Оригами помогает изучать математику

Японская мудрость издревле гласит:
«Великий квадрат не имеет пределов».
Попробуй простую фигурку сложить,
И вмиг увлечёт интересное дело.

А.Е. Гайдаенко

Почему так трудно идет изучение геометрии в школе? Н.С. Подходова отмечает, что обычно причины такого положения связывают с курсом геометрии 7 – 11 классов. Но трудности усвоения – следствие традиционного обучения в начальных классах, причем они имеют и предметные, и психологические причины. Первые из них связаны с тем, что на начальном этапе изучение идеальных геометрических объектов предполагает предъявление реальных предметов в качестве моделей этих объектов. А то, что мир школьной геометрии требует постоянного обращения к образам, особенно на первых этапах знакомства с ним, определяет и причины психологического характера. Вызвано это тем, что образная деятельность сложна, трудно поддается традиционному обучению в силу таких качеств образов, как субъективность, многозначность, целостность восприятия.

Образную, наглядную модель евклидовой геометрии позволяет создать оригами. Изучение превращений квадратного листа бумаги, возможно, - один из наиболее интересных путей создания образов плоских и пространственных геометрических фигур и накопления практического опыта работы с ними, изучения серьезных вопросов евклидовой геометрии. И не только…. Некоторые проблемы и задачи современной геометрии (фракталы, групповые методы в геометрии, …) находят красивое воплощение в оригами.

Модульное оригами позволяет уже школьникам младших классов довольно быстро справиться с некогда трудной задачей: построить и изобразить пять платоновых тел (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр). С некоторым преувеличением можем сказать, что технологии современного оригами довели эту древнюю задачу почти до «упражнений детских садов». Таким образом, наглядную модель евклидовой геометрии мальчики и девочки могут смастерить в начале своего школьного обучения, тогда как в «Началах» Евклида построение дано в его последней XIII книге.

Соединение математики с оригами приводит к идее совместного изучения планиметрии и стереометрии. Эта фузионистская идея была весьма распространена в конце XIX столетия. В настоящее время есть сторонники её возрождения. Заметим, что в конце XIX века также был большой интерес и к складыванию фигурок из бумаги.

Каким образом оригами подготавливает ум детей к «надлежащей оценке науки»? Думается, что путём обобщения: переноса действий с квадратом на любой объект, на любой случай. В арифметике, если действовать по аналогии, деление надо было бы поставить на первое место, а все арифметические операции рассматривать совместно. В теории чисел к делению так и относятся, ибо все темы связаны с ним: деление с остатком, алгоритм Евклида, цепные дроби, последовательности Фарея, сравнения, приближение иррациональных чисел рациональными и т. д.

Пифагору ставят в заслугу, что он соединил геометрию с арифметикой («Больше всего внимания он уделял числовой стороне этой науки»). Школьная арифметика очень мало использует геометрию, а отсюда как следствие, плохие вычислительные навыки у школьников и студентов.

Совершенно не ясно, почему теорему Пифагора начинают изучать в 8 классе, а не во втором или третьем. Она же была известна, как утверждают историки, задолго до Пифагора. Для математического обоснования того или иного построения в оригами требуется теорема Пифагора.

Таким образом, оригами побуждает изучать геометрию вместе с арифметикой. В этом случае занятия оригами будут иметь смысл и цель: геометрические фигуры станут объектом исследования, а числа – его средством. Свойства чисел будут изучаться с помощью фигур, а фигуры с помощью чисел. Одно и то же математическое предложение будет выражаться на двух языках. И переход от предмета к знанию будет совершаться через перевод с языка фигур на язык чисел, и наоборот. Если последовательно проводить это слияние (фузию), то придётся перейти к совместному изучению всех четырёх арифметических операций и присоединить к ним ещё две: возведение в квадрат и извлечение квадратного корня. Стоит напомнить: в самом простом калькуляторе все шесть отмеченных действий объединены. И эти операции были известны задолго до Пифагора…

Итак, оригами даёт возможность:

• практически построить наглядную модель евклидовой геометрии и научиться работать на ней;
• говорить об одних и тех же фактах на разных математических языках (оригами, геометрии, арифметики и т. д.);
• развить пространственные представления учеников;
• соединить изучение плоских (пространственных) фигур и арифметических действий;
• пересмотреть последовательность изучения геометрического материала в рамках дополнительного образования, учитывая исторические связи и современные возможности.

Рассмотрим возможные формы работы с фигурой оригами на примере авторского изобретения ученицы 4 «б» класса МОУ «Гимназия №17» города Перми Киреечевой Лизы. Модель называется «Восьмиугольная звезда», хотя изобретенный модуль позволяет создавать большое разнообразие различных моделей.

I этап работы – построение схемы. Необходимо знание условных обозначений, принятых в оригами. В зависимости от подготовки и возраста учащихся можно выбрать один из четырех подходов:

• метод аппликаций;
• метод обрисовки;
• с помощью чертежных инструментов;
• с помощью графических редакторов на компьютере.

При построении схемы этой фигуры чертежными инструментами оказываются задействованными следующие элементарные задачи на построение:

• Построение квадрата, а значит, и построение перпендикуляра к данной прямой.
• Построение середины данного отрезка.
• Построение биссектрисы данного угла.
• Построение треугольника, равного данному. (Построение треугольника по трем сторонам).

II этап. Аксиоматический разбор построения.

Оригами – математическая теория, так как в ней работает аксиоматический метод.
Основные понятия оригаметрии: точка; линия сгиба; квадратный лист бумаги.
Основные отношения: линия сгиба проходит через точку; точка принадлежит линии сгиба.
Аксиомы оригаметрии предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита. Этих аксиом шесть.

О1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки.
О2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.
О3. Существует сгиб, совмещающий две данные прямые.
О4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.
О5. Существует сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.
О6. Существует сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.

Данная система аксиом удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к системам аксиом, а именно, она является независимой, непротиворечивой и полной.

Система аксиом О1 – О5 эквивалентна системе аксиом конструктивной геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, возможно решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, а значит, разрешимые и при помощи классических инструментов - циркуля и линейки. Аксиома О6 не может быть решена методами конструктивной геометрии, так как построения, проводимые в этой аксиоме, сводятся к решению кубического уравнения, не имеющего рациональных корней. Таким образом, возможности построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги намного больше, чем при использовании классических чертёжных инструментов.

В приведенном примере основными при построении оказываются аксиомы О2 и О3.

III этап. Метрические задачи, связанные с построенной фигурой.

Первый тип задач связан с вычислением зависимости линейных размеров получившегося модуля в зависимости от размеров исходного листа бумаги. Эти вычисления необходимы для дальнейшей работы с изобретенной фигуры.

Второй тип задач –вычислить площадь:

• полученной фигуры;
• минимального правильного восьмиугольника, который можно описать около построенной фигуры;
• максимального правильного восьмиугольника, который можно вписать в эту фигуру;
• отверстия в форме восьмиугольной звезды…

IV этап – художественное оформление.