Приближенное вычисление корня уравнения методом деления отрезка пополам

Раздел программы: “Научно-технические расчёты на ЭВМ”

Тема урока: “Приближенное вычисление корня уравнения методом деления отрезка пополам”

Продолжительность занятия: 2 академических часа.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: комбинированный.

Технология: личностно-ориентированная.

Время проведения: первый урок по теме “Приближенные вычисления”

Цели урока:

• Развитие представлений о применениях ЭВМ для научно-технических расчетов.
• Формирование системно-информационного подхода к анализу окружающего мира.
• Формирование общеучебных и общенаучных навыков работы с информацией.

Задачи урока:

• Воспитательная – развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры, воспитание умения четко организовать самостоятельную работу.
• Образовательная – изучить и закрепить приемы использования языка программирования для решения задач приближенного решения уравнений, закрепить знания и умения по теме “Алгоритмизация и программирование”.
• Развивающая – расширение кругозора.

Методы: Словесные, наглядные, практические.

Организационные формы работы: фронтальные, индивидуальные.

Материально-техническая база: доска, ПК с установленным ПО ЯП Turbo Pascal 7.0.

Межпредметная связь: математика.

Требования к знаниям и умениям: учащиеся должны знать основные команды языка программирования для задач вычислительного характера, уметь составлять и записывать алгоритмы с использование циклов и ветвлений; по записи алгоритма записывать программу на языке программирования Turbo Pascal.

План урока:

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Мотивационное начало урока. Постановка цели урока

Учитель: Вычисления на компьютере обладают большей гибкостью, чем привычные всем вычисления в математике. Рассмотрим для примера задачу вычисления корня уравнения f(x) = 0. В курсе школьной математики вам известен метод дискриминанта для уравнений вида:
ax² + bx + c = 0, выражаемой по формуле . Однако, во многих случаях, ответ не выражается формулой (например, для корня уравнения cos(x) = x формулы просто нет). Но можно, не выводя точных формул, вычислить корень приближенно, с заданной точностью, например, до 0,0001. Сегодня мы рассмотрим один из приближенных методов вычисления корня уравнения – метод деления отрезка пополам.

III. Изучение нового материала.

Учитель: Рассмотрим задачу в следующей постановке.

Дано уравнение f(x) = 0 и числа a и b: a < b, f(a) и f(b) имеют разные знаки на отрезке [a, b], т.е. f(a)*  f(b)<0, а график функции y = f(x) есть непрерывная линия на отрезке [a, b]. В этом случае график функции обязательно пересечет ось OX. (См. рис 1).

Рисунок 1

Требуется определить корень уравнения W с точностью E > 0.

Если V–точный корень уравнения f(V) = 0, a < V < b, то требуется найти W:  |W – V| < E, a < W < b.

При такой постановке алгоритм метода деления отрезка пополам следующий:

1) c = (a + b)/2 {вычисляем середину отрезка [a, b]}

2) если f(a) * f(b) < 0, то b = c иначе a = c. {выбираем левую или правую часть отрезка, где находится корень уравнения}

3) если |a – b| > E, то перейти к пункту 1). {если величина длины отрезка не достигла требуемой точности, то процесс деления отрезка продолжаем}

Любая точка отрезка [a, b] при таком алгоритме даст приближенное решение с заданной точностью.

Запишем алгоритм решения нашей задачи в виде блок схемы: (См. рис. 2).

Рисунок 2

Учитель: Есть ли вопросы?

Если у учащихся есть вопросы, то необходимо все уяснить, прежде чем переходить к следующему этапу урока/

Учитель: Какой алгоритм по структуре у нас получился?

ПО: циклический, причем использовать надо цикл с предусловием.

Учитель: Что необходимо вписать в блоки, помеченные звездочкой ( * )?

ПО: Здесь необходимо записать команду вычисления конкретной функции в точке a и в точке c.

Учитель: Что необходимо предварительно сделать, прежде чем применять этот алгоритм для нахождения корня уравнения?

ПО: Необходимо, в первую очередь, проверить, удовлетворяет ли функция постановке задачи: является ли график функции непрерывной линией на отрезке [a, b], разные ли знаки имеет функция на концах отрезка [a, b].

IV. Этап закрепления, проверки полученных знаний

Учитель: Можно ли применять метод деления отрезка пополам для нахождения корней уравнений, на заданных отрезках (уравнения записаны на доске):

1. x² – 5 = 0, [0, 3] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(0) * f(3) < 0, применять метод можно)
2. sin(x) – 0,2 = 0 [0, /2] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(0) * f(/2) < 0, применять метод можно)
3. 1/(x – 1) [–2, 2] (ПО: функция не существует в точке х=1, применять метод нельзя)
4. x⁴ + cos(x) – 2 = 0 [0, 2] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(0)* f(2) < 0, применять метод можно)
5. x⁵ – 1 = 0 [–5, 2] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(– 5) *   f(2) < 0, применять метод можно)

V. Задания для самостоятельного выполнения

1. Записать для алгоритма на рисунке 2 программу на языке Паскаль.

(Program XXX;
Uses Crt;
Var a, b, e, fa, fc, c: Real;
Begin ClrScr; e : = 0.001;
fa : = … ;
While Abs (a – b) > e do
Begin c : = (a + b)/2;
fc : = … ;
If fc  ^. fa < 0 Then b : = c
Else Begin a : = c; fa : = fc; end;
end;
Writeln (‘Корень уравнения равен ’, a : 6 : 3);
Readkey;
End.

Программу учащиеся математического класса пишут самостоятельно, для непрофильного класса её можно дать в готовом виде с пояснениями учителя).

2. Используя программу, вычислить на компьютере приближенные корни уравнения с точностью до 0.001 следующих уравнений: (записаны на доске)

1. x²cos(2x) + 1 = 0 [0, /2]
2. x³ + x² + x + 1 = 0 [–2,1]
3. x⁵ – 0,3 | x – 1 | = 0 [0,1]
4. 2x – cos(x) = 0 [0, /4]
5. tg(x) – (x + 1)/2 = 0 [0, /4]

3. Это задание для учащихся математического класса: Вычислить значения , используя этот же метод деления отрезка пополам. Ответы сравните с расчетами на инженерном калькуляторе.
ВСЕ результаты вычислений фиксируются в тетради.

4. Результаты лабораторной работы должны быть защищены в индивидуальном порядке в беседе с учителем: проверяется понимание метода и используемой программы.

Вопросы для собеседования:

1. В чем смысл переменной…?
2. Что означает данная команда…?
3. Как вы записывали для функции а) – е) выражение в команде fa : = ...?
4. Для чего в программе используются операторные скобки?
5. Для чего использовали в программе команду ветвления? Цикла?
6. Где в программе осуществляется выбор отрезка, где находится корень уравнения?

На выполнение задания дается 30 минут. (Для выполнения задания учащиеся рассаживаются за компьютеры, загружают среду программирования и начинают проверять программу).

Защита результатов осуществляется по мере готовности учащихся, наиболее продвинутые учащиеся назначаются консультантами и принимают зачет вместе с учителем.

VI. Подведение итогов. Домашнее задание

Учитель: Подведем итоги. Сегодня на уроке вы узнали, как находить решение уравнений методом деления отрезка пополам, как использовать для этого компьютер. Я проверила во время практической работы и в процессе защиты результатов работы как вы усвоили материал, вы хорошо справились с заданием и получили следующие отметки… На этом изучение применений компьютера для научно-технических расчетов не заканчивается, предлагаю проанализировать свои записи в тетради и выполнить домашнее задание: подумать над вопросом “Какие методы поиска площадей фигур вы знаете?”. Запишите его себе в тетрадь.
Спасибо всем за работу.