Цели:
- познакомить с понятием "золотое сечение", которое позволит расширить кругозор учащихся,
- развить восприятие математических фактов,
- продемонстрировать применения математики в реальной жизни.
ХОД УРОКА
I. Вступительное слово учителя
Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в искусстве волновал еще древних греков, причем свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Пирамида Хеопса, самая известная из египетских пирамид, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптурных памятников, непревзойденная "Джоконда" Леонардо да Винчи, картины Рафаэля, Шишкина и современного русского художника Константина Васильева, этюды Шопена, музыка Бетховена, Чайковского и Белы Бартока, "Модулор" Корбюзье – вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, наполненных чудесной гармонией, основанной на "золотом сечении".
II. "Золотое сечение" и числа Фибоначчи
1-й ученик. Что такое "золотое сечение"?
Золотое сечение возникает как результат решения
следующей геометрической задачи: "На отрезке
АВ требуется найти такую точку С, чтобы
АВ : СВ = СВ : АС".
АВ : СВ =
СВ : АС = 1.618 (*)
Учитель: Итак, "золотое сечение" – это такое деление целого на две неравные части, при котором отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей к меньшей.
А если найти, наоборот, отношение меньшей части к
большей, то оно равно 0,618.
В геометрии "золотым сечением" называется
также деление отрезка в среднем и крайнем
отношениях.
Обозначим это отношение через Х, то есть АВ : СВ =
СВ : АС = Х.
Так как АВ = АС + СВ, то (АС + СВ) : СВ = АС : СВ + СВ : СВ =
1 : Х + 1 = Х, откуда вытекает следующее уравнение
для нахождения искомого отношения: Х2 = Х + 1
(**).
Это уравнение имеет два корня: ф1 = (1 +
)/2 и ф2 = (1 – )/2
Положительный корень этого уравнения ф = (1 + ) : 2 и называется
"золотой пропорцией", а деление отрезка АВ в
отношении (*) – "золотым сечением".
Особый интерес представляет последовательность
чисел, впервые описанная в 1202 году в "Книге об
абаке" итальянским купцом и математиком
Леонардо из Пизы, известным по его прозвищу
Фибоначчи.
Среди них была простая, не лишённая практической
ценности для предприимчивых итальянцев задача, в
результате решения которой получился ряд чисел:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 и т.д.
Задача гласила: "Сколько пар кроликов в один
год от одной пары рождается?".
Далее в задаче поясняется, что природа кроликов
такова, что через месяц пара их производит на
свет другую пару, а начинают размножаться
кролики со второго месяца после своего рождения.
Чем же примечательны числа, полученные
Леонардо Фибоначчи? В этом ряду каждое
последующее число является суммой двух
предыдущих чисел. На языке математики это
записывается следующим образом: U1, U2, U3, ... , Un, где
Un = Un – 1 + Un – 2 (рекуррентная, или возвратная,
последовательность)
Оказалось, что числа Фибоначчи обладают рядом
интересных и важных свойств. Спустя четыре
столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.
Кеплер установил, что отношение рядом стоящих
чисел с ростом n (Un + 1/Un) стремится к одному и тому
же числу.
В самом деле, U2/U1 = 1 U3/U2 = 2 U4/U3 = 1.5 U5/U4 = 1.66 U6/U5 = 1.6 U7/U6 =
1.625 U8/U7 = 1.615 U9/U8 = 1.619 U10/U9 = 1.6176 U11/U10 = 1.61818 U12/U11 = 1.61897 и
т.д.
Полученные отношения как бы колеблются около
постоянной величины, как бы приближаются к ней,
разница между соседними величинами уменьшается.
Отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи в
пределе стремится к величине, близкой 1.618.
Обозначим её через Ф, то есть Ф = lim Un + 1/Un = 1.618
III. "Золотое сечение" в архитектуре и скульптуре
2-й ученик. "Золотое отношение" обычно
обозначают буквой Ф – прописной буквой
греческого алфавита. Такое обозначение принято в
честь древнегреческого скульптора Фидия,
жившего в V в. до н.э. Он руководил строительством храма Парфенон в Афинах.
Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17
по длинным, выступы сделаны целиком из квадратов
пентилейского мрамора. Благородство материала,
из которого построен храм, позволило ограничить
применение обычной в греческой архитектуре
раскраски, она только подчеркивает детали и
образует цветной фон (синий и красный) для
скульптуры. Отношение высоты здания к его длине
равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по
"золотому сечению", то получим те или иные
выступы фасада.
В своей книге "Homo pylcher" ("Человек
прекрасный") философ Н.И. Крюковский пишет:
"Созерцая совершенное, прекрасное
человеческое лицо и тело, невольно приходишь к
мысли о каком-то скрытом, но явственно
чувствующемся математическом изяществе его
форм, о математической правильности и
совершенстве составляющих его криволинейных
поверхностей!"
Известно, что еще в древности основу скульптуры
составляла теория пропорций.
Скульпторы утверждают, что талия делит
совершенное человеческое тело в отношении
"золотого сечения".
Великий древнегреческий скульптор Фидий часто
использовал "золотое сечение" в своих
произведениях. Самыми знаменитыми из них были
статуя Зевса Олимпийского
(которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос.
Известный русский архитектор М. Казаков в своем
творчестве широко использовал "золотое
сечение". Его талант был многогранным, но в
большей степени он раскрылся в многочисленных
осуществленных проектах жилых домов и усадеб.
Например, "золотое сечение" можно
обнаружить в архитектуре Голицынской
больницы, которая в настоящее время называется
Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова
(Ленинский проспект, д. 5).
Еще один архитектурный шедевр Москвы – дом Пашкова – является одним
из наиболее совершенных произведений
архитектуры В. Баженова.
Прекрасное творение В. Баженова прочно вошло в
ансамбль центра современной Москвы, обогатило
его. Наружный вид дома сохранился почти без
изменений до наших дней, несмотря на то, что он
сильно обгорел в 1812 г. При восстановлении здание
приобрело более массивные формы. Не сохранилась
и внутренняя планировка здания, о которой дает
представление только чертеж нижнего этажа.
Многие высказывания зодчего заслуживают
внимания и в наши дни. О своем любимом искусстве
В. Баженов говорил: "Архитектура имеет
главнейшие три предмета: красоту, спокойность и
прочность здания... К достижению сего служит
руководством знание пропорции, перспектива,
механика или вообще физика..."
IV. Пентограмма
3-й ученик. Пифагорейский звездчатый
пятиугольник также обладает "золотым
сечением". Интересно, что внутри пятиугольника
можно продолжить строить пятиугольники, и это
отношение будет сохраняться.
По их теории, в основу мирового порядка положены
числа. Число 5 – как сумма первого женского
числа (2) и первого мужского (3) – считалось
символом любви. Отсюда такое внимание к
пентаграмме, имеющей 5 углов, такое благоговейное
отношение.
Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы
выбрали пятиконечную звезду в качестве
талисмана, она считалась символом здоровья и
служила опознавательным знаком.
Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев
больным попал в дом к незнакомым людям. Они
старались его выходить, но болезнь не отступала.
Не имея средств заплатить за лечение и уход,
больной перед смертью попросил хозяина дома
нарисовать у входа пятиконечную звезду,
объяснив, что по этому знаку найдутся люди,
которые вознаградят его. И в самом деле, через
некоторое время один из путешествующих
пифагорейцев заметил звезду и стал
расспрашивать хозяина дома о том, каким образом
она появилась у входа. После рассказа хозяина
гость щедро вознаградил его.
Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем
Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья
она была принята лишь в Древней Греции.
В настоящее время существует гипотеза, что
пентаграмма – первичное понятие, а "золотое
сечение" вторично. Пентаграмму никто не
изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид
пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы
плодовых деревьев и кустарников, морские звезды.
Те и другие создания природы человек наблюдает
уже тысячи лет. Поэтому естественно
предположить, что геометрический образ этих
объектов – пентаграмма – стал известен раньше,
чем "золотая" пропорция.
V. "Золотое сечение" в живописи
4-й ученик. Переходя к примерам "золотого
сечения" в живописи, нельзя не остановить
своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи.
Его личность – одна из загадок истории. Сам
Леонардо да Винчи говорил: "Пусть никто, не
будучи математиком, не дерзнет читать мои
труды".
Он снискал славу непревзойденного художника,
великого ученого, гения, предвосхитившего многие
изобретения, которые не были осуществлены вплоть
до XX в.
Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим
художником, это признавали уже его современники,
но его личность и деятельность останутся
покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не
связное изложение своих идей, а лишь
многочисленные рукописные наброски, заметки, в
которых говорится "обо всем на свете".
Он писал справа налево неразборчивым почерком и
левой рукой. Это самый известный из существующих
образец зеркального письма. Портрет
Моны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает
внимание исследователей, которые обнаружили, что
композиция рисунка основана на золотых
треугольниках, являющихся частями правильного
звездчатого пятиугольника. Существует очень
много версий об истории этого портрета. Вот одна
из них.
Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Моны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекали простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.
Сказка
Жил-был один бедный человек, было у него четыре
сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот
пришла за отцом смерть. Перед тем как расстаться
с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: "Сыны
мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня,
заприте хижину и идите на край света добывать
себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь
научится, чтобы мог кормить сам себя". Отец
умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись
спустя три года вернуться на поляну родной рощи.
Пришел первый брат, который научился плотничать,
срубил дерево и обтесал его, сделал из него
женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй
брат, увидел деревянную женщину и, так как он был
портной, в одну минуту одел ее: как искусный
мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду.
Третий сын украсил женщину золотом и
драгоценными камнями – ведь он был ювелир.
Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел
плотничать и шить, он умел только слушать, что
говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал
ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни.
Он запел песню, от которой заплакали
притаившиеся за кустами братья. Песней этой он
оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула.
Братья бросились к ней, и каждый кричал одно и то
же: "Ты должна быть моей женой".
Но женщина ответила: "Ты меня создал – будь мне
отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне
братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил
радоваться жизни, ты один мне нужен на всю
жизнь".
Кончив сказку, Леонардо взглянул на Мону Лизу,
ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом,
точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела
по лицу рукой и без слов пошла на свое место,
сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было
сделано – художник пробудил равнодушную статую;
улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица,
осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу
изумительное, загадочное и чуть лукавое
выражение, как у человека, который узнал тайну и,
бережно ее храня, не может сдержать торжество.
Леонардо молча работал, боясь упустить этот
момент, этот луч солнца, осветивший его скучную
модель...
Трудно отметить, что замечали в этом шедевре
искусства, но все говорили о том глубоком знании
Леонардо строения человеческого тела, благодаря
которому ему удалось уловить эту, как бы
загадочную, улыбку. Говорили о выразительности
отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом
спутнике портрета. Толковали о естественности
выражения, о простоте позы, о красоте рук.
Художник сделал еще небывалое: на картине
изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной
дымкой.
Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение
во Флоренции показалось художнику тягостным, он
собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о
нахлынувших заказах.
Неоднократно предпринимались попытки создать
идеализированную эталонную модель гармонически
развитого человеческого тела. Известно, что
размах вытянутых в стороны рук человека примерно
равен его росту, вследствие чего фигура человека
вписывается в квадрат и круг. Известны идеальные
фигуры, созданные Леонардо да Винчи и Дюрером.
Давно уже существует мнение, что
"пентагональная", или "пятилучевая",
симметрия, столь характерная для мира растений и
животных, проявляется в строении человеческих
тел. И человеческое тело можно рассматривать как
пятилучевое, где лучами служат голова, две руки и
две ноги. В связи с этим многие исследователи
математических закономерностей тела человека
вписывали его в пентаграмму. Так назвали позу
человека с раздвинутыми на 180° руками и
разведенными на 90° ногами. Такая модель также
нашла отражение и в построениях Леонардо да Винчи и Дюрера.
VI. Итог урока
– Благодарю ведущих за подбор материала и проведение урока. Те ребята, которых заинтересовала эта тема, могут подробнее познакомиться с этим материалом. Ребята, выступающие перед вами, из-за ограниченности во времени очень кратко сообщили свой материал. Весь материал они подробно изложили в виде презентации. Ребята интересуются не только математикой и хорошо владеют компьютером, они в презентации рассказали о своих увлечениях и где там они обнаружили закономерности золотой пропорции.
Литература:
1. Бендукидзе А.Д. Журнал "Квант", 1973, № 8.
2. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. М., 1990.
3. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992.
4. Волошинов А.В. Пифагор. М., 1993.
5. Воробьёв Н.Н. Числа Фибоначчи. М., 1992.
6. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. Пер. с фр. М., 1936.
7. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1981.
8. Ковалёв Ф.В. Золотое сечение в живописи. Киев, 1989.
9. Пидоу Д. "Геометрия и искусство". М., "Мир", 1989.
10. Савин А.П. Я познаю мир. М., 1995.
11. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. М., 1984.
12. Советский энциклопедический словарь. М., 1987.
13. Сонин А.С. Постижение совершенства. М., Знание, 1987.
14. Мастера искусства об искусстве. Т. 2, М., 1966.
15. Хогарт Х.У. Анализ красоты. М., Искусство, 1958.
16. Тарасов Л. Этот удивительный мир. Просвещение, 1982.
17. Шевелёв И.Ш. Логика архитектурной гармонии. М., 1973.
18. Шевелёв И.Ш. Золотое сечение. М., 1990.
19. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. М., 2002.