Для развития творческого подхода к работе практика решения задач с параметрами должна начинаться как можно раньше. В выпускных классах у учащихся уже формируются отдельные предпочтения в методах подхода к этим заданиям. Но я полагаю, что , предлагая учащимся решить задания как можно большим числом способов, учитель, проводя сравнительный анализ различных вариантов решения , способствует расширению круга излюбленных учениками приемов. Для данной конкретной задачи обычно только один из них обладает красотой и изяществом, однако можно показать ученикам, что в отдельных случаях более громоздкие варианты решения обладают большей общностью.
При обобщающем повторении материала на примере подобных заданий удобно закреплять на практике связь различных разделов программы. При такой организации работы у ребят вырабатываются и закрепляются навыки исследовательского подхода к решению поставленных задач и, несмотря на то , что число фактически рассмотренных отдельных примеров уменьшается, это сокращение с лихвой компенсируется систематизацией различных приемов решения, умением , анализируя условия, эффективно применять их в конкретной ситуации.
Задание № 1. Сколько корней в зависимости от значения параметра а имеет уравнение x2+a | x-2| =0 ?
1 способ. Повторение свойств квадратичной функции и её графика.
Исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:
I 
и II 
Исследуем I систему. Определим, сколько корней, не меньших 2, имеет уравнение (1). Этот шаг удобно и наглядно объяснять ученикам, используя графики, иллюстрирующие различные варианты расположения параболы y=x2 + ax -2a. Так как ветви параболы направлены вверх, то предварительный анализ позволяет отметить на рис.1 соответствующие случаи.
Рис.1а. Уравнение имеет 2 устраивающих нас корня.
Рис.1б. Уравнение имеет 1 устраивающий нас корень.
Рис.1в. Устраивающих нас корней нет.
Пусть f(x ,a)=x2+ax-2a; f(2,a)=4.Если абсцисса вершины соответствующей параболы - xb , то xb=-a/2, D1=a2+8a. Учитывая, что f(2,a)=4 , видим, что для уравнения (1) существование нужных корней возможно только в случаях, представленных на рис.2.
Рис.2а. xb>2,D1>0. Рис.2б. xb>2,D1=0.
Накладываемые на xb и D1 требования являются необходимыми и достаточными для существования корней уравнения (1), удовлетворяющих неравенству системы I.
Для рис.2а 
Ситуация, отраженная на рис.2б, реализуется для
значений а, определяемых системой 
Следовательно, уравнение (1)
имеет 2 устраивающих нас корня при a<-8, один - при
a=-8 и не имеет устраивающих нас корней в остальных
случаях.
Исследование системы II проводится аналогично. Пусть g(x ,a)=x2-ax+2a, тогда g(2, a)=4, xb=a/2, D1=a2-8a.
Для наличия двух корней уравнения (2),
удовлетворяющих неравенству системы II,
необходимо и достаточно выполнение системы
условий 
Один нужный корень уравнение (2) может иметь при D1=0, xb<2, т.е. при а=0.
Поскольку системы I и II могут иметь только отличающиеся друг от друга решения ( одна содержит неравенство x? 2, другая - x<2), то, сопоставляя результаты их исследования, окончательно получаем: при a<-8 исходное уравнение имеет 4 корня; при a=-8 - три корня; при -8<a<0 - два корня; при а=0 - один корень; при a>0 исходное уравнение корней не имеет.
2 способ. Повторение построения графиков функций.
Исходное уравнение легко разрешимо относительно параметра а, что позволяет провести исследование функции а(х) и повторить основные этапы схемы построения графиков функций.
Простая подстановка показывает, что значение
х=2 не является решением совокупности систем ни
при каком значении параметра а. При х
2 получаем:
Построим на координатной плоскости Oxa
множество точек А, задаваемых этой
совокупностью. Оно определяется функцией a(x)=
Исследуем функцию 
D(f)=
функция f(x) непрерывна и
дифференцируема на каждом из промежутков своей
области определения. Знаки функции f(x) и её
производной, определенные с помощью метода
интервалов, представлены на рис.4, где также
представлены промежутки возрастания и убывания
функции.
при х=0 или
х=4.
f(x)
+
при х2-0, f(x) - при х2+0, прямая х=2 является вертикальной
асимптотой графика функции f(x). x = 0 - т.min, f(0)=0, x = 4 -
т.max, f(4)=-8.
Тот факт, что f(x) - при х+
и f(x) + при х-, позволяет сделать
заключение о количестве корней исходного
уравнения без привлечения информации о наличии и
виде наклонных асимптот.
Учитель в этот момент имеет перед собой дилемму: неплохо бы повторить нахождение наклонных асимптот графика функции, с другой стороны эта особенность графика для ответа на вопрос задачи является избыточной. Я полагаю, что в качестве компонента отдельного исследования лучше предложить найти наклонные асимптоты в ходе домашней самостоятельной работы.
Пусть график функции a=f(x) имеет наклонную
асимптоту вида a=kx+b. Тогда 
Для
нашей функции f(x)
Прямая a = -x-2 - наклонная асимптота графика функции a = f(x).
Эскиз графика функции a = f(x) изображен на рис 5а. При x>2 искомое множество точек А совпадает с графиком функции a = f(x), а при x<2 - с графиком функции
a = -f(x). Множество точек А изображено на рис.5б.
Анализируя рис.5б, видим, что при a>0 нет точек, принадлежащих указанному множеству А, т.е. исходное уравнение при a>0 не имеет решений. При а=0 его единственным решением будет х = 0; при -8<a<0 каждому значению а на множестве А соответствуют 2 точки с различными абсциссами
(исходное уравнение имеет два решения), при а=-8 – 3 точки - три решения, при a<-8 каждому значению а соответствуют 4 точки из множества А и исходное уравнение имеет 4 решения.
3 способ. Повторение решения иррациональных неравенств.
Уравнение (1) - приведенное квадратное относительно х. D1=a2+8a; D1>0 при a<-8 или при a>0 и обращается в 0 при а=0 или а=-8. Тогда (1) имеет корни:
Определим,
при каких значениях параметра а х1 и х2
удовлетворяют условию 
х1: 
х2: 
Таким образом, при a<-8 исходное уравнение имеет два различных корня, не меньших 2, а при а=-8 - один такой корень.
Для уравнения (2) D1=a2-8a. D1>0 при
a<0 или a>8; D1=0 при а=0 и а=8. Корни уравнения
(2): 
Найдем, при
каких значениях параметра а корни уравнения (2)
удовлетворяют условию x<2.
Уравнение (2) имеет корни х3 и х4, меньшие 2, при а? 0, причем при а = 0 х3 = х4. Мы в очередной раз приходим к ответу, полученному при решении задачи 1 способом, если, сопоставляя результаты, не забудем, что удовлетворяющие нас значения х1,х2 и х3,х4 не могут совпадать.
4 способ. Привлечение элементов графического метода решения уравнений.
4 способ решения для данной задачи представляется наиболее простым и иллюстративным, и , если целью работы является привлечение внимания школьников к другим вариантам решений, то рассматривать его стоит в самом конце, поскольку в противном случае естественной будет реакция отторжения учениками более трудоемких вариантов работы. С другой стороны, как показывает многолетний опыт работы со школьниками, самостоятельно они предпочитают работать аналитическими методами.
При a>0
уравнение не имеет решений, т.к. равенство правой
и левой его частей требует выполнения
несовместной системы условий
При а = 0
уравнение имеет единственное решение х = 0.
Рассмотрим случай a<0, используя элементы
графического метода решения уравнений. Построим
графики функций y = f(x) и y = g(x), где 
Ветвь графика функции g(x), совпадающая с
графиком функции y = ax-2a при х ? 2, пересекается с
параболой y = x2 в двух точках. Определим,
может ли прямая вида y = -ax + 2a при x>2 быть
касательной к графику функции y = f(x). Предположим,
что касание происходит при а = а0 (а0 <0)
в точке с абсциссой х0 (х0>2).
Поскольку 
для
нахождения х0 и а0 получаем из системы
условий 
систему уравнений 
откуда х0 = -a0/2, а значения а0
можно определить из уравнения a02/4 + 2a0
= 0
Случай с а0
= 0 мы уже рассмотрели, а значению а0 = -8
соответствует х0 = 4, удовлетворяющее
условию х0>2.
Можно определить значения а0 и х0 и иначе. Уравнение х2 = -ах + 2а имеет единственное решение, соответствующее случаю касания квадратичной параболы и прямой, если дискриминант этого уравнения обращается в 0.
D1 = a2 + 8a, D1 = 0 при а = 0 и а = -8. Так как a<0, то оставляем для дальнейшего анализа только а = -8, соответствующее значение х0 нас устраивает. Итак, при а = -8 ветвь графика функции y = g(x), соответствующая прямой y = ax + 2a, касается параболы в одной точке, при a>-8 с этой частью графика парабола не имеет общих точек, при a<-8 прямая y = -ax + 2a пересекает график параболы в двух точках. Учитывая наличие двух точек пересечения параболы у = х2 с ветвью графика функции y = g(x), задаваемых формулой
y = ax - 2a, при любых a<0, получаем окончательный ответ.
В качестве домашнего задания можно предложить ученикам провести самостоятельный сравнительный анализ предложенных способов решения задачи. Кроме того, интересно предложить им эту же задачу в общей формулировке: решить исходное уравнение, где а – параметр, и оценить возможность применения каждого из предложенных методов решения исходной задачи в этом случае.