Компьютер — незаменимый помощник учителя на уроках математики

I. Использование стандартной программы Windows-Калькулятор

В процессе изучения свойств тригонометрических функций и их производных, при решении тригонометрических уравнений учащиеся сталкиваются с вычислениями типа cos 124°, sin 2,35, arcos (– 0,61), arctg 5,2 и т.д. Встаёт вопрос “Как вычислить?”. Конечно можно было воспользоваться таблицами В.М.Брадиса или микрокалькулятором. Однако, если пользователю по ходу работы в Windows требуется что-то подсчитать, он делает это, не “покидая” компьютер. Поэтому одной из задач учителя математики является приобщение учащихся к работе с программой Калькулятор, продолжать формирование “вычислительной” культуры. Хотя калькулятор выполняет все операции мгновенно и с высокой точностью, экономит время, однако это не освобождает учащегося от необходимости обдумывать результаты вычисления, анализировать их с точки зрения приближенных вычислений.

Опыт показывает, что в практике преподавания недостаточное внимание уделяется оценке точности приближений по количеству значащих цифр. В технических задачах часто величины приводятся с тремя значащими цифрами. Это обеспечивает точность по крайней мере не менее 1%. Ниже приведу содержание практической работы, которую учащиеся выполняют с помощью компьютера, согласно инструкции по выполнению работы.

Т.к. количество компьютеров ограничено (12 шт.), то остальные учащиеся в это время заняты самостоятельной работой по теме урока.

1. Практическая работа по алгебре и началам анализа

Тема: Вычисление значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций и производных.

Цель работы: продолжить формирование вычислительных навыков нахождения значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Оборудование: персональные компьютеры.

Программное обеспечение:

• операционная система Windows;
• стандартная программа Калькулятор.

Дидактические материалы: карта-инструкция, 14 шт.

Время выполнения: 20 минут.

Инструкция по выполнению работы помещена в “Приложение 1.doc”.

2. Подведение итогов учебной деятельности

В процессе выполнения работы учитель проверяет результаты вычислений и отмечает знаком “+” верные ответы.
Оценка за практическую работу складывается из двух составляющих: практической и теоретической. Каждый учащийся подсчитывает количество “+” и оценивает результат в баллах. Шкала оценок: “5” – 10 баллов; “4” – 9–8 баллов; “3” – 7–6 баллов; “2” – 5 баллов.
Затем устно заслушиваются ответы на поставленные вопросы. Каждый оценивает себя сам. За правильный ответ получает 1 балл. Максимальное количество баллов – 10. Оценка выставляется аналогично, как в предыдущем случае.

• Общая оценка “5” (10 б. + 10 б.);
• оценка “4” (18 б. – 16 б.);
• оценка “3” (14 б. – 12 б.);
• оценка “2” <11 баллов.

После этого I подгруппа приступает к выполнению самостоятельной работы, II подгруппа выполняет практическую работу. Учитель в ходе работы помечает знаком “+” верные ответы. Затем подводятся итоги выполнения практической работы во II подгруппе.
Подобную практическую работу можно дать и в качестве домашнего задания, т.к. большинство детей имеют компьютер дома и такие работы выполняют охотно. Усложнить задание можно тем, что каждый учащийся индивидуально придумывает себе примеры для вычислений. Однако, учителю придётся потрудиться, чтобы проверить это домашнее задание.

3. Резюме

В ходе тренировочных упражнений и устных ответов учащиеся повторили пройденный ранее материал. Наличие инструкции по выполнению заданий способствовало каждому активно включиться в работу и добиться определённых результатов. Деятельность учащихся – это не “слепое” следование инструкции нажатием тех или иных кнопок на калькуляторе. Инструкции в роли проводника помогают всем учащимся работать в одном темпе, отрабатывать необходимые вычислительные навыки.

II. Использование пакета MathCad при изучении темы “Графики тригонометрических функций”

Применение этого пакета позволяет быстро и аккуратно в цвете производить построение графиков тригонометрических функций в декартовой системе координат и выполнять их преобразование путём растяжения и сжатия по оси абсцисс и деформации по оси ординат. Этой теме уделяется большое значение, т.к. с тригонометрическими функциями связаны различные колебательные процессы в физике и механике.

Тема: Графики гармонических колебаний.

Цели:

• систематизировать полученные знания о преобразовании графиков тригонометрических функций;
• получить навык в построении графиков, описывающих процесс гармонических колебаний;
• формирование умений и навыков в решении задач на составление уравнений гармонических колебаний;
• формирование графической и информационной культуры учащихся.

Тип урока: урок выработки и закрепления умений и навыков.

Время проведения: 2 урока.

Оборудование:

• персональные компьютеры – 12 шт.;
• мультипроектор, экран.

Программное обеспечение:

• пакет MathCad;
• MS PowerPoint.

Наглядные пособия:

• компьютерная презентация “Гармонические колебания”;
• плакат “Графики гармонических колебаний”.

Дидактические материалы: карточки-задания по теме: “Применение производных тригонометрических функций к решению прикладных задач”.

Эпиграф к уроку:

Идите, идите вперёд, уверенность придёт к вам позже…

Д’Ламбер

1. Обоснование актуальности данного урока

Формирование графической и информационной культуры учащихся стоит в ряду педагогических задач, которые решаются не только на уроках информатики, но и на других, в частности, на уроках математики. А для этого необходимы интеллектуально – побуждающие мотивы, способствующие расширению кругозора учащихся, превращающие процесс познания в самодеятельное творчество. Одним из таких мотивов является изучение пакета MathCad как инструмента для формирования графической и информационной культуры. Не секрет, что информационная открытость Интернета делает учащихся более уязвимыми в плане эскапизма (уход в иллюзорный мир от возникших проблем и трудностей в школе и дома). Задача учителя – предметника – создать необходимые условия на получение полезной, качественной, достоверной информации, приносящей подросткам радость творчества и небольших открытий.

План урока

1. Организационный момент – 2 мин.

   – Постановка целей урока.

2. Проверка домашнего задания – 20 мин.

   – I подгруппа проверяет построение графиков тригонометрических функций с помощью компьютера в программе MathCad
   – II подгруппа принимает участие во фронтальном опросе. Затем подгруппы меняют виды деятельности.

3. Новое на уроке – 15 мин.

   – Графики гармонических колебаний.

4. Проверка понимания и первичное закрепление знаний.

   – Выполнение упражнений обучающего характера – 8 мин.
   – Самостоятельная работа на закрепление учебного материала – 20 мин.
   – Компьютерная презентация “Гармонические колебания” – 15 мин.

5. Задание на дом – 5 мин.
6. Подведение итогов – 5 мин.

Содержание урока

1. Тема сегодняшнего урока посвящена преобразованиям графиков тригонометрических функций, с которыми связаны колебательные процессы в физике и механике. Не случайно эпиграфом к сегодняшнему уроку являются слова французского учёного Д’Ламбера “Идите, идите вперёд, уверенность придёт к вам позже…”, который призывает вас к формированию графической культуры и умению строить графики тригонометрических функций. Если не всё получалось вчера, то обязательно получится завтра!”

2. Проверка домашнего задания с помощью компьютера – программы MathCad. Дома учащиеся строят графики в одной системе координат следующих функций: y = cos x, y = cos 2x, y = cos (x/2); y = 2 cos x, y = cos (x + 1), y = cos (x – /2).
Второй рисунок представлен графиками функций y = sin x, y = sin 2x, y = sin (x/2), y = 2sin x, y = sin (x + 1), y = sin (x – /2). Устно отвечают на вопрос: с помощью каких преобразований построены эти графики?
В программе MathCad заранее выполнены графики этих функций: рисунок1 и рисунок2. Учащиеся I и II подгрупп проверяют правильность построения графиков функций. Пока учащиеся I подгруппы работают с компьютером, учащиеся II подгруппы отвечают на вопросы:

1. Назовите период каждой функции, представленных на рисунке 1. Ответ обосновать.
2. Назовите период каждой из функций, представленных на рисунке 2. Ответ обосновать.
3. Назовите область определения каждой из функций.
4. Назовите множество значений каждой из функций.
5. Верно ли высказывание:

А) функция y = cos x непрерывна на множестве R?
Б) функция y = tg x непрерывна на своей области определения? На множестве R?
В) выполнение упражнений с помощью компьютера.

Рисунок 1. “Преобразование графиков тригонометрических функций”

3. Новое на уроке

Рассмотрим функцию y = 2sin (3x – 3/4).

I способ

1). Y – sin x, T = 2;

2). Y = sin 3x, T = 2/3 (сжатие в 3 раза вдоль оси Ox)

3) Перенос графика функции y = sin 3x на вектор r(/4;0), y = sin 3(x – /4).

4) Растяжение графика y = sin (3x – 3/4) в два раза вдоль оси ординат, получаем y = 2sin (3x – 3/4).

II способ (график представлен ниже)

Исследуем функцию. Находим точки пересечения графика с осью абсцисс.

sin (3x – 3/4) = 0; 3x – 3/4 = k, 3x = 3/4 + k, x = /4 + /3 * k, k Є Z

Находим точки максимума функции:

2sin (3x – 3/4) = 2, sin (3x – 3/4) = 1, 3x – 3/4 = /2 + 2k, x = 5/12 * + 2/3 * k, k Є Z

Находим точки минимума функции: 2sin (3x – 3/4) = –2, sin (3x – 3/4) = – 1

Процесс, который описан функцией y = Asin (t + ) или y = Acos (t + ) называется гармоническим колебанием. Примеры гармонических колебаний: колебания упругой пружины, движение маятника часового механизма и др. В этих формулах обозначены:

A – амплитуда,
– частота,
–начальная фаза колебаний,
t + – фаза,
T = 2/ – период.

f ''(t) = – ²f(t) является дифференциальным уравнением гармонического колебания.

При гармоническом колебании 2-ая производная функции f ''(t), описывающая изменяемую величину движения, пропорциональна самой функции.

Проверим, что функция f(t) = Asin (t + ) является решением данного дифференциального уравнения: f '(t) = Acos(t + ),
f''(t) = – A²sin (t + ),

– A²sin (t + ) = – ² Asin(t + ), что и требовалось доказать.

Сложение гармонических колебаний с одним и тем же периодом.

Дано: f₁(t) = , . Найти результирующее колебание.

; ; ;

Уравнение результирующего колебания , которое является гармоническим.

Покажем это на рисунке.

4. Проверка понимания и первичное закрепление знаний.

Задание. Движение материальной точки задано уравнением f(x) = 3sin (2x – /4). Какое это движение? Чему равна амплитуда, частота и начальная фаза колебания?

Закрепление нового материала сопровождается презентацией “Гармонические колебания”, в которой содержится проблемный вопрос “Будет ли результирующее колебание гармоническим, если сложить два гармонических колебания с различными частотами?”. После демонстрации слайдов презентации учащиеся самостоятельно решают эту проблему.

5. В качестве домашнего задания учащиеся должны поработать над построением графиков гармонических колебаний в тетради двумя способами и проверить их построение с помощью компьютера в программе MathCad.

III. Заключение

С помощью программы MathCad удобно строить графики в полярной системе координат и графики функций в параметрическом виде. Учащиеся в этом случае наглядно имеют представление о кривых “Улитка Паскаля”, “Спираль Архимеда”, “Кардиоиде”, “Конхоиде”, и т.д. Эффективна эта программа, иллюстрирующая построение графиков функций в теме “Исследование функций с помощью производной”, а также при решении задач на нахождение области определения и множества значений функции. Речь идёт не только о “чтении” построенных графиков, т.е. об установлении свойств функций по их графикам, но и о возможностях проанализировать свойства величины, описывающих те или иные физические процессы.

Приложение 1

Приложение 2