Составление и использование занимательных заданий в обучении математике

Разделы: Математика, Общепедагогические технологии

“Обучение – это ремесло, использующее бесконечное количество маленьких трюков” (Д.Пойа.)

В методической литературе нет общепринятого определения понятия “занимательность обучения математике”. Оно считается интуитивно ясным.

Но под занимательностью понимаются те компоненты занятия (способы подачи учебного материала, специфические свойства информации и заданий, связанных с учебным материалом), которые содержат в себе элементы необычайного, удивительного, комического, вызывают интерес у учащихся к учебному предмету и способствуют созданию положительной эмоциональной обстановки учения.

Перечислим основные положения, касающиеся занимательности обучения:

  1. “Всю занимательность обучения следует делить на “внешнюю” (не связанную с содержанием урока) и “внутреннюю”, причем “внутренняя” занимательность предпочтительнее “внешней” и удельный вес ее должен постепенно увеличивается”. (К.Д.Ушинский)
  2. Все материалы занимательного характера разбиваются на три группы: материалы, занимательные по форме; материалы, занимательные по содержанию; материалы, занимательные и по форме и по содержанию.
  3. Основу занимательности, используемой на уроках должны составлять задания, непосредственно связанные с программным материалом.

Под методикой использования занимательных заданий понимаются методы, средства и приемы подачи занимательных задач, занимательные формы организации обучения.

Первая и основная тенденция состоит в том, что педагог переносит на урок занимательные материалы из внеучебной деятельности.

Использование занимательных заданий целесообразно тогда, когда есть опасность:

  • Неприятия учащимися какого-либо учебного задания,
  • При прохождении сложных тем или при постановке трудных задач,
  • При изучении материала, подлежащего прочному запоминанию,
  • При выработке умений и навыков учащихся, когда требуется выполнить значительное количество однотипных упражнений.

Предпочтение следует отдавать занимательному материалу, отражающему существенные моменты изучаемого, а также, занимательным заданиям неоднократного использования.

Для каждого занимательного материала педагог должен выяснить: будет ли он занимательным для учащихся? Будет ли его использование эффективным?

Необычный учебный материал обладает некоторыми особенностями по сравнению с обычным.

Схема обычного занятия:

Но иногда полезно нарушать эту схему. Причем при этом нарушении, ученику приходится анализировать ситуацию, выделять существенные моменты, вспоминать правила, проявлять сообразительность. Анализ ускоряет формирование навыка и запоминание правил. Эта связь между заданиями и аналитической деятельностью учащихся присуща заданиям, составленным с помощью приемов занимательности.

Их методическая ценность в том, что ребенку надо глубже вникать в сущность задания, выделять главные моменты, учитывать связь между компонентами. Благодаря этому учебный навык, на формирование которого направлено задание, вырабатывается быстрее, т.к. он связан с продуктивной деятельностью ребенка.

Еще одно достоинство многих занимательных задач заключается в том, что при их решении у учащихся возникает необходимость менять ход мыслей на обратный. Как известно, умение менять ход своей мысли на обратный – ценнейшее качество ума. Занимательные задания способствуют формированию гибкости ума, освобождению мышления от шаблонов.

С помощью приемов занимательности создаются задания, которые могут служить мостиком от стандартных задач к нестандартным.

Известно, что учащимся с трудом дается решение нестандартных заданий. Причин этому много. Одна из них заключается в том, что переход от стандартных задач к нестандартным очень резок. Необходимы переходные задания. Здесь на помощь учителю и ученикам и приходят занимательные задания.

Свобода при выполнении занимательных заданий важна и в методическом отношении. В некоторых случаях появляется возможность подготавливать учащихся к формированию умений и навыков. В других случаях свобода помогает освоению приемов устной работы.

Таким образом, приемы занимательности часто связаны с общими проблемами обучения: развитием приемов мышления, общеучебных умений и навыков и т.д.

Рассмотрим методические особенности занимательных заданий, составленных с помощью некоторых приемов занимательности.

Приемы занимательности, связанные с подачей задания.

Приемы этой группы дают возможность то или иное задание облечь в занимательную форму. Рассмотрим такие приемы.

Логический каркас. Путем логических заключений требуется выявить из нескольких утверждений одно верное утверждение.

Пример 1. Известно, что одно из утверждений о функции f(x)=xn ложно, а два другие истинны.

  1. Уравнение xn = 15 имеет одно решение.
  2. f(-12)= f(12).
  3. Точка А (-2; 40096) принадлежит графику данной функции.

Выясните, будет ли данная функция четной.

В ненавязчивой форме проводится знакомство с дедуктивным методом. Наглядность ситуации способствует тому, что вывод, сделанный в классе, понятен практически каждому. Это является первой ступенькой в понимании дедуктивных рассуждений. Рассуждения могут проводиться по такой схеме.

Из первого утверждения следует, что функция нечетная.

Из второго – четная.

Теперь все зависит от третьего утверждения. Так как (-2)n = 4096, то n – четное число.

Вывод: функция f(x) является четной.

Пример 2. Из двух равенств одно верное, другое нет.

352 * 427 = 150 308

564 * 376 = 212 064.

Узнайте устно, какое равенство верно, а какое неверно.

Рассуждения:

Первое равенство – явно неверное, так как при умножении 2 и 7 цифра единиц произведения должна равняться 4, а не 8.

Второе равенство – верное. При умножении 4 и 6 цифра единиц произведения равна 4, следовательно, равенство верное.

Учитель может предложить учащимся самим составлять логические каркасы. Ученики

вполне подготовлены к интуитивному пониманию этого метода, принимают его и используют при решении задач.

Ситуации, создаваемые с помощью этого приема, помогают также осознать учащимися идею контрпримера. Действительно, чтобы установить ложность какого-либо утверждения, достаточно увидеть ошибку.

Выполнение заданий с помощью приема “Логический каркас” происходит в интересной, запоминающейся для учащихся форме, сохраняющей их полную самостоятельность.

При использовании этого приема учителю надо тщательно подбирать утверждения, чтобы они отражали существенные моменты изученного материала.

Задание с продолжением. Новое задание получается из предыдущего путем дописывания к формулировке старого задания одного или нескольких слов (символов).

Главное достоинство этого задания – экономия времени на уроке, и возник этот прием как одно из решений проблемы: сократить время на знакомство с задачами.

Прочитав условие задания, и вникнув в него, ученик решает его успешно. Продолжение задачи заинтересовывает его, к тому же требуется меньше времени на знакомство с условием. Решение второй задачи может быть аналогичным решению первой задачи, а может быть совершенно другим. Если решение аналогично, то происходит закрепление приобретенных навыков, если же решение резко отличается от первого, то необходимо проявить определенную гибкость ума, чтобы сориентироваться в данной ситуации.

Рассмотрим различные возможности предъявления задания с продолжением учащимся. Самый простой путь: на доске записана задача, ученики решают ее. Затем учитель дописывает два-три слова или символа – получается вторая задача; затем, дописав еще символы, получим третью задачу и т.д. Когда дети привыкнут к подобным заданиям, можно использовать такой методический прием. Сразу записать задачу и все ее продолжения, отделяя одно от другого чертой. Сколько черточек – столько и задач.

Со временем можно предлагать ученикам самим составлять содержательные продолжения задач. Причем здесь возникают разнообразные методические возможности. Например, из нескольких предложений выберите любое и решите задачу или выберите такое, чтобы получился данный объект; придумайте общее продолжение для двух различных задач и т.д.

Пример 1.

  1. Запишите функцию, графиком которой является парабола,
  2. И ее ветви опущены вниз,
  3. И она проходит через точку (-1; -8).

Пример 2.

  1. Запишите такой четырехчлен, чтобы его можно было разложить на множители,
  2. И чтобы первый множитель был равен 3х – 2с,
  3. А второй 2 х + 7у.

Пример 3.

Запишите степень с основанием с, которую можно представить:

  1. в виде квадрата,
  2. и в виде куба,
  3. и в виде четвертой степени,
  4. и в виде пятой степени.

Приемы занимательности, связанные со структурой задания.

Найдите ошибку. Ученику предлагается отыскать ошибку (или ошибки) в решении (или в ответе) одного или нескольких заданий.

Этот прием давно используется и доказал свою эффективность с методической точки зрения: вырабатывается критичность мышления, развивается самоконтроль ученика. Кроме того этот метод приучает ребенка к внимательности, позволяет провести профилактику ошибок.

Прямое указание учащемуся на ошибку, пусть даже и исправленную, малоэффективно. Лучше сначала использовать задания, в которых ошибки очевидны. Потом постепенно переходить к “замаскированным” ошибкам.

Возможные пути предъявления таких заданий:

  • на доске записано несколько утверждений, в том числе и неверные, которые надо отыскать и указать в них ошибки.
  • применение приема “Математический герой”.
  • провокация ошибки.

Рассмотрим эти пути подробнее.

Пример 4. Из нескольких равенств несколько ложных, причем их количество можно сообщить учащимся, а можно и не сообщать. После каждого ответа учитель предлагает ученику что-то изменить в записи, чтобы равенство оказалось верным. Тут важно предусмотреть различные способы исправления.

А) 0,9 + (-0,9) = 0;

Б) 0,9 *  (-0,9) = 0.

Выявлено неверное равенство 0,9 · (-0,9) = 0, ученик исправляет так 0,9 · (-0,9) = 0,81.

Особый интерес представляют утверждения, в которых допущено более одной ошибки. Например, если в равенстве -3,2 · 0,5 = 16 ученики видят только одну ошибку, то характер ошибки, которую они называют, дает дополнительную информацию для учителя.

Пример 5. Даны смежные углы и три утверждения о них:

  1. один из них на 90° больше другого;
  2. их градусные меры относятся как 4 : 5;
  3. один из них в 3 раза меньше другого.

Одно из этих утверждений противоречит двум другим. Найдите его.

Рассуждения: “Из первого утверждения следует, что градусные меры углов 135° и 45°; из второго - 80° и 100°, из третьего - 45° и 135°. Значит, второе утверждение противоречит другим”.

Пример 6. В арсенале Вити Верхоглядкина столько ошибок, недочетов, неправильностей, неверных рассуждений, что ученики каждый раз с удовольствием их находят. Причем, после разбора ошибочного решения Вити у самих учащихся ошибки подобного рода потом встречаются редко.

“Витя Верхоглядки, выполняя домашнее задание, решил уравнение так:

15х – 30 = 12х – 24

15(х – 2) = 12(х – 2)

15 = 12.

Ответ: решения нет.

В чем его ошибка?”

Задания на нахождение ошибки дают простор инициативе учащихся. Действительно, решить задание чаще всего можно одним способом, а проверить его решение удается часто двумя-тремя. Причем проверка правильности обычно возможна только при хорошем владении учебным материалом. Ошибки учеников провоцируются самим процессом познания. Возникает мысль: а нельзя ли попробовать хоть как-то упорядочить этот процесс?

В некоторых случаях это можно сделать, если учитель сам специально натолкнет ученика на ошибку. Встреча с ошибкой будет происходить под контролем учителя, она будет вскрыта, выявятся причины ее возникновения. Благодаря яркости ситуации ученики запомнят свои ошибочные действия и в дальнейшем стараются не допускать их. Провокация ошибки есть не что иное, как учебная задача с подвохом. Учитель строит учебную ситуацию таким образом, что ученики, как правило, ошибаются при решении какого-либо задания.

Пример 7. Предлагается взять любые два их чисел 12, 42, 51, 69 и составить обыкновенную дробь, чтобы она была несократимой.

Использование новых мыслительных операций. Приемы мышления могут быть занимательными для школьников, которые их только осваивают. Например, учащимся после окончания начальной школы вполне доступны рассуждения в один - два логических шага.

Пример 8. Даны 5 чисел: -9, -2, 6, -3, -5. Выберите из них такие 4 числа, чтобы их произведение было положительно. Найдите это произведение.

У всех получается 270. Почему?

Объяснение: так как произведение – положительное число, то в данном случае все 4 множителя должны быть отрицательными. Значит, надо перемножить числа -9, -2, -3, -5, а это произведение равно 270.

Пример 9. Из следующих многочленов:

  1. - 6ах – 2х – 15а + 6;
  2. 1 + а? + а? + а10;
  3. 35ах – 20х + 21а – 12;
  4. 3х + 5а – 6ах – b

только один можно разложить на множители. Какой? Разложите его на множители.

Решение: 35ах – 20х + 21а – 12 = ( 5х + 3) ( 7а – 4).

Можно рассуждать так.

Первый многочлен на множители разложить нельзя, т.к. у него нет общих множителей, а группировка ничего не даст из-за того, что у него три отрицательных коэффициента.

Второй многочлен на множители разложить нельзя, т.к. показатель последнего члена слишком велик.

Можно ли разложить на множители третий многочлен сразу не видно. Пропустим его.

Четвертый многочлен разложить на множители нельзя, т.к. группировка последнего члена с любым из других ничего не дает.

Вывод: на множители можно разложить только третий многочлен.

Приемы занимательности, связанные с организацией и процессом решения задания.

Тестовые вопросы. Целесообразно использовать этот прием при закреплении учебных навыков. Приведем несколько примеров.

Пример 10.

5 класс. “На доске записано число 36. ученику необходимо быстро ответить на вопросы учителя.

1) Назовите число:

а) большее 36;

б) меньшее 36.

2) представьте число 36 в виде суммы:

а) двух равных слагаемых;

б) двух неравных слагаемых;

в) трех неравных слагаемых;

г) трех равных слагаемых.

3) назовите дополнение числа 36:

а) до 100;

б) до 1000.

4) представьте число 36 в виде произведения:

а) двух равных множителей;

б) двух неравных множителей.”

6 класс. “ Дана дробь 7/20. ученик отвечает на следующие вопросы:

1) дополнение до 1?

2) больше или меньше ??

3) обрати в десятичную дробь.

4) обратное?

5) представь в виде суммы (знаменатели одинаковы).

6) представь в виде суммы ( знаменатели различны).

7) представь в виде разности (знаменатели одинаковы).

8) представь в идее разности ( знаменатели различны).

9) представь в виде произведения.

10) представь в виде частного.”

7 класс. Алгебра. “На доске записаны одночлены 10m? и 2m?. Учитель задает вопросы в краткой форме, ученик быстро на них отвечает.

1) сумма?

2) разность?

3) разность?

4) произведение?

5) частное (m?0)?

6) частное?

7) квадрат?

8) квадрат?

9) квадрат суммы?

10) квадрат разности?”

8 класс. Геометрия. “В параллелограмме ABCD AM – биссектриса угла A, MN || AB. Известно, что AB = 10 м, AD = 15 м. Учитель называет отрезок, а ученик быстро говорит, чему равна длина названного отрезка:

1) MN; 2) BM; 3) AN; 4) BC; 5) AN; 6) ND; 7) MC.”

После любого ответа учитель может спросить: почему? Ученик должен обосновать свой ответ. Например, BM = 10 м. Так как AM – биссектриса, то угол BAM равен углу MAN; так как AD || BC и AM – секущая, то угол MAN равен углу AMB, значит угол BAM равен углу AMB, следовательно, треугольник AMB равнобедренный и BM = 10м.

С одного взгляда. Ценность этого приема замечена давно. Сама постановка вопроса наталкивает учащихся на поиск нешаблонных решений. Это умение сродни творческому подходу, к тому же такое решение почти всегда бывает красивым, что само по себе очень важно.

Так приобретается у учащихся вкус к исследовательской работе.

Пример11. “Назовите дробь со знаменателем 371, которая меньше 1/2.

Если, размышляя над этой задачей, ученик задумывается об особенности дроби 1/2, он сможет догадаться до довольно неочевидного факта: дробь меньше 1/2, если ее числитель меньше половины знаменателя. Тогда уже легко назвать несколько искомых дробей”.

Подобные задания помогают вырабатывать у учащихся приемы решения задач. Ученик приходит к мысли, что задачу легче решить, если ее переформулировать. Никакие призывы учителя к использованию каких-либо эвристических приемов мышления ни к чему не приведут, если у ученика не будет сформирована готовность к этому. Решение заданий с помощью приема “С одного взгляда” очень хорошо формируют эту готовность. Эти задания составляются таким образом, чтобы своим решением подчеркивают суть того или иного приема. Задания строятся на неочевидных моментах, связанных с существом математики или эвристическими приемами.

Пример 12. “Что больше: площадь одного правильного треугольника со стороной 10 см или сумма площадей десяти правильных треугольников со стороной 1 см?

S1 = 1/2 · 102 · sin 60° = 50 · sin 60°

S2 = 1/2 · 12 · sin 60° = 1/2 · sin 60°.

Значит площадь треугольника со стороной 10 см больше.

К этой задаче полезно вернуться при изучении “Площади подобных фигур”. Тогда она решается устно: сторона треугольника больше в 10 раз, значит, его площадь больше в 100 раз”.

Пример 13. “Даны два треугольника, вырезанные из бумаги. Требуется доказать, что эти треугольники равновеликие, используя линейку без делений.

Треугольники вырезаны так, что основания их равны и высоты, проведенные к этим основаниям, равны. Тогда, приложив эти треугольники дважды, как показано на рисунке 2, ученик делает вывод, что треугольники равновелики. Линейка нужна для того, чтобы убедиться, что высоты треугольников равны.

Учебные задания занимательного характера ценны тем, что они наряду с привитием школьникам интереса к учению способствуют также определенному накоплению учебных умений и навыков.