Урок алгебры в 8-м классе по теме:"Теорема Виета"

Данный урок усвоения новых знаний построен в технологии междисциплинарного обучения с применением группового способа обучения. Все этапы урока соответствуют структуре продуктивного мыслительного акта: постановка проблемы – поиск путей ее решения – формулировка вывода – проверка вывода. На этапе мотивации использован прием “погружение в проблему”, основанный на личностной реакции ребенка на стимульный материал. На этапе исследования все учащиеся класса включаются в поиск ответа на поставленный вопрос: “Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения?” Это позволяет, с одной стороны, развивать исследовательские умения, а с другой стороны, умения систематизировать и самостоятельно добывать новые знания. На уроке продолжается работа по формированию приемов мышления: творческого (самостоятельно формулируется проблема, прогнозируется свойство, находится решение), критического (доказывается гипотеза, классифицируются уравнения, проверяется справедливость теоремы для общего случая), логического (выявляются причинно-следственные связи при формулировке теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета, делается обобщение о практическом применении нового знания). На этапе применения полученных знаний учащиеся выполняют задания как коллективные (использование принципа позитивной взаимозависимости по результату), так и самостоятельные (принцип индивидуальной оценки работы каждого участника группы). Рассматривается нетрадиционное шифрованное задание на применение теоремы Виета. В конце урока проводится рефлексия, что помогает учителю скорректировать дальнейшую работу. Урок рассчитан на два академических часа.

Тема: “Теорема Виета”

Цели урока (образовательные, развивающие, воспитательные).

В ходе урока учащиеся смогут:

- самостоятельно доказать теорему Виета;

- формулировать прямую и обратную теоремы Виета;

- применять теорему Виета к решению задач;

- решать приведенные квадратные уравнения по теореме, обратной теореме Виета;

- ставить и решать проблемы;

- анализировать данные и результаты;

- формулировать выводы;

- работать в группе;

- публично выступать;

- выражать собственное мнение;

- оценивать результат;

- давать рекомендации.

Материалы.

1. Рабочий лист.
2. План исследования (для каждой группы).
3. Закодированное задание на применение теоремы.
4. Карточки “Теорема”, “Условие”, “Заключение”, “Прямая теорема”, “Обратная теорема”.
5. Вопрос урока.
6. Маркеры.
7. Листы бумаги формата А4, А3.

Ход урока

I этап. Обзор. Мотивация.

На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных уравнений.

- Уравнение какого вида называется квадратным? Как называется квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1? (Заслушиваются ответы учащихся).

- Какие методы решения квадратных уравнений вы знаете? (Учащиеся называют известные им способы решения).

- Назовите номера уравнений из домашнего упражнения №429, которые после упрощения сводятся к приведенным квадратным уравнениям (все, кроме №429 д).

- Проверим, правильно ли вы решили эти уравнения. Проверку осуществим следующим образом: вы называете мне любое уравнение, я записываю его на доске и мгновенно называю его корни.

Проверяя домашнюю работу, ученики приходят в недоумение: каким образом учителю удается угадывать корни всех уравнений?

Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения. Ученики ставят проблемный вопрос:

“Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”

II этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.

Класс делится на группы по четыре человека. Каждая группа получает задание (см. Приложение 1) и проводит исследование.

План исследования.

1. Решите каждое квадратное уравнение известным вам способом.
2. Заполните рабочий лист.
3. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
4. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите закономерность, сделайте вывод.
5. Ответьте на вопрос урока.
6. Подготовьте отчет.

Одна из групп, составленная из более сильных учащихся, проводит исследование и на листах формата А3 выполняет дополнительное задание, связанное с нахождением суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения в общем виде.

III этап. Обмен информацией.

На доске вычерчена заготовка таблицы “Рабочий лист”. Первая группа при отчете записывает в эту таблицу только первое уравнение из своего списка, вторая группа - только второе уравнение из своего списка, третья – третье уравнение и т.д. После отчета всех групп на доске появляется заполненная таблица:

Рабочий лист

IVэтап. Связывание информации.

Проведенное исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Ученики предполагают, что если истинность гипотезы удастся доказать путем рассуждений, то они получат новую теорему.

Гипотеза. Если x₁ и x₂ – корни уравнения x² + px + q = 0,

то x₁ + x₂ = -р, x₁· x₂ = q.

Для подтверждения данной гипотезы к отчету приглашается группа, получившая индивидуальное задание. Ребята на доске с помощью табличек “Теорема”, “Условие”, “Заключение” составляют схему данной теоремы и предлагают свое доказательство этой теоремы.

- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

- Составьте схему теоремы, обратной записанной.

Один из возможных вариантов ответов:

“Условие”: х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ =q.

“Заключение”: х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

Формулируется теорема, обратная данной.

Если числа р, q, х₁, х₂ таковы, что х₁ + х₂ = -р, х₁· х₂ = q, то х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного уравнения х² + рх + q = 0.

Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной. Доказать эту теорему вы должны будете дома.

V этап. Применение.

Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и обратной теоремы.

- Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда готовилась к уроку и придумывала более полусотни приведенных квадратных уравнений?

- Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять квадратные уравнения.

Задание №1 (работа в группах)

1. Выпишите на чистом листе пять пар чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали на этапе исследования.
2. Обменяйтесь этими листами с соседними группами.
3. По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения.
4. Дайте эти уравнения на проверку группе, которая готовила вам задание.

Осуществляется проверка правильности выполнения задания каждой группой по пятибалльной шкале (за каждое верно составленное уравнение – 1 балл).

- Как вы считаете, какая теорема позволяет определять знаки корней квадратного уравнения (если эти корни существуют)?

- Верно, прямая теорема.

Задание №2 (работа в группах)

1. Не решая уравнение, определите знаки его корней:

1) х² + 45х – 364 = 0 – для первой группы;

2) х² + 36х + 315 = 0 – для второй группы;

3) х² – 40х + 364 = 0 – для третьей группы;

4) х² – 30х + 250 = 0 – для четвертой группы.

2. Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

1) х² + 45х – 364 = 0, х₁ = 7 – для пятой группы;

2) х² – 40х + 364 = 0, х₁ =14 – для шестой группы.

Проверяется правильность выполнения задания каждой группой (верно выполненное задание – 2 балла).

Математиков всегда интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным способом.

- Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?

- Какую теорему в этом случае будем использовать? (Для нахождения корней приведенного квадратного уравнения методом подбора используется теорема, обратная данной).

Образец. Решить уравнение х² – х – 6 = 0.

Решение:

х₁+ х₂= 1,

х₁ · х₂ = -6;

по теореме, обратной данной, х₁ = -2, х₂ = 3.

Ответ: -2; 3

Задание №3 (индивидуальная работа)

Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру (см. Приложение 2). Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены верно, то получится словосочетание:

Учитель дает небольшую историческую справку о жизни и деятельности Ф.Виета, вкладе ученого в развитие алгебры, сообщает, что теорема о связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения носит имя великого французского математика. Учитель просит сформулировать тему урока, дать ответ на вопрос, поставленный в начале урока, обобщить, где применяется теорема Виета, а где – теорема, обратная теореме Виета.

- Как вы думаете, можно ли применять теорему Виета к неприведенному квадратному уравнению? (Да, можно).

Домашнее задание.

1. Приготовьте доказательство теоремы, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения.
2. Докажите теорему Виета для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0.
3. Составьте, решите и оформите на формате А4 три задачи на применение теоремы Виета и три задачи на применение теоремы, обратной теореме Виета.
4. Попробуйте сочинить стихотворение о теореме Виета.

VI этап. Рефлексия.

- Чем лично для вас был интересен этот урок?

- Какие формы работы вам понравились?

- На каком этапе урока вы испытывали затруднения?

- Где вы видите практическое применение изученной теоремы?

- Как вы думаете, над какими вопросами данной темы нам предстоит еще работать?

Приложение 1

Задания для исследования каждой группе

Приложение 2

Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:

Код: большему корню уравнения соответствует буква