Многими достижениями современная эпоха обязана уровню развития математического знания, поэтому сегодня школьное математическое образование находится в центре внимания специалистов разного профиля. Во многих исследованиях показывается, что современная методика обучения математике формируется не только под влиянием развития самой математики, но и под воздействием современных исследований о человеке в его целостности и неповторимой индивидуальности.
Геометрическое образование как отдельное направление математического образования обладает самостоятельной ценностью. Не только с точки зрения развития и обогащения математического знания, но и с позиций гуманизации образования. Это объясняется тем, что именно геометрический материал предоставляет возможность для всестороннего развития детей и позволяет обеспечить более гармоничную и синхронную мыслительную деятельность школьников, что особенно важно на начальном этапе обучения математике.
В последнее время отечественные ученые стремились создать свои оригинальные концепции обучения геометрии в школе, учитывающие не только специфику предмета и метода геометрии, но и содержащие тот или иной ответ на возможность психического развития детей средствами предмета.
В процессе формирования геометрического знания школьников на разных этапах обучения возникают задачи, которые различаются полнотой познавательной информации как логической, так и образной. При этом отсутствие или недостаток фактического материала создает проблемные ситуации, неопределенность которых заставляет включаться в поиск решения задачи воображение. Специалисты рассматривают воображение, как особую форму человеческой психики, стоящую отдельно от остальных психических процессов и вместе с тем, занимающую промежуточное положение между восприятием, мышлением и памятью (Л. С. Выготский, С. Л. Рубинштейн и др.). По их мнению, воображение выступает своеобразным сплавом сферы чувственности и сферы мышления, где чувственность является основой, материалом, из которого строятся образы, мышление же играет ведущую программирующую роль в этом процессе.
Особую роль процессу воображения в структуре познания отводили не только психологи и философы, в работах которых воображение являлось предметом исследования, но и математики, которые привлекали воображение для характеристики специфических особенностей геометрического знания. А. Д. Александров, рассуждая о геометрии, писал, «воображение дает непосредственное видение геометрического факта и подсказывает логике его выражение и доказательство, а логика, в свою очередь, придает точность воображению и направляет его к созданию картин, обнаруживающих нужные логике связи» [1, с.56].
Поэтому при создании методики обучения геометрии воображению должна быть отведена особая роль среди всех психических процессов. Это объясняется тем, что, во-первых, воображение, являясь сложной формой психической деятельности, обеспечивает создание новой ситуации, ранее не возникавшей на основе прошлого опыта. Во вторых, в качестве основополагающих характеристик геометрического знания выступают интуитивно-наглядный и логический компоненты, а воображение, вплетаясь во все формы познавательного процесса, «выполняет интегративную функцию».
При обучении геометрии важно развивать умения детей представлять будущие действия и их результаты. С точки зрения воображения особое значение приобретает формирование логической составляющей знания. Если обратиться к работам методистов, то можно сделать вывод о том, что решение этой проблемы неразрывно связано со спецификой деятельности механизмов воображения. Более того, при обучении геометрии формирование логического мышления невозможно без учета пространственного фактора, который оказывает существенное влияния на характер геометрической деятельности школьников. Это подтверждается исследованиями проблемы развития пространственных представлений и пространственного воображения.
Геометрия традиционно считается одним из самых сложных школьных предметов. А поскольку в сложной, интегрированной деятельности, которой, по сути, является геометрическая деятельность, отдельные психические процессы не выступают изолированно, то особое внимание должно уделяться воображению в силу его интегративной функции.
Несмотря на многообразие мнений относительно сущности воображения, для построения системы обучения особое значение имеют определения, обобщающие результаты многих психологических исследований. Поэтому, прежде всего, отметим, что воображение характеризуется как «сложный психический процесс, заключающийся в создании новых представлений на основе имеющегося опыта» [2, с.379].
Чтобы увидеть, какие характеристики воображения могут быть и должны быть положены в основу исследования по методике обучения геометрии, необходимо обратить внимание на следующие особенности воображения, выделенные специалистами:
- воображение сочетает в себе признаки и чувственного, и логического познания, сохраняя при этом свою специфику;
- воображение находится в отношениях тесной связи и взаимосвязи со всеми познавательными процессами;
- деятельность воображения значительно активизируется в условиях дефицита информации;
- сила процесса воображения, его содержательность обусловлена прошлым опытом личности и др.
В настоящее время в существующих концепциях геометрического образования школьников рассматриваются разные этапы изучения геометрии. Уже сейчас психологи отмечают, что многие авторы стремятся создать условия для обобщения накопленного детьми опыта ориентации в реальном пространстве, использовать этот опыт при усвоении математических знаний, обеспечить плавный переход от наглядных представлений к формированию математических операций. Другими словами, обогащение познавательного опыта школьников во всем многообразии его аспектов создает условия и обеспечивает успешность при обучении геометрии.
Именно содержание учебного материала на разных этапах изучения предмета позволяет развивать разные компоненты воображения. Подчеркнем, что эффективность математического образования, во многом зависит не только от разработки альтернативных программ и учебников, но и от психологической готовности учащихся к усвоению их содержания.
Итак, на современном этапе отбор содержания геометрического образования должен проходить в соответствии с его возможностями обогащать познавательный опыт школьников во всем многообразии его аспектов. Для развития воображения школьников может быть эффективной такая методика обучения геометрии, которая позволит обогатить познавательный опыт детей и интегрировать в процессе учебной деятельности разные его компоненты. Ее разработка неизбежно связывается с поиском оптимальных путей соединения различных компонентов геометрической деятельности школьников. В первую очередь, это обусловлено содержанием личного опыта ребенка. Поэтому для определения оригинальной стратегии обучения имеет значение и специфика учебного материала, и характер предполагаемой деятельности с ним.
Чтобы выделить содержательные линии системы обучения, подчеркнем, что основной тенденцией воображения является преобразование представлений (образов), обеспечивающее создание модели ситуации заведомо новой. Следовательно, должен предлагаться такой учебный материал, который будет определять и создавать основу «для отражения окружающего мира в новых, неожиданных, непривычных сочетаниях и связях», т. е. будет закладывать реальную базу для проявления творческой функции воображения. В связи с чем существенное значение имеют два фактора:
- реальность используемых объектов и наглядность их преобразования;
- абстрактность рассуждений и возможность идеальных, мысленных построений.
Поскольку «образы возникают на основе всего предварительного опыта, всей совокупности наличных знаний человека, как чувственных, так и полученных путем логических умозаключений», то отбор содержания учебного материала следует проводить, учитывая его потенциальные возможности обеспечить появление разных стратегий познавательной деятельности школьников - и чувственно-наглядной, и абстрактной, и логико-понятийной. Таким образом, можно выделить два направления формирования и развития воображения школьников при обучении геометрии:
- обогащение и преобразование чувственного опыта детей: перцептивного и эмоционального;
- формирование и углубление опыта абстрактно-логических рассуждений и дедуктивных построений.
Безусловно, эти направления связаны с двумя аспектами геометрического знания: интуитивно-наглядным и логическим.
Так как в мире воображения действует своя смыслообразующая логика, которая опирается как на чувственно-эмоциональные, так и на логико-понятийные характеристики образов, то для решения задачи важное значение имеет и особенность задачной ситуации, и действия по достижению цели. Ориентировочная основа действий при решении соответствующих задач должна иметь не только четкий, явно выраженный математический контекст, но и определяться общекультурным содержанием знания и лежать вне математики. Выбор используемой информации должен регулироваться как логической структурой геометрии, так и широтой общекультурного контекста, так как наличие жестких рамок логической структуры знания уменьшает роль воображения в разрешении проблемной ситуации.
Объяснение любого явления требует изучения как контекста, в котором это явление происходит, так и внутренней природы самого явления. В соответствии с чем, нельзя не принимать во внимание конструктивный потенциал каждой задачи, благодаря которому активизируется деятельность воображения.
Таким образом, требования, предъявляемые к системе заданий связаны с информационным контекстом, конструктивным потенциалом и широтой зоны поиска решения задачи, а дидактические действия должны определяться тремя измерениями:
содержанием геометрического материала;
- возрастной мотивацией;
- характеристикой функций и механизмов воображения.
В соответствии с этими положениями построение системы заданий, направленной на развитие воображения школьников должно опираться на следующие выделенные нами принципы:
- принцип многообразия информационного контекста задачи;
- принцип гибкости конструктивного потенциала задачи;
- принцип широты зоны поиска решения задачи.
Созданная нами система заданий предоставляет благоприятные возможности для совершенствования геометрических умений именно на пропедевтическом этапе изучения геометрии. Она позволяет формировать геометрические умения, связанные с выполнением и чтением чертежа, проведением аргументированных рассуждений и построением логических доказательств. Это связано с осмыслением задачной ситуации, ее преобразованием и предвидением результатов возможных действий. Нами выделены умения, которые помогают ориентироваться в учебном материале, осмысливать сложившуюся проблемную ситуацию, подмечать закономерности:
1. Умение структурировать учебный материал заключается в выборе основного содержания и контекста задачной ситуации и включает в себя:
- умение распознавать и разделять математическую и нематематическую информацию;
- умение выделять единицы текста, несущие основную информационную нагрузку;
- умение устанавливать возможные смысловые комбинации, т. е. группировать отдельные элементы информации в соответствии с определенной задачей.
2. Умение реконструировать учебный материал, связанное с переводом задачной ситуации из одной формы в другую, включает в себя:
- умение выделять существенные детали создаваемых объектов;
- умение интерпретировать содержание любой задачи в виде рисунка, отражающего внешний вид создаваемого объекта, в виде схемы, кодирующей пространственные отношения;
- умение трансформировать чувственный образ создаваемого объекта в логико-понятийную модель.
3. Умение прогнозировать результаты деятельности и разрабатывать программу действий, связанное с осмыслением задачной ситуации с точки зрения имеющихся знаний, включает в себя:
- умение устанавливать причинно-следственные связи, делать выводы на основе аргументированных рассуждений;
- умение строить гипотезы, интегрировать информацию;
- умение составлять мысленный план решения, намечать возможные пути решения задачи;
- умение соотносить полученные результаты с поставленной целью и корректировать действия.
В разработанной системе заданий выделены следующие типы задач:
Задачи на построение и определение видов ломаной, заданной на поверхности куба при условии, что известны его объем, площадь поверхности, длина звеньев ломаной и некоторые характеристические особенности рассматриваемой ломаной.
Приведем примеры.
Задача 1. На поверхности куба изобразить ломаную линию, вершины которой совпадают с отдельными вершинами куба, а звенья принадлежат:
a) одной стороне куба;
b) разным граням;
c) проходят по диагоналям трех соседних гранях
куба.
Задача 2. Найдите длину ломаной, расположенной на поверхности куба с объемом равным 8 см?; 64 см?, три вида которой даны на рисунке 1. Изобразите данную ломаную в тетради.
Рисунок 1
Задача 3. Найдите площадь поверхности и объем куба, если известно, что длина ломаной, три вида которой изображены на рисунке 2, равна 63 см; 92 см.
Рисунок 2
Задача 4. Ломаная ABCDEFG расположена на поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит квадрат, площадь которого равна 36 см?, а объем параллелепипеда равен 144 см? (рис. 3).
a) Изобразите в тетради три вида ломаной;
b) найдите ее длину.
Рисунок 3
Задачи, связанные с построением геометрических фигур на координатной плоскости. В этих задачах ломаная определяется различными зависимостями, связанными с измерением геометрических величин, построением точек и т. д. Предварительный анализ задачи касается работы с рисунком, таблицей, чертежом, формулой.
Приведем примеры.
Задача 5. Для данных точек A(-4;2) и B(2;2) постройте точку C так, чтобы треугольник ABC был:
a)
- прямоугольным;
- остроугольным;
- тупоугольным.
b)
- равносторонним;
- равнобедренным;
- разносторонним.
Укажите координаты точки C. Что вы заметили?
Задача 6. Постройте прямоугольник ABCD, если координаты точек A(2; 3) и B (8; 3), а точка С лежит на оси абсцисс. Запишите координаты всех вершин прямоугольника.
Задача 7. Постройте прямоугольник АВСD, если известно, что сторона ВС короче стороны АВ в два раза. Точка А имеет координату (3; 0), точка В имеет такую же ординату как т. А, а точка С имеет абсциссу равную 6.
3) Задачи, «сталкивающие» школьника с реальной жизнью, т. е. касающиеся его предметно-практического опыта. Задания этой серии являются сюжетными задачами, решение которых предусматривает проявление инициативы, индивидуальности и творческого воображения учащихся. Эти задания могут быть отнесены к сюжетным задачам нового типа, так как они предполагают создание ситуации «заведомо новой, ранее не возникавшей» на основе собственного прошлого опыта ученика и анализа задачной ситуации (т. е. впечатлений, полученных от прочтенного текста задачи).
Приведем примеры.
Задача 8. Построить ломаную на поверхности куба, три вида которой - спереди, сверху и слева - выглядят как самая приятная для ученика оценка.
Задача 9. Один раз в четыре года на земном шаре проходят летние и зимние Олимпийские игры. На эмблеме определенных зимних видов спорта на олимпийских играх, проходивших в 2002 году в американском городе Солт-Лейк-Сити, были изображены оригинальные человечки.
- Попробуйте угадать, какому виду спорта соответствует каждая эмблема.
- Можно ли с помощью одной-двух ломаных представить соответствующий вид спорта на эмблеме?
- Используя этих «человечков», изображенных на рисунке 4, покажите ломаную, которая, на ваш взгляд, отражает суть и динамику этого вида спорта.
Рисунок 4
Задача 10. Как вы думаете, по каким видам спорта могут проходить соревнования в вашем регионе? Используя ломаные линии, создай оригинальную символику для этих соревнований. Конструируя каждый новый символ, попытайся обойтись одной ломаной!
При выполнении задания тебе следует учесть географические, экономические и культурные особенности твоего края.
Задача 11. Приходилось ли вам пришивать пуговицы? На рисунке 5 показано, как выглядит пришитая пуговица с лицевой стороны.
Рисунок 5
а)Покажите, как могут быть расположены нити с
изнаночной стороны.
б)Покажите, как нужно пришивать эту пуговицу,
чтобы с изнаночной стороны получилась ломаная
линия (рис.6)?
Рисунок 6
Сколько вариантов расположения нити у вас получилось? Сравните свои рисунки с рисунками одноклассников?
Характер предложенных задач предполагает их выполнение в течение всего учебного года при изучении различных тем школьного курса математики, как бы разбрасывая отдельные задачи. Работу с задачами можно проводить в двух вариантах.
1. При изучении в пропедевтических курсах геометрии в течение определенного промежутка времени, предусмотренного программой курса. В этом случае ломаная используется для иллюстрации возможностей различных геометрических методов (аксиоматического метода, метода координат, при измерении геометрических величин и др.);
2. При изучении различных тем школьного курса математики в течение всего учебного года. Такой вариант позволяет учителю корректировать содержание и структуру изложения различных тем: перераспределять учебное время внутри темы, изменять порядок изложения материала, расширить набор задач, включенных в учебник через дополнение задачами разработанной серии. Используя богатые иллюстративные возможности понятия ломаной, учитель получает возможность усовершенствовать методику изучения разных тем школьного курса математики. Визуализация разного учебного материала на основе данного понятия способствует обогащению познавательного опыта детей, тем самым, развивая их воображение.
Предлагаемая методика развития воображения и серия задач могут быть рекомендованы к использованию учителям математики, учителям начальных классов, а также в педагогическом ВУЗе для семинаров и спецкурсов по проблеме развития воображения, в системе повышения квалификации педагогических кадров.
Литература:
1. Александров А.Д. О геометрии // Математика в
школе. - 1980. №3. - С.56-62.
2. Педагогическая энциклопедия. Т. I. А-Е. 1964. - 832 с.