Интегрированный урок информатика + математика по теме "Последовательность чисел Фибоначчи"

Тип урока: изучение нового материала и закрепление ранее изученного.

Вид урока: комбинированный.

Цели урока.

Образовательные:

• Создать условия для понимания термина “Последовательность чисел Фибоначчи”;
• Способствовать применению последовательности этих чисел при решении задач на заполнение и обработку одномерных массивов;
• Помочь в отработке имеющихся знаний по темам “Массив”, “Заполнение элементов массива при помощи формул” и навыков работы в среде ЯП QBASIC;
• Способствовать осуществлению межпредметных связей на уроке информатики.

Развивающие:

• Содействовать развитию познавательного интереса и творческой активности учащихся;
• Способствовать развитию логического мышления и умения моделировать задачу.

Воспитательные:

• Способствовать формированию познавательного интереса как компонента учебной мотивации;
• Способствовать повышению у учащихся интереса к историческим событиям, связанным с числами последовательности Фибоначчи;
• Способствовать развитию навыков сознательного и рационального использования ЭВМ в своей учебной, а затем профессиональной деятельности.

(Цели учителя при подготовке к уроку смотрите в разделе “Методические рекомендации”, запустив презентацию <Приложение 1>.)

Методы и приемы обучения: объяснительно-иллюстративный; частично-поисковый; словесный (фронтальная беседа); наглядный (демонстрация компьютерной презентации); практический.

Средства обучения: авторская мультимедиа презентация <Приложение 1>, интегрированная с программой ЯП QBASIC; технические (ЭВМ, мультимедиа проектор с экраном), доска, мел.

Компьютерное программное обеспечение: программы PowerPoint и ЯП QBASIC.

Ход урока:

1. Орг.момент.

Приветствие. Определение отсутствующих. Проверка готовности учащихся к уроку.

2. Актуализация.

Учитель: Сегодня урок изучения нового материала и нам понадобятся ранее изученные понятия. Вспомним:

- Что такое алгоритм (дать определение)?

- Какие типы алгоритмов известны?

- Вспомним виды циклов и разницу между ними. (Т.к. ряд сегодняшних задач будем решать несколькими способами, используя различные виды циклов).

- Что такое массив (дать определение)?

- Назовите виды массивов.

- Перечислите известные вам способы задания массивов.

- Назовите оператор описания массивов.

- Что значит “описать массив”?

(Учащиеся отвечают на вопросы, учитель корректирует ответы.)

Учитель: Запишем тему урока в тетрадь: “Последовательность чисел Фибоначчи”.

Параллельно с рассказом учитель запускает презентацию <Приложение 1>, выбирая последовательно разделы “Урок”, затем “Историческая справка”. Презентация демонстрируется через мультимедиапроектор на экран.

По желанию учителя первый слайд раздела “Урок” можно не демонстрировать, а постановку целей и задач для учащихся, описанных в этом разделе? сделать устно и короче. Так как большое количество целей может напугать слабых учащихся.

Например:

1. Познакомиться с последовательностью чисел Фибоначчи.

2. Научиться использовать эту последовательность при решении задач на заполнение и обработку одномерных массивов.

3. Произвести отладку программ на ЭВМ в ЯП QBASIC.

3. Объяснение новой темы.

Учитель: Леонардо Фибоначчи (1180-1240) – итальянский математик средневековья, путешествуя по Востоку, познакомился с достижениями арабской математики, способствовал передаче их на запад. (На экране раздел презентации “Историческая справка”). В свободное время можете посмотреть информацию на стенде “К уроку”. <Приложение 2>,

Учитель: Рассмотрим задачу.

Задача 1.

Пусть через один такт времени красная клетка превращается в зеленую, а та в свою очередь через один такт времени делится на 2 – красную и зеленую. Выясните количество клеток в каждый такт времени. (Формулировка задачи записывается в тетрадь.)

Учитель: Продемонстрируем решение этой задачи в виде схемы. (Решение задачи демонстрируется учителем на доске.)

Решение: Введем обозначения:

Красную клетку обозначим в виде закрашенного кружочка, а зеленую клетку – в виде не закрашенного кружочка.

 Учитель: Имеем одну красную клетку (закрашенный кружок). Через определенный такт времени она превращается в зеленую клетку (незакрашенный кружок). Та, в свою очередь, через тот же такт времени делится на 2 – красную и зеленую и т.д. этот процесс продолжается.

Параллельно с объяснениями ведутся записи на доске и в тетрадях. Желательно несколько конечных этапов решения попросить прокомментировать учащихся.

Учитель: Выясним количество клеток в каждый такт времени (значение вписываем рядом со схемой, на уровне каждого такта). Решение этой задачи сводится к бесконечной последовательности чисел.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 …

Учитель: Проследите закономерность. Запишите, какое число будет следующим? Какую закономерность получения чисел вы увидели?

В этой последовательности первые два числа равны 1, а каждый последующий член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих. Последовательность чисел такого вида называют последовательностью Фибоначчи, а сами числа числами Фибоначчи.

В тетрадях: Последовательность чисел, первые два числа которой равны 1, а каждый последующий член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих, называют последовательностью Фибоначчи, а сами числа числами Фибоначчи.

Учитель: Эти числа возникают в самых разных математических ситуациях – комбинаторных, числовых, геометрических. Если вы любите отыскивать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что числа Фибоначчи встречаются и там. Черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: 1/3 полного оборота у орешника, 2/5 – у дуба, 3/8 – у тополя и груши, 5/13 – у ивы. Чешуйки на еловой шишке, ячейки на ананас и семена подсолнечника расположены спиралями, причем количество спиралей каждого направления так же, как правило, числа Фибоначчи.

Интересно то, что числа Фибоначчи получили свое название после того, как в 1228 году Леонардо Фибоначчи сформулировал задачу:

Задача 2.

Некто поместил пару новорожденных кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что каждый месяц, начиная с третьего месяца после своего рождения, пара кроликов, производит на свет другую пару? (Формулировка задачи записывается в тетрадь)

Учитель: Рассмотрим решение этой задачи на схеме.

Демонстрируются 6, 7 и 8 слайды презентации – продолжение раздела “Урок”. (7-ой слайд очень наглядно объясняет решение задачи, этот слайд озвучен.) Решение разбирается и записывается учащимися в тетрадь.

Решение:

 Учитель: В данной задаче кролики размножаются по закономерности Фибоначчи. Решение задачи сводится к последовательности чисел Фибоначчи.

Введены обозначения:

В задаче спросили:

Сколько пар кроликов родится в течение года?

Кто может ответить на этот вопрос, не дорисовывая схему?

Ответ: 144 пары кроликов

Учитель: Вот видите, если верить Фибоначчи (?!), какой доход в год получит семья, разводящая кроликов. Итак, решение этой задачи сводится к последовательности чисел Фибоначчи, которые обладают свойствами:

• каждое третье число Фибоначчи четное,
• каждое пятнадцатое оканчивается нулем,
• для каждого p числа Фибоначчи, делящиеся на p, встречаются периодически,
• два соседних числа Фибоначчи взаимно просты и др.

(Свойства чисел записываются в тетрадь)

Учитель: Первая цель урока выполнена (мы познакомились с числами последовательности Фибоначчи). Переходим к следующей цели урока:

Научиться использовать эту последовательность при решении задач на заполнение и обработку одномерных массивов.

3. Решение задач.

При решении задач демонстрируются слайды презентации из раздела “Урок”: 9-й, 10-й, 11-й, 13-й и 14-й. (Когда и что показывать решает сам учитель, исходя из уровня класса, выбранной программы обучения, времени отведённого под изучение данной темы и других факторов.)

Учитель: У вас на столах лежат листочки с текстами задач <Приложение 2>. Рассмотрим задачу №1. (Условие задачи учитель читает вслух и демонстрирует слайд из презентации, можно попросить учащегося зачитать условие задачи)

№1. Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи.

Решение:

A(1)=1

A(2)=1

A(3)=2

A(4)=3

…

A(N)=A(N–1)+A(N–2), при N? 3

Рассмотрим блок-схему алгоритма решения этой задачи (на экране, демонстрируются слайды презентации, по ним ведется объяснение.):

Исполним алгоритм при N=6

Учитель: Запишем блок-схему, исполнение алгоритма и программу решения задачи в тетрадь.

(Для написания программы по готовой блок-схеме можно вызвать к доске ученика и только после этого обращаться к соответствующему слайду презентации, можно также продемонстрировать выполнение программы, используя гиперссылку и проверить решение задачи для нескольких контрольных значений, в том числе и N=6.)

QBASIC:

REM Заполнение массива элементами последовательности Фибоначчи

CLS

INPUT "N="; N

DIM A(N)

A(1)=1: A(2)=1

FOR I=3 TO N

A(I)=A(I–1)+A(I–2)

NEXT I

FOR I=1 TO N

PRINT "A(";I;")=";A(I)

NEXT I

END

№2. Заполнить массив A(N) так: первые K элементов заполнить элементами последовательности Фибоначчи, остальным – присвоить число m. (Нужно обратить внимание на то, что K< N)

  

№3. Заполнить массив A элементами последовательности Фибоначчи до тех пор, пока элемент массива A не станет больше 50. Вывести получившийся массив.

Внимание! В этой задаче размерность массива заранее неизвестна, но “по умолчанию”, т.е. не указывая, оператор DIM в памяти компьютера резервируется место для 10-ти элементов массива, этого достаточно.

Решение:

1 способ.

REM Задача №3

CLS

A(1)=1: A(2)=1: I=2

WHILE A(I)<=50

I=I+1

A(I)=A(I-1)+A(I-2)

WEND

FOR J=1 TO I-1

PRINT "A(";J;")=";A(J)

NEXT J

END

1 способ – используется цикл с предусловием:

WHILE условие

. . .

WEND

Учитель: Обсудим домашнее задание № 4 (читают). Эта задача аналогичная, предыдущей. Отличие: №3 - “не станет больше 50”, а №4 - “не станет больше числа M”

Размерность массива заранее неизвестна, и мы не можем сказать, хватит “по умолчанию” 10 элементов или нет, все зависит от M. Поэтому нужно указать размерность массива, используя, оператор DIM, предварительно задав размерность массива N – достаточно большое число.

 

№5. Заполнить одномерный массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Найти сумму первых K элементов, а для других найти произведение.

Решение:

1 способ.

 

 Учитель: Обсудим домашнее задание №6 (читают) В этой задаче, как и в предыдущей нужно найти сумму и произведение, но только последних K элементов. Как изменится решение этой задачи в отличие от решения предыдущей?

Ответ: Необходимо открыть один цикл “для” по переменной I от K+1 до N, в этом цикле одновременно будем находить и сумму, и произведение элементов массива. А в предыдущей задаче понадобилось открыть два цикла “для”. Один для подсчета суммы, другой для подсчета произведения.

2 способ.

Учитель: Можно было задачу №5 решить другим способом, воспользовавшись только одним циклом “для” и вводя дополнительное условие I? K (если учащиеся не предложат этот способ решения, то можно разобрать его, воспользовавшись презентацией <Приложение 1>)

Учитель: Переходим к следующей цели урока.

4. Отладка программ на ЭВМ в ЯП QBASIC.

Учитель: Проведем отладку решенных задач №2,№3, №5 (в №3 и №5 способы можно предложить выполнить по вариантам) на ЭВМ. Каждый работает индивидуально. Ученики, выполнившие это задание, могут самостоятельно решать любую задачу из предложенного списка задач. Эта работа будет оценена. Для таких целей удобно использовать раздел презентации “Сборник задач по теме”, где не выходя из презентации можно создать программу на ЯП QBASIC, отладить её и сохранить в указанную учителем папку для дальнейшей проверки. Такой способ хорош при организации проверочных, самостоятельных и лабораторных работ.

Плюсы в такой организации деятельности: формулировки задач предложены в электронном воде, малая затрата времени, наглядность.

5. Подведение итогов.

Учитель: Все цели сегодняшнего урока мы выполнили (еще раз при помощи учеников перечисляются цели). Выставляются оценки, которые комментировались в процессе урока. Уточняется домашнее задание: №4, №6 из предложенного списка задач (составить блок-схему и программу на ЯП QBASIC).

Домашняя работа:

№4. Заполнить массив A элементами последовательности Фибоначчи до тех пор, пока элемент массива A не станет больше числа M. Вывести получившийся массив.

№6. Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Найти сумму и произведение последних K элементов.

Внимание: На следующих уроках продолжится решение задач на эту тему из предложенного списка задач <Приложение 2> с использованием раздела презентации “Сборник задач по теме”.

Решение задач домашней работы:

№4. Заполнить массив A элементами последовательности Фибоначчи до тех пор, пока элемент массива A не станет больше числа M. Вывести получившийся массив.

№6. Заполнить массив A(N) элементами последовательности Фибоначчи. Найти сумму и произведение последних K элементов.

Приложение 1 (zip-файл)