Программа факультативного курса по математике: "Язык и логика"

Глубокое и всестороннее познание действительности возможно лишь при участии мышления, которое является высшим познавательным процессом.

Одной из моих главных задач, как учителя является организация учебной деятельности таким образом, чтобы у учащихся сформировались потребности в осуществлении творческого преобразования учебного материала с целью овладения новыми знаниями.

Я работаю в школе, где учатся дети с нарушением опорно-двигательного аппарата в классах (коррекционной) школы VI вида. Это школа для детей с ограниченными возможностями с Детским Церебральным Параличом. /ДЦП/ - это заболевание центральной нервной системы при ведущем поражении двигательных зон и проводящих путей головного мозга.

Дети с ДЦП - это особая категория, так как у них нарушена структура чувственного познания, различные виды перцептивных действий, гностические процессы. При сопутствующей патологии умственного развития имеются глобальные нарушения памяти и внимания.

В нашей школе сочетается оздоровление, лечение ребенка с ДЦП с - педагогической коррекцией и социальной реабилитацией.

Мой опыт показывает - дети с дефектом могут достичь того же, что и здоровые дети, но иным способом, на ином пути, иными средствами”.

Математика часто является наиболее трудным учебным предметом. Эти трудности объясняются, с одной стороны, спецификой самого предмета математики, с другой - особенностями познавательной деятельности детей данной категории.

Для преодоления затруднений учащихся применяю специальную подготовительную работу, именно упражнения наглядно-практического характера, направленные на формирование понимания данной темы, использую специальные памятки, в которых содержится последовательность рассуждений, необходимых для поиска решения. Дети приучаются рассуждать, задавая вопросы, и подходят к правильному выбору нужного действия.

Особенности детей с ДЦП и ЗПР требуют от меня увеличения количества тренировочных упражнений, так как любой навык формируется у них не достаточно быстро. Поддерживаю интерес к занятиям путем широкого использования дидактических игр, упражнений, в том числе связанных с движениями. Мои наблюдения показывают: дети решающие логические задачи, заметно улучшают свои способности к мышлению: легче сверстников справляются с учебными задачами, увереннее действуют в нестандартных ситуациях, глубже понимают программный материал.

С 2003-2004 учебного года изменился учебный план специальных (коррекционных) образовательных учреждений VI вида, в котором введены факультативные занятия с 5 класса. У нас появилась возможность дать учащимся повысить свои познания и приобрести новые в сфере математической логики. Так и появился факультативный курс по математике "Язык и логика". Данный курс расширяет круг изучаемых на уроках математики понятий. У учащихся формируется представление о математике как о языке, описывающем закономерные связи и отношения реального мира. На основе учебника "Математика" авторов Г.В.Дорофеева и Л.Г. Петерсона [1], [2] я составила программу факультативного курса. Курс рассчитан на два года, в него вошли разделы "Математический язык" и "Элементы логики".

Цели изучения факультативного курса я планировала из уровня развития учащихся и их психологических особенностей. Математическая часть содержания курса позволяет ставить цели развития у учащихся познавательных процессов – внимания, восприятия, памяти, представления, воображения, мышления, речи; большую роль в усвоении материала играют такие доступные данному возрасту мыслительные операции, как сравнение и первичное обобщение, первичный анализ и синтез, классификация и конкретизация.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Цели обучения

1. Формирование мышления через обучение деятельности: умению адаптировать внутри определенной системы относительно принятых в ней норм (самоопределение), осознанно строить свою деятельность по достижению цели (самореализации) и оценивать собственную деятельность и ее результаты (рефлексия);
2. Формирование системы ценностей и ее проявлений в личностных качествах;
3. Вырабатывание представлений о математическом методе исследования реального мира, роли и месте математики в системе наук;
4. Овладение математическими знаниями, обеспечивающими включение учащихся в деятельность на уроках математики, смежных предметах и в практической жизни;
5. Преодоление недостатков познавательной деятельности учащихся и их личностных качеств.
6. Применение полученных знаний в разнообразных меняющихся условиях.

Содержание обучения

Факультативный курс расширяет круг изучаемых на уроках математики понятий. Начинается знакомство с математическими моделями и приемами их построения. У учащихся формируется представление о математике как о языке, описывающем закономерные связи и отношения реального мира. Первый этап математического моделирования (построение математической модели) по существу является переводческой работой, а именно переводом условия задачи на математический язык.

Внутримодельное исследование предполагает различные способы работы с математическими моделями. Прежде всего дети вспоминают знакомые им способы, затем они знакомятся с методом проб и ошибок, методом перебора, общенаучными методами, которые используются в случаях, когда имеющихся знаний недостаточно для работы с построенной моделью. Изучение этих методов не только помогает детям осмыслить пути развития научного знания, но и мотивирует их дальнейшую деятельность на уроках математики в старших классах.

"Логический материал" вводится порционально, на нематематическом материале. Таким образом, логико-языковая линия развертывается в цепочку взаимосвязанных вопросов: математический язык – высказывания – доказательство – методы доказательства – определения – равносильные предложения – отрицание – логическое следствие – теорема. При этом новые логические понятия и отношения вначале выполняют самостоятельную роль как объекты изучения, а затем подчиненную, служебную роль при решении задач в связи с рассмотрением чисто математических вопросов.

I. Математический язык

Буквы как имена. Обозначение как собственное имя. Переменная. Выражение с переменными. Равносильные предложения. Следствие. Правила записи и чтения выражений с переменными (синтаксис математического языка). Логические символы математического языка. Построение моделей текстовых задач.

II. Элементы логики

Высказывание. Истинность и ложность. Тема и рема высказывания. Отрицание высказывания. Противоречие. Общие высказывания и высказывания о существовании. Способы выражения общих высказываний и высказываний о существовании в естественном языке. Определение. Называние и описание (номинальное и реальное определения). Свойства объектов. Характеристические свойства (признаки). Предложения с переменными. Логическое следование. Отрицание следования. Обратное утверждение. Равносильность. Неопределяемые понятия. Аксиомы. Аксиомы и неопределяемые понятия в алгебре и геометрии. Аксиоматика в повседневной жизни.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ "Математический язык" ( 34 часа)

Математические выражения. Запись, чтение и составление выражений. Значение выражения.

Математические модели. Перевод условия задачи на математический язык. Работа с математическими моделями. Метод проб и ошибок. Метод перебора. Язык и логика. Высказывания. Общие утверждения. Утверждения о существовании. Способы доказательства общих утверждений. Введение обозначений. Равносильность предложений. Определения.

Основная цель – формировать представление о математическом методе исследования реального мира; повторить известные из курса начальной школы методы работы с математическими моделями; познакомить с методом проб и ошибок и методом перебора; развивать логическую культуру, мышление, речь, познавательные интересы.

Программа курса начинается со знакомства детей с математическими моделями, приемами их построения и исследования. Формируется представление о математике как о языке, описывающем закономерные связи и отношения реального мира. Первый этап математического моделирования - построение математической модели - по существу является переводческой работой. Навык “перевода” текстов с русского языка на математический и наоборот, который отрабатывается на этих и последующих уроках, становится фундаментом изучения курса математики в старших классах.

Внутримодельное исследование предполагает различные способы работы с математическими моделями. Прежде всего дети вспоминают известные им способы, затем они знакомятся с общенаучными методами исследования реального мира, а именно методом проб и ошибок и методом перебора. Изучение этих методов не только помогает детям осмыслить пути развития научного знания, но учит их действовать в нестандартных ситуациях, мотивирует их дальнейшую деятельность на уроках математики.

Уточняется понятие высказывания. Дети знакомятся с понятиями темы и ремы, различными видами высказываний, учатся обосновывать и опровергать их. Так, они узнают, что для доказательства высказывания о существовании достаточно привести пример, а для опровержения высказывания общего вида - привести контрпример. Принципиально новым для них методом доказательства общих утверждений, который затем эффективно используется в курсе, является введение обозначений.

Основные требования к знаниям и умениям учащихся

Учащиеся должны знать: Составные части математического выражения; Понятие математической модели; Метод проб и ошибок; Метод перебора; Высказывания и его составные части; Общие утверждения; Равносильность предложений; Определение

Учащиеся должны уметь: Записывать, читать и составлять математические выражения; Находить значение выражения; Переводить условие задачи на математический язык; Работать с математическими моделями; Различать тему и рему высказывания; Различать истинное и ложное утверждение; Вводить обозначения; Определять равносильные предложения;

Примечания.

Не обязательно: Применять метод проб и ошибок; Применять метод перебора; Доказывать общие утверждения;

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ "Язык и логика. Логическое следование"(34 часа)

Язык и логика. Понятие отрицания. Отрицание общих высказываний. Отрицание высказываний о существовании. Переменная. Выражения с переменными. Предложения с переменными. Переменная и кванторы. Отрицание утверждений с кванторами.

Логическое следование. Понятие логического следования. Отрицание следования. Обратное утверждение. Следование и равносильность. Следование и свойства предметов. Рассуждения.

Основная цель – формировать представление об отрицании высказываний; научить строить отрицания частных высказываний, общих высказываний; уточнить понятия переменной, выражения с переменной и предложения с переменной; научить использовать кванторы и для записи высказываний и их отрицаний; повторить действия с обыкновенными и десятичными дробями.

Познакомить с понятиями логического следования и его отрицания, обратного утверждения, характеристического свойства (признака).

Программа курса начинается со знакомства учащихся с отрицанием высказывания как с предложением, в котором выражается противоположное мнение. Логическим эквивалентом отрицания является оборот “неверно, что...” или просто частица “не”.

От простейших случаев отрицания учащиеся переходят к более сложным случаям - построению отрицаний общих высказываний и высказываний о существовании. Выявляется их важнейшее общее свойство, а именно то, что отрицание общего высказывания есть высказывание о существовании, и наоборот. Правильность построения отрицаний проверяется с помощью закона исключенного третьего.

Уточняется понятие переменной. Учащиеся знакомятся с использованием логических символов - кванторов существования () и общности () для записи высказываний и их отрицаний.

Все вопросы, связанные с высказываниями, рассматриваются как на примерах из жизни, так и на математических объектах. Это позволяет в интересной для учащихся форме провести факультативные занятия.

Формируются представления о логическом следовании и логическом выводе, достаточные для мотивации деятельности учащихся на уроках алгебры и геометрии. При этом новые логические понятия, с одной стороны, помогают повторять и закреплять материал, изученный ранее, а с другой – готовят учащихся к изучению разделов алгебры и геометрии.

Основные требования к знаниям и умениям учащихся

Учащиеся должны знать: Понятие отрицания; Понятие переменной; Понятие выражения с переменными; Переменные и кванторы; Понятие логического следования; Обратное утверждение;

Учащиеся должны уметь: Отрицать общие высказывания; Отрицать высказывания о существовании; Выводить логическое следование; Отрицать следования; Связывать следование и равносильность; Определять следования из свойств предметов;

Примечания.

Не обязательно: Формулировать обратные утверждения; Составлять отрицание утверждений с кванторами;

КОНСПЕКТ ФАКУЛЬТАТИВНОГО ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ: “ЯЗЫК И ЛОГИКА”

Цель:

• Дидактическая: Закрепить изученные понятия математической логики: высказывание, тема, рема, истинное высказывание и ложное высказывание.
• Коррекционная: Развитие логического мышления, средствами математической логики
• Воспитательные: Развитие интереса к математике, интегрирование знаний с другими учебными дисциплинами, обогащая знания, расширяя кругозор учащихся.

Материалы: Тетради для факультативных занятий, карандаши двух цветов, набор карточек для упражнений, компьютер для выведения заданий в формате Презентация Microsoft PowerPoint <Приложение1>, музыкальное произведение на одном инструменте.

Ход занятия:

I. Организационный момент. Я предлагаю эпиграфом нашего занятия взять слова Михаила Васильевича Ломоносова "Математику уж затем учить надо, что она ум в порядок приводит". А вы знаете кто такой Ломоносов? Как вы понимаете эти слова?

II. Цель занятия: Сегодня на факультативном занятии мы вспомним и закрепим, уже изученные понятия математической логики.

III. Запишите в тетрадях дату и тему занятия: “Язык и логика”.

IV. Математическая разминка: (Устно)

1. Как называется алфавит, в который входят цифры, буквы, скобки и знаки арифметических действий? (математический).
2. Как называются математические выражения в записи, которых встречаются только числа? (числовые)
3. Как называются математические выражения в записи, которых встречаются буквы? (буквенные).
4. Что означает: найти значение выражения? (решить пример)

V. Устный счет: У каждого на столе лежит карточка, на которой рядом с примером записана буква. Вам необходимо решить пример, найдя ответ определить какой клетке соответствует буква из вашей карточки. Мы расшифруем название уже известного нам понятия математической логики.

Решите примеры и расшифруйте название понятия математической логики:

Н	52•0+600:60	В	50* 1+0
Ы	29:(32-3) •2	З	360:6
С	(14-14) •45:9	И	320:80
А	7:7-0:24	К	900:150
Е	1•(58-47):1	В	800:16
Ы	2* 2:2	М	(50+50)-30
П	100•0,01+9

50	2	0	6	1	60	2	50	1	10	4	11
В	Ы	С	К	А	З	Ы	В	А	Н	И	Е

VI. Фронтальный опрос:

1. Как еще называют высказывания? (утверждения)
2. Всякое ли предложение можно назвать высказыванием? Приведите пример
3. На какие части можно разделить всякое высказывание? (тема и рема)

Тема – то, о чем говорится.

Рема – то, что говорится о теме.

VII. Тренировочные упражнения: (записаны на доске)

Среди данных предложений выберите и запишите в тетради высказывания, и укажите в них тему и рему, подчеркнув тему красным карандашом, рему – синим карандашом. (Учащимся, которым требуется длительное время для записи можно дать заготовку.)

Когда заканчиваются летние каникулы?

Париж – столица Франции.

Тридцать три.

Который час?

Луна – спутник Земли.

15+15=30

100 – 20 = 120

• Все ли утверждения верны?
• Как называются верные высказывания? (истинные)
• Как называются не верные высказывания? (ложные)

VIII. Тренировочные упражнения:

Назовите тему и рему следующего утверждения:

200:(100-90) •10+50=260

Проверьте истинность этого утверждения.

IX. Физкультминутка. (звучит музыка)

Отложите ручки на стол они нам уже не понадобятся. Расправьте плечи, поднимите руки вверх не вставая со стула потянитесь за руками. Опустите руки. Повторите упражнение. А теперь закройте глаза и вслушайтесь в музыку…….

В этом музыкальном произведении солирует аккордеон. Это верно? Данное высказывание истинно или ложно?

X. Задание на печатной основе На желтых карточках записаны высказывания. Найдите в них тему и рему. Основываясь на своих знаниях и опыте, определите, какие из высказываний истинны, а какие ложны. Подчеркнув тему красным карандашом, рему – синим карандашом <Рисунок 1>

• В каждом декабре 31 день. (Истина.)
• В неделе восемь дней. (Ложь )
• На нуль делить нельзя. (Истина.)
• Картину “Три богатыря” написал художник Виктор Михайлович Васнецов. (Истина)
• Дробь, у которой числитель меньше знаменателя – неправильная. (Ложь).
• У каждого человека есть родители. Истина.
• По крайней мере у двух великих немецких композиторов – классиков фамилии начинаются с буквы “Б”. (Истина. (Бах, Бетховен))
• от 18 равно 4. ( Истина.)
• Наименьшее натуральное число – нуль. (Ложь. (Натуральные числа – те которые используем при счете, верный ответ единица))
• Слово “красивый” является глаголом. Ложь (прилагательное)
• У треугольника три угла. (Истина )
• Третий месяц летних каникул июль. ( Ложь )

XI. (Устно) Задание воспроизводится на компьютере в формате Презентация Microsoft PowerPoint. В следующих высказываниях поменяйте местами тему и рему. Определите, получится ли после этого истинное предложение.

1. Все люди смертны. (Все смертные люди) ложь (животные, птицы)
2. Все люди двуногие. ( Все двуногие люди) ложь (птицы)
3. Всякое натуральное число, делящееся на 2, является четным. (Всякое натуральное четное число делится на 2.) истина
4. Всякое натуральное число, оканчивающееся на 5, делится на 5. (Всякое натуральное число, делящееся на 5, оканчивается на 5.) ложь (может оканчиваться на 0)

XII. Итог урока:

Придумайте одно истинное и одно ложное высказывание. Укажите в них тему и рему.

Приведите примеры предложений, которые высказываниями не являются.

XIII. Заключение: С какими понятиями математической логики, мы сегодня работали? (высказывания, тема, рема, истина, ложь)

XIV. Подведение итогов факультативного занятия.

Приложение

Литература:

1. Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон. "Математика 5 класс" -М.: Баллас С-инфо. 1999.
2. Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон. "Математика 6 класс" -М.: Баллас С-инфо. 1999.
3. Л.Г. Петерсон. “Математика 5-6 класс. Методические материалы к учебникам Г.В.Дорофеева, Л.Г.Петерсона.” - М.: Школа 2000… . 2003.