Интегрированный урок по математике с информатикой по теме: "Правила дифференцирования. Применение производной"

Разделы: Математика

Цели:

  • проверить умение применять правила дифференцирования, показать применение производной при решении жизненно важных задач;
  • воспитывать чувство ответственности;
  • формировать умение применять знания.

Оборудование: компьютеры, таблицы, плакаты, карточки.

Форма урока: интегрированный с информатикой.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока:

1. Организационный момент. Мотивация.

Учащиеся поделены на три бригады.

2. Актуализация знаний.

Всем бригадам были даны творческие домашние задания:

Первая бригада нашла в Интернете через поисковую систему обучающую программу для вычисления производных и построения графиков функций и ее производной.

Они демонстрируют эту программу. Теперь проверим знания с помощью компьютеров, но прежде нужно получить допуск к работе.

Вопросы:

  1. Что нужно сделать для того, чтобы открыть папку?
  2. Какое расширение имеют текстовые файлы?
  3. Какими клавишами мы пользуемся, чтобы просмотреть документ?

Бригады по очереди подходят к компьютеру и находят свой вариант задания по математике.

1 вариант.

1). у =7x6 - 2x2 + 3x - 1

y / (1) - ?

2). у =(2x – 3) / (x + 4)

y / (0) - ?

3). у = 6 – 3 / x5 + 3

y / - ?

4) у =(4x + 1) * (x - 3)

y / - ?

5) Решите уравнение

y / = 0

у = 1/3 x3 – 2x2 + 1

2 вариант.

1). у=2x7 + 2x3 - 3x + 4

y/(-1)-?

2). у=(3x – 2) / (2x+1)

y/(2)-?

3). у=4 - 4/x6 + 5

y/-?

4) у =(5x - 2) * (x + 3)

y / - ?

5) Решите уравнение

y / = 0

у = 2/3 x3 – 2x2 + 2

3 вариант.

1). y = 12x5 - 2x3 - 2x + 3

y / (1) - ?

2). у=(2x + 1) / (4 – x)

y / (1) - ?

3). y = 8 – 2 / x7 + 3,5

y / - ?

4) у =(4 + 5x) * (2 - x)

y / - ?

5) Решите уравнение

y / = 0

у = 1/3 x3 – x + 2

4 вариант.

1). y = 3x7 - 2x2 + 3x - 7

y/(-1)-?

2). y = (4x + 1) / (2 – x)

y/(1)-?

3). y = 10 - 4/x9 + 5,1

y/-?

4) у =(8 - x) * (3x + 1)

y / - ?

5) Решите уравнение

y / = 0

у = 1/3 x3 – 9x + 6

В это время остальные бригады работают устно. Вторая и третья бригады работают по таблице 1. Назовите пары f(x)-f / (x).

Затем, пока первая бригада выполняет самостоятельную работу, вторая  работает у компьютера, третья  отвечает на вопросы по теории.

1. Что называется производной функции в точке?

2. В чем заключается геометрический смысл производной?

3. В чем заключается механический смысл производной?

Вторая бригада выполняет самостоятельную работу, третья бригада – у компьютера, Первая бригада сдает работы, предварительно выписав ответы в тетрадь.

Первая бригада отвечает на теоретические вопросы. Затем освобождается вторая бригада, отвечает на вопросы теории, а третья – выполняет самостоятельную работу. Первая бригада приступает к выполнению задания по таблице № 2 . (установить соответствие по графикам f(x)-f / (x)). После того, как закончит работу третья бригада, нужно всем поменяться тетрадями с соседом и по ответам на доске проверить работы.

Оценка “5” ставится за пять правильно выполненных заданий, “4” – за четыре задания, “3” – три задания.

I Вариант

  1. 41
  2. 11/16
  3. 3/+15/х6
  4. 8х-11
  5. 0;4

II Вариант

  1. 17
  2. 7/25
  3. 2/+24/х7
  4. 10х+13
  5. 0;2

III Вариант

  1. 52
  2. 1
  3. 4/+14/х8
  4. -10х+6
  5. -1;1

IV Вариант

  1. 28
  2. 9
  3. 5/+36/х10
  4. -6х+23
  5. -3;3.

Подведем итоги. По таблице 3 с формулами повторим правила дифференцирования.

Вторая и третья бригады подготовили дома формулы из физики и экономики (Приложение1, Приложение 2), где используется производная.

3. Решение задач.

Нам всем кажется, что в повседневной жизни мы великолепно обходимся без математики. Не правда, ли? Но это со всеми так. Сегодня на уроке мы убедимся в этом.

Покажем, что производная с нами присутствует целый день.

В зимнюю пору все пьют утром чай, кофе. Решаем устно задачу № 1.

Решение. C (t) = Q / (t) = 0,396 + 4,162*10 -3 t – 15,072*10 -7 t2

Пошли в школу. Кто-то идет по шоссе, а кто-то – через мост.

Решаем задачу № 2 на доске (ученик).

Решение: y / = (x / *(1+x) – x*(1+x) / ) / (1+x)2 = 1/ (1+x)2

y / (0) = tg a .

y / (0) = 1

tg a = 1

a = 450.

Ответ. a = 450.

В это же время другой ученик на отдельной доске решает задачу № 9.

Решение:

y = px2

М (10; 0,5)

0,5 = p * 100

p = 0,005

y = 0,005*x2

y / = 0,01

tg a = 0,01

a = arctg 0,01.

Затем все обсуждают решение задачи № 9.

Во всех этих задачах о мостах и дорогах большую роль играл угол между касательной и горизонталью. Но в жизни оказывается важную роль играет и угол между касательной и вертикалью.

Приведу пример.

Пароход “Челюскин” в феврале 1934 года успешно прошел весь северный морской путь, но в Беринговом проливе оказался зажатым во льдах. Льды унесли “Челюскин” на север и раздавили.

Вот описание катастрофы: “Крепкий металл корпуса поддался не сразу, – сообщал по радио начальник экспедиции О.Ю. Шмидт. – Видно было, как льдина вдавливается в борт, и как над ней листы обшивки пучатся, изгибаясь наружу.

Лед продолжал медленное, но неотразимое наступление. Вспученные железные листы обшивки корпуса разорвались по шву. С треском летели заклепки. В одно мгновение левый борт парохода был оторван от носового трюма до кормового конца палубы…”

Почему произошла катастрофа?

Сила Р давления льда (рис. на доске – плакат) разлагается на две: F и R. R – перпендикулярна к борту, F – направлена по касательной. Угол между P и R – a – угол наклона борта к вертикали.

Q – сила трения льда о борт.

Q = 0,2 R (0,2 – коэффициент трения).

Если Q < F, то F увлекает напирающий лед под воду, лед не причиняет вреда, если Q > F, то трение мешает скольжению льдины, и лед может смять и продавить борт.

0,2R < R tg a , tg a > 0,2

Q < F, если a > 110.

Наклон бортов корабля к вертикали под углом a > 110 обеспечивает безопасное плавание во льдах.

(В это время на компьютере заставка – рисунок № 1).

Пришли в школу. Идут уроки. Кто на экономике, а кто – на технологии решает важные задачи. Задачу № 4 можно решить, рассмотрев по учебнику на стр. 136 (А.Н. Колмогоров “Алгебра и начала анализа 10–11”) вывод формулы в примере № 5.

Ответьте на вопрос: “О какой формуле идет речь?”

Задачу № 5 решаем самостоятельно.

Решение:

П (t) = V / (t)

П (t) = -5t2 + 15t + 50

П (7) = -5*49 + 15*7 + 50 = - 90 (ед/ч)

Каков ответ в задаче?

Как можно объяснить, почему в ответе отрицательное число?

Закончились уроки.

Пришли домой, пообедали, отдохнули, выучили уроки и пошли играть на улицу. В снежки! Задача № 7.

(Учитель сам показывает решение).

Решение:

V (t) = h / (t) = V0 – gt

E = m/2 (V0 - gt)2 + mg(h0 + V0t – gt2/2) = mV02/2 + mgh0

Наступил вечер. Вдруг отключился свет. Это значит, что сила тока равна нулю.

Задача № 6 (а и б) одновременно у доски два ученика.

а) Решение:

I(t) = q / (t),

I(t) = 1 - 1/2

1 - 1/2 =0

Отсюда, t = ? .

б) Решение:

I(t) = q / (t),

I(t) = 1 - 4/t2

1 - 4/t2 =0

Отсюда, t = 2 или t = -2;  t = -2 не подходит по условию задачи

Вот и закончился наш день с производной.

Задача № 8 (устно).

Рисунок № 1 – заставка на компьютере.

Что означают эти кривые роста знаний?

4. Подведем итоги.

Н.И. Лобачевский “… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…”

5. Домашнее задание.

Задачи № 3, 10. Повторить формулы.

ЗАДАЧИ.

1. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 кг воды от 00С до температуры t0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне 00 <= t <= 950, формула Q (t) = 0,396t+2,081*10-3t2-5,024*10-7t3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.

2. Профиль подъема шоссе имеет форму кривой у = х/1+х. (х >= 0). Определите величину угла наклона шоссе в его начале.

3. Цепь висячего моста располагается по дуге параболы у = рх2. Пролет моста имеет длину 50 метров. Определите величину угла провеса a в крайней точке моста, если стрела провеса 5 м.

4. Пусть известно, что для любой точки С стержня АВ длиной 20 см, отстоящей от точки А на расстоянии l см, масса куска стержня АС в граммах определяется по формуле т(l) = 3l2+5l. Найдите линейную плотность стержня:

а) в середине отрезка АВ.
б) в конце стержня.

5. Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону V(t) = -5/3t3+15/2t2+50t+70, где 1 <= t <= 8. Вычислите производительность труда П при t =7 ч.

6. Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой а) q(t) = t- O t+1: б) q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?

7. Высота снежка, брошенного вертикально вверх со скоростью U0 с начальной высоты h0, меняется по закону h =h0+U0*t-gt2/2, где g » 10м/c – ускорение силы тяжести. Покажите, что энергия камня Е=тv2/ 2 + mgh, где т – масса снежка, не зависит от времени.

8. Обсуждая успехи своего ученика, учитель математики так отозвался о нем: “Он очень мало знает, но у него положительная производная”. Учитель хотел сказать, что скорость приращения знаний у ученика положительная, а это есть залог того, что знания возрастут.

Кривые роста знаний.

Рисунок 1

9. Шоссе проходит через речку. Мост имеет форму параболы y = px2. Каким нужно сделать уклон насыпи к мосту, чтобы переход с моста на насыпь был плавным? l = 20 м., b = 0,5 м.

10. Длина стержня меняется в зависимости от температуры по закону: l = l0+0,001t+ 0,0001t2. Найдите коэффициент линейного расширения при t = 50c.