Цели: формирование умения применить полученные знания в нестандартных условиях; учить анализировать и систематизировать те знания, которые учащиеся получают на уроках и черпают из дополнительной литературы.
Ты можешь стать умнее тремя путями:
путем опыта – это самый горький путь;
путем подражания – это самый легкий путь;
путем размышления – это самый благородный путь.
Китайская пословица.
Ход урока
1. Актуализация опорных знаний (в форме беседы).
Вопросы для беседы.
- Сформулировать определение арифметической
прогрессии.
- Какое число называют разностью арифметической прогрессии?
- Какой формулой можно задать арифметическую прогрессию?
- Какая характерная особенность арифметической прогрессии?
- Сформулируйте определение геометрической прогрессии.
- Что называется знаменателем геометрической прогрессии?
- Какая характерная особенность геометрической прогрессии?
- Запишите формулу
го члена
арифметической прогрессии. - Запишите формулу
го члена
геометрической прогрессии. - Запишите формулу суммы
первых членов
арифметической прогрессии. - Запишите формулу суммы
первых членов
геометрической прогрессии. - Запишите сумму бесконечной геометрической прогрессии, где |q|<1.
2. Оглашение темы и целей урока.
Представить фамилии докладчиков и порядок выступления.
3. Творческое применение обобщенных знаний, умений и навыков.
Докладчики выступают со своими работами. В конце каждого доклада ученики задают выступающему вопросы.
- Первый доклад.
С давних времен известны задачи и легенды, в результате решения которых получаются числа – гиганты. Понятно, что речь идет о задачах с геометрической прогрессией (q >1). Одна из наиболее известных легенд – легенда об изобретательном шахматисте. Индийский царь Шерам позвал к себе шахматиста и предложил ему выбрать награду самому за свое мудрое решение. Царя удивила скромность желания: дать за первую клетку шахматной доски одно зернышко, за другую клетку –два зерна, за третью – еще в два раза больше, то есть четыре, за четвертую- еще в два раза больше, и так до 64 клетки доски. Возникает закономерный вопрос: сколько зернышек должен был одержать изобретательный шахматист?
Эта задача впервые встречается у математика
аль-Бируни (973-1050г.). Количество зерен, о котором
говорится в задаче, является суммой 64 членов
геометрической прогрессии, в которой первый член
равен 1, а знаменатель 2.Найдем эту сумму другим
способом, чем в школьном учебнике: 
+…+262+263;
;
.
Подсчитано, что количество зерен, которые хотел получить шахматист, -18446744073709551615, что приблизительно 13,8 млрд. 40-тонных вагонов. Это количество зерен можно рассыпать по всей поверхности Земли, получив шар, в котором на 1м2приходится 4,3кг зерна.
Аналогично можно вывести формулу суммы 
первых
членов геометрической прогрессии в общем виде: 
; 
; 
; 
;
S=
Пример 1. Найти сумму
;
;
; 
; 
.
Пример 2. Найти сумму 
.
; 
; 
.
- Второй доклад.
Задача 1. Доказать, что числа вида 
, где 
, не образуют
арифметическую прогрессию.
Доказательство. Допустим, что для некоторых 
,
- арифметическая
прогрессия. Тогда по свойствам арифметической
прогрессии 
Решим полученное уравнение, учитывая, что : : 
+2
1=0. Уравнение не
имеет корней, значит, для чисел не существует
таких , чтобы
они образовывали арифметическую прогрессию.
Задача 2. Решить уравнение: 
.
Слагаемые 
образуют
арифметическую прогрессию, где d= х+2, 
=20. Тогда 
С другой стороны
Отсюда
следует, что (
;
2х2+21х-410=0. Корни этого уравнения , а значит и
первоначального х1=10; х2=-20,5.
- Третий доклад.
Задача 1. Решить уравнение
.
Перепишем данное уравнение так: 
. (*)
В скобках имеем сумму членов бесконечной
убывающей геометрической прогрессии, где b1=x2,
q=-x. Используя формулу
, мы узнаем, что сумма равна 
.
Поэтому уравнение (*) равносильно такому
уравнению: 2х+1+=
;
18х2 + 5х - 7 = 0. Корни последнего: х1=
.
Задача 2. Решить уравнение
.
Решение аналогичное: 
4. Обсуждение докладов.
Ученики говорят о своих впечатлениях от защиты творческих работ, анализируют эти работы (соответствие теме, полнота разработки, логичность цельность рассказа), вносят свои дополнения, делают поправки.
5. Итог урока.
Учитель подводит итог ученическим выступлениям, дополняет их, указывает на культуру математического языка, на лаконичность и ясность доклада и на правильность ответов на вопросы.
Оценивание. Оценки выставляются за основные доклады, а также за интересные вопросы и дополнения к ним.