Одна из учебных задач, которая решается наглядными средствами - это формирование навыков зрительного восприятия учащимися начальных данных геометрической информации с сопутствующими переводами их на языки символов и вербальных обозначений. Не менее важной, на наш взгляд, является выработка у учащихся умений самостоятельно ставить задачи о возможных связях между геометрическими объектами, исходя из имеющейся информации.
Поясним сказанное выше на примере открытого урока геометрии “Сумма углов треугольника”, данного автором на областном семинаре учителей математики Мурманской области в 7 классе Мурмашинской средней общеобразовательной школы № 3.
Обучение велось по учебнику [1] , в качестве дополнительного материала для каждого ученика была подготовлена специальная тетрадь визуальных материалов по теме “Треугольник”.
Урок начался с устной работой, в ходе которой учащиеся вспомнили весь известный материал, понадобившийся затем при доказательстве теоремы и при решении задач.
- Устно ответили на вопросы:
- Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.
- Какой угол называется развернутым?
- Какой угол называется острым? прямым? тупым?
- Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов?
- Какие углы называются вертикальными? Каким свойством они обладают?
- Что называется треугольником?
- Какие известны виды треугольников по сторонам?
Рис. 1
Далее, рассматривая информационную страницу “Внешние и внутренние углы треугольника” (рис. 1), ребята сами, в ходе анализа слов и сопоставления им деталей рисунка, составили определения внутреннего и внешнего углов треугольника.
Так мы выяснили, что “слова “внутренний угол треугольника” означают, что этот угол “находится внутри” треугольника. “Внешний угол треугольника” лежит вне (снаружи) треугольника, поскольку образован одной его стороной и продолжением другой стороны” [2, с. 10]. Дети отметили эти углы буквами греческого алфавита.
Далее перешли к визуальным наблюдениям обнаружения связей между внутренними и внешними углами треугольника (рис. 1).
Обсудили ответы на дополнительные вопросы:
Каждый ли внутренний угол треугольника имеет внешний?
Для образования внешнего угла треугольника необходимо продолжить одну из его сторон. А что если продолжить не одну сторону треугольника, а две? Сколько в этом случае образуется внешних углов?
Не сразу слышится правильный ответ. Поэтому предлагаем в тетради построить треугольник и, продолжив все его стороны, получить внешние углы.
Для ребят, испытывающих при выполнении этого задания затруднения есть рисунок (рис. 2), на котором показано как можно выполнить это построение. При построении получено шесть внешних углов.
Далее следует предложение сравнить внешние углы, находящиеся при одной вершине треугольника.
Рис. 2
Верный ответ: они равны, так как являются вертикальными углами.
Наблюдения продолжаются. Учащимся дано задание, используя информационную схему “Треугольник и его элементы” (рис. 3), попытаться определить вид треугольника, если известно, что:
а) один из его внешних углов прямой;
б) внешние углы при каждой вершине – тупые;
в) один из внешних углов острый, два других – тупые.
Рис. 3
На следующем этапе урока была сообщена цель урока – доказать одну из важнейших теорем о сумме внутренних углов треугольника (рис. 4).
Рис. 4
Первое задание: найдите и прочитайте формулировку теоремы. О какой фигуре идет речь, что из себя будет представлять чертеж к теореме? Выполнили его в тетради.
Глядя на чертеж, перечислили внутренние углы треугольника. Обсудили вопросы: что рассматривается в условии теоремы? что доказывается в этой теореме? Соответствующие записи оформили в тетради.
Переходим к доказательству, анализируя предлагаемую зрительную информацию (рис. 5).
Что произошло с треугольником? Учащиеся заметили, что через одну из вершин треугольника проведена прямая, параллельная его основанию. Две другие стороны этого треугольника продолжены, так что образовались новые углы.
Именно они и привлекли наше внимание.
Рис. 5 |
Что вы можете сказать об углах 
? Звучит
правильный ответ: они являются вертикальными, а,
следовательно, равными углами.
Для ребят, испытывающих затруднения, есть подсказка, которая позволяет вспомнить не только, как выглядят вертикальные углы, но и каким они обладают свойством.
Что вы можете сказать об углах 
и 
? Эти углы
являются соответственными.
Каким свойством они обладают? Так как они образованы при пересечении двух параллельных прямых секущей, то будут обязательно равными.
Можно ли назвать образовавшиеся при вершине
треугольника углы – смежными? И опять выручает
подсказка. Оказывается, нет: смежных углов должно
быть два, а здесь их три, но вместе они образуют
развернутый угол, величина которого равна 
. Значит и
сумма, соответственно равных им, внутренних
углов треугольника также будет равна .
Еще раз внимательно рассматриваем рисунок и ученики (уже без помощи учителя), дополняя ответы друг друга, пытаются доказать теорему самостоятельно.
Итак, теорема доказана.
Теперь настала очередь научиться применять полученное теоретическое знание на практике. Перешли к решению задач серии (рис. 6), в которой был строго выдержан принцип нарастания степени сложности.
Рис. 6
Так как первые задачи серии были самыми простыми, то они не вызвали затруднений при решении. В первой задаче был известен угол, противолежащий основанию остроугольного равнобедренного треугольника. Нужно найти углы при основании. Во второй задаче, наоборот, известен угол также равнобедренного, но уже тупоугольного треугольника при основании, необходимо найти угол, противолежащий основанию.
Третья задача была немного посложнее. По ее
условию этой задачи известен внешний угол
треугольника, можно найти смежный с ним
внутренний угол 
, а затем, опираясь на решение предыдущих
задач, найти остальные углы треугольника.
Как и запланировано в серии наиболее трудной для учащихся оказалась 4-я задача, так как нужно было правильно увидеть на чертеже основание равнобедренного треугольника.
На следующем этапе урока вновь обратились к информационной схеме “Треугольник и его элементы” (рис. 3). Опираясь на знание только что доказанной теоремы дети смогли дать ответы на следующие вопросы:
Сколько тупых (прямых) углов может быть в треугольнике?
Какова величина угла в равностороннем треугольнике?
Сколько градусов составляет острый угол в прямоугольном равнобедренном треугольнике?
Теперь школьники могли использовать эту схему как справочник при заполнении матрицы “Виды треугольников” (рис. 7).
Рис. 7
Прежде чем заполнять матрицу, внимательно рассматриваем каждый из представленных на рисунках треугольников. В ходе коллективного обсуждения и наблюдения приходим к следующим выводам.
Оказывается, на первом рисунке изображен прямоугольный равнобедренный треугольник. Исходя из чего сделан такой вывод? На чертеже есть обозначение прямого угла и одинаковым количеством черточек отмечены равные стороны. А в равнобедренном треугольнике есть два равных острых угла. Кроме того, пользуясь только что доказанной теоремой, учащиеся еще раз определяют градусную величину острых углов в прямоугольном равнобедренном треугольнике.
На втором рисунке представлен также равнобедренный треугольник. Однако теперь угол, противолежащий основанию – тупой. Значит два других угла в этом тупоугольном равнобедренном треугольнике будут обязательно острыми.
На третьем чертеже представлен равносторонний треугольник, об этом свидетельствует равенство всех его сторон.
Что можно сказать об углах такого треугольника?
Все углы равны, их градусная величина
составляет 
(еще раз обращаемся к доказанной
теореме) и все они являются острыми углами.
На четвертом рисунке уже отмечены два равных угла. Можно ли определить вид треугольника? Да, он будет равнобедренным остроугольным.
И на последнем чертеже не отмечены ни равные стороны, ни равные углы. Поэтому можно утверждать, что треугольник разносторонний остроугольный. После такого предварительного обсуждения ребятам необходимо самостоятельно заполнить матрицу.
При оценивании выполненной работы учитывалось умение учащихся давать классификацию треугольников не только по сторонам, но и по углам. Абсолютное большинство учащихся блестяще справилось с заданием. Тем самым, мы пришли к подтверждению следующего положения: “Накопление и обогащение эмпирического (чувственного) опыта осуществляется путем не только восприятия, но и активного мысленного преобразования исходного материала” [4, с. 31].
На заключительном этапе урока выполняли задание “Посмотрите и найдите” № 1–3 (рис. 8). Оно было наиболее трудным.
Рис. 8
И трудность заключалась в том, что на одном чертеже по сути дела были представлены сразу три задачи. Текст к этим задачам отсутствовал. Условие нужно было составить самим, используя все подсказки на чертеже. Эти подсказки уже знакомы детям, они неоднократно встречались в предыдущих задачах: одинаковое количество черточек указывает на равенство сторон в треугольнике и можно утверждать, что он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Специальным образом выделены накрест лежащие углы. Чтобы облегчить зрительное восприятие условий задач, к основному чертежу предлагалось несколько вспомогательных. Так, на рисунке а) введено цифровое обозначение углов, отмечены равные стороны. На рисунке б) на отдельных чертежах показаны равные углы, углы в равнобедренных треугольниках и накрест лежащие углы. Рисунок в) позволяет объединить полученные равные углы с числовыми данными задачи и вычислить остальные углы треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.
В качестве домашнего задания для всех предложена задача – по рисунку “найти правило для отыскания величины внешнего угла треугольника” (рис. 9)
Рис. 9
Тем самым идет подготовка к следующему уроку, где будет доказана теорема о внешнем угле треугольника. Теорема о сумме внутренних углов треугольника не была задана на дом для обязательного заучивания. Однако на следующем уроке ее доказательство было воспроизведено абсолютным большинством учащихся.
В заключении, отметим, что постоянное (точнее, часто повторяющееся) зрительное восприятие одних и тех же (в данном случае геометрических) объектов с разных сторон позволяет более продуктивно формировать умения, знания и навыки учеников при знакомстве с новыми понятиями геометрии. Запоминать и заучивать не нужно, следует лишь внимательно смотреть и понимать увиденное. Визуальные средства представления учебного материала подготавливают ученика к восприятию отдельного положения математической теории.
Мы убедились, что в результате реализации данного подхода у детей возникает интерес к переработке наглядной информации, желание и возможность проанализировать ее, поставив вопрос о неизвестных связях, и получить искомый результат, исходя из геометрических представлений.
Литература:
- Геометрия: Учеб. для 7–9 кл. общеобразоват. учреждений. /Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1995. – 335 с.: ил.
- Резник Н.А. Визуальная геометрия “Связи между углами треугольника": Сборник визуальных дидактических материалов для учителя и ученика (6–7 классы). – СПб, Изд-во "Информатизация образования", 2000. – 22 с.
- Резник Н.А. Визуальная геометрия “Треугольник и его элементы": Сборник визуальных дидактических материалов для учителя и ученика (6–7 классы). – СПб, Изд-во "Информатизация образования", 2000. – 22 с.
- Якиманская И.С. Развивающее обучение.– М.: Педагогика, 1979. – 144 с. – (Воспитание и обучение. Библиотека учителя)