: Ребята, сегодня вы услышали некоторые факты из огромного волшебного мира чисел.
Тайн у чисел очень много. На них основаны различные головоломки, фокусы, гадания. Разгадывать их очень интересно. Учитесь, интересуйтесь, делайте открытия. А в заключительной части нашего занятия вас немного развлечет и заинтригует великий маг чисел
Фокусы:
1) Поразительная память.
2) Угадывание даты рождения.
3) Любимая цифра.