“Великое множество функций
Любой может школьник назвать.
Но лишь о немногих сегодня
Решили мы вам рассказать”
Изучение квадратичной функции с модулем позволяет углубить знания учащихся в преобразовании графиков квадратичной функции. Учащиеся с большим интересом выполняют любые задания с модулем. Рассмотренные приемы построения графиков функции являются общими и применяются не только к квадратичной, но и к другим функциям.
Ход урока
I. Вводное слово учителя
Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает законы их взаимосвязи, не углубляясь в природу задачи. Например, в соотношении Y = Х2 математик или геодезист увидит зависимость площади квадрата от его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может увидеть зависимость силы Y сопротивления воздуха или воды от скорости Х движения.
Математика же изучает эту зависимость в отвлеченном виде, и она устанавливает, например, что увеличение Х в 2 раза приведет к увеличению Y в 4 раза, и это заключение может применяться в любой конкретной ситуации.
Модуль и квадратичная функция
Построение графиков функций:
- Y = АХ2 + В
X + C, - Y = АХ2 + ВX + C ,
- Y = АХ2 + ВХ + С
II. Устная работа
1) Дать определение модуля числа Х
2) Дать определение квадратичной функции, рассказать все, что известно об этой функции (график, свойства).
3) Найти на рисунке график функции Y = –Х2 + 4Х – 3.
4) На каком рисунке изображен график функции Y = –(Х + 1)(2 – Х)?
5) Вспомнить, как построить график функции Y = Х
По определению модуля
График функции Y = Х симметричен относительно
оси У.
III. Построение графиков функций:
Y = АХ2 + ВX + C,
Y = АХ2 + ВX + C,
Y = АХ2 + ВХ + С
Работа проводится в группах, т.к. графики в К–1 в) и К–3 в) одинаковы, их необходимо сравнить и сделать вывод (всего 3 группы). Каждой группе выдается карточка, в ней 3 задания. Учащиеся должны построить графики квадратичной функции, содержащей модуль, используя определение модуля и сделать вывод: как построить график данной функции, используя график квадратичной функции и симметрию относительно осей координат.
Работа в группах.
Задание: построить график функции, используя:
а) определение модуля;
б) график функции Y = АХ2 + ВХ + С;
в) симметрию относительно осей координат.
а) Y = Х2 – 4
б) Y =
в) Y =
а) Y = Х2 + 2
б) Y =
в) Y =
а) Y = –Х2 + 4
б) Y =
в) Y =
IV. Учащиеся делают вывод о расположении графиков указанных функций
Вопрос: а) Как построить график функции Y = f (X)?
(1 способ. Построить график функции Y = f (X), если Х 
0 и Y = f (–Х), если Х<
0.
2 способ. Построить график функции Y = f (X) и
отобразить правую часть графика симметрично
относительно оси Y).
б) Как построить график функции Y = f (X) ?
(Построить график функции Y = f (X) и точки с отрицательными ординатами симметрично отобразить относительно оси Х).
в) Как построить график функции Y = f (X) ?
(Построить график функции Y = f (X), если Х 0 и эту часть графика
симметрично отобразить относительно оси Y, а
потом точки с отрицательными ординатами
отобразить симметрично относительно оси Х.)
г) Почему графики функций Y = –Х2 + 4X – 3 и Y
= Х2 – 4X + 3 одинаковы?
(Так как А = А , –А = А)
V.
У рассмотренных функций под знаком модуля была независимая переменная. Теперь рассмотрим функции, где под знаком модуля стоит либо сама функция, либо и функция, и независимая переменная одновременно, т.е. зависимости вида
Приведем конкретные примеры.
а) Y = Х2 – 4X+ 3
По определению
Построим график функции Y = f (X) и берем ту его
часть, которая расположена выше оси Х, т.к. Х2
– 4X+ 3 0 и добавим к ней ее
симметричное отображение относительно оси Х.
б) Y = Х2 – 4X+ 3
Сначала строим график функции Y = Х2 – 4X+ 3 , а затем множество точек, координаты
которых удовлетворяют условию Y = Х2 – 4X+ 3 , т.е.
график функции Y = Х2
– 4X+ 3 отображаем
относительно оси Х.
VI. Творческое задание
Дана функция Y = Х2 + 2X– 3
Выполнить всевозможные преобразования данной квадратичной функции с модулем.