Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решение задач.
И вот тут обнаруживается, что многие не могут показать достаточные умения в решении задач. На всех экзаменах, как в школе, так и на приёмных в вузы и техникумы, довольно часто встречаются случаи, когда ученик показывает, казалось бы, хорошие знания в области теории, знает все требуемые определения и теоремы, но запутывается при решении весьма несложной задачи.
За время обучения в школе каждый ученик решает огромное число задач, порядка нескольких десятков тысяч. При этом все решают одни и те же задачи. А в итоге некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться.
В чём причина такого положения? Причин, конечно, много. И одной из них является то, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чём состоят приёмы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же, к сожалению, не задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решения общие приёмы и способы. Задачи зачастую решаются лишь ради получения ответа.
У большинства учащихся весьма смутные, а порой и неверные представления о сущности решения задач, о самих задачах. Как могут учащиеся решить сложную задачу, если они не представляют, из чего складывается анализ задачи, как могут они решить задачу на доказательство? Многие учащиеся не знают, в чём смысл решения задач на построение, зачем и когда нужно производить исследование решения и т. д.
Очевидно, что на таких представлениях не могут возникнуть сознательные и прочные умения в решении задач.
Для того, чтобы научиться решать задачи, надо много поработать. Но эта работа не сводится лишь к решению большого числа задач. Если кратко обозначить то, что нужно сделать для этого, то можно так сказать: надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а её решение – как объект конструирования и изобретения.
Разговор о задачах в целом хочется перевести на обсуждение вопроса о таком важном и всем известном разделе задач в школьном курсе геометрии, как "Задачи на построение".
Задачи на построение являются традиционными задачами в курсе геометрии. Разработкой методов решения этих задач математики занимаются ещё со времён Древней Греции. Уже математики школы Пифагора (VI в. до н. э.) решили довольно сложную задачу построения правильного пятиугольника. В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к задачам на построение. Интерес к этим задачам обусловлен не только их красотой и оригинальностью методов решения, но и большой практической ценностью. Проектирование строительства, архитектура, конструирование различной техники основаны на геометрических построениях.
Трудно переоценить роль задач на построение в математическом развитии школьников. Они по своей постановке и методам решения не только наилучшим образом стимулируют накопление конкретных геометрических представлений, но и развивают способность отчётливо представлять себе ту или иную геометрическую фигуру и, более того, уметь мысленно оперировать элементами этой фигуры. Задачи на построение могут способствовать пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования – всё это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников. Они сильно развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. План решения любой задачи на построение – цепочку основных построений, приводящих к цели – можно рассматривать как некоторый алгоритм и, следовательно, их можно использовать и в старших классах как содержательный материал курса информатики и вычислительной техники. В процессе решения задач на построение учитель может эффективно формировать элементы алгоритмической культуры школьников, систематически требуя от них четкой последовательности основных построений. Задачи на построение развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, что очень важно в формировании умений и навыков умственного труда. Посредством задач на построение, даже простейших из них, более глубоко осознаются теоретические сведения об основных геометрических фигурах, так как в процессе решения этих задач ученик создает наглядную модель изучаемых свойств и отношений и работает с этой моделью. Решение задач на построение развивает такие качества личности, как внимание, настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность, дисциплинированность, трудолюбие.
Как известно, задача на построение в планиметрии состоит в том, чтобы, исходя из заданных на плоскости геометрических фигур, применяя заранее предписанные средства (инструменты), построить новую геометрическую фигуру, находящуюся в определенных отношениях с данными фигурами. В качестве средств построения чаще всего выступают классические инструменты – циркуль и линейка.
Математики-методисты, как российские, так и зарубежные, задачам на построение уделяют немало внимания.
В частности, первая глава книги Д. Пойа “Математическое открытие” целикам посвящена геометрическим задам на построения, и это не случайно. Пойа считает, что “место, занимаемое геометрическими построениями в программе обучения, полностью оправданно, так как они лучше всего подходят для освоения путей решения задач”.
Задачи на построения не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а может быть, невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска учащимися путей решения с помощью своей интуиции и подсознания. Цель нашего обсуждения заключается не в обучении поиску решения задач на построения, а в том, чтобы на сознательном уровне перед тем, как решать задачу, и после того, как ее решение найдено, проанализировать логику задачи и логику поиска ее решения.
Анализ и доказательство в процессе решения.
Как известно, в решении задач на построение выделяются следующие четыре этапа:
- анализ
- построение
- доказательство
- исследование
В процессе анализа, собственно, и происходит поиск решения задачи. Из предположения, что задача решена и требуемая фигура построена, пытаются вывести такие следствия, которых окажется достаточно для того, чтобы требуемую фигуру построить.
Построение предлагается поэтапное, шаг за шагом, выполнение построений с помощью циркуля и линейки, т. е. подробное описание последовательности простейших задач на построение, к решению которых сводится построение фигуры в данный задаче.
В доказательстве требуется доказать, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем требованиям задачи.
Наконец, в исследовании нужно установить, при каком выборе начальных данных задача имеет решение и сколько решений имеет задача при каждом допустимом выборе начальных данных.
С точки зрения логики узловыми этапами решения задачи на построения являются два – анализ и доказательство.
Рассмотрим эти этапы подробнее и установим тесную логическую взаимосвязь между ними. Анализ начинается с того, что требуемая фигура построена, т. е. выполнены все те свойства, которые сформированы в условии задачи. В ходе анализа из этих свойств мы пытаемся извлекать какие-то выводы, и каждый такой вывод анализируем на то, можно ли от него вернуться к данному условию. Другими словами, мы ищем такие необходимые следствия данных условий задачи, которые, в свою очередь, для этих условий окажутся достаточными. Что же происходит при доказательстве? Выведенные в процессе анализа следствия становятся условиями. Из этих условий должны быть выведены те свойства, которые сформулированы в условии задачи.
Таким образом, следствия анализа становятся условиями доказательства, а условия анализа - следствиями доказательства.
Это означает, что в процессе анализа мы устанавливаем ряд прямых теорем, а в процессе доказательства используем обратные для них теоремы.
Отсюда задача анализа - выявить в его ходе такие теоремы, обратные утверждения для которых сами будут справедливы, т. е. сами будут теоремами.
Из этой логики вытекает методика обучения решению задач на построение. Указать учащимся на эту логическую связь анализа и доказательства и предложить им каждый раз обнаруживать и чётко формулировать прямые теоремы в ходе анализа и обратные для них теоремы в ходе доказательства. Если навык такого подхода будет выработан, то учащиеся будут отчётливо представлять логику решения задач на построение и свою задачу на каждом этапе решения.
К сожалению, в современном школьном курсе геометрии роль задач на построение заметно снизилась по сравнению с их ролью в курсах геометрии предыдущих времён.
Чтобы изменить в лучшую сторону отношение школьников к задачам вообще, и к задачам на построение в частности, в этом учебном году методическим объединением математиков нашей школы была организована следующая работа.
Учащимся 9-х классов, отлично успевающим по геометрии, было предложено сдать экзамен по предмету “геометрия (устно)” в виде творческих проектных работ по одной из выбранных ими тем из курса геометрии 7-9 классов.
Работы включают в себя:
Несколько учащихся объединились и выбрали для своей индивидуально-групповой работы тему: “Геометрия треугольника в задачах”.
1) В работе I ученика будут освещены основные теоретические факты по теме “Треугольники”. “Свойства и признаки различных видов треугольников”. Практическая часть этой работы включает в себя задачи на доказательство и вычислительные задачи по теме “Замечательные линии треугольника”.
2) В работе II ученика теория и подборка задач по теме “Решение треугольников” с помощью теоремы синусов, теоремы косинусов и теоремы о сумме углов треугольника.
3) Работа III ученика посвящена теме “Вписанная в треугольник и описанная около треугольника окружность”. “Взаимосвязь двух основных фигур геометрии”. Подобраны задачи вычислительные и задачи на доказательство.
4) В работе IV ученика раскрыта тема “Вычисление площади треугольника по различным формулам”. Представлен вывод формул несколькими способами. Большая подборка интересных вычислительных задач.
5) И наконец, работа V ученика целиком посвящена “Задачам на построение треугольников по заданным элементам с помощью циркуля и линейки”. Все задачи с подробным решением, включая этапы “Доказательство” и “Исследование”.
Покажем на примере решение геометрической задачи на построение треугольника.
В задаче предполагается построение с помощью классических инструментов.
К элементарным геометрическим построениям обычно относятся следующие:
Э.1. Разделить отрезок на два разных отрезка;
Э.2. Провести биссектрису угла;
Э.3. Построить на данной прямой от данной точки в данном направлении отрезок, равный данному;
Э.4. Построить угол с вершиной в данной точке с данной стороной угла по указанную сторону от нее и равный данному углу;
Э.5. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой;
Э.6. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой;
Э.7. Построить треугольник по трем данным сторонам;
Э.8. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними;
Э.9. Построить треугольник по стороне и двум углам, прилежащим к ней;
Э.10. Построить прямую, касательную к данной окружности и проходящую через данную точку вне этой окружности;
Э.11. Построить прямоугольный треугольник по двум катетам, или по катету и гипотенузе, или по катету и острому углу, или по гипотенузе и острому углу.
Задача
Построить треугольник по высоте, одной из боковых сторон и разности углов при основании.
|
Дано: h - высота |
Рисунок 1
Анализ:
Пусть 
АВС – искомый:
АВ – основание
CD – высота h
ВС – боковая сторона а
Теперь нужно отметить на рисунке
заданный угол 
.
Для этого от большего угла при основании AB надо отнять меньший угол (рис. 1).
Будем считать 
A > B. Тогда, если BAK = B, то KAC и есть
угол .
Можно сразу установить некоторые
условия, которым должны удовлетворять эти
элементы. Так как h и a являются соответственно
катетом и гипотенузой CDB, то h < a. (1)
Что касается угла , то, каковы бы ни были A и B, их
разность, очевидно, есть острый угол, т.е.
< 90 о (2)
Перейдем к поиску способа решения этой
задачи. Ставим перед собой вопрос: можно ли сразу
по данным элементам построить искомый
треугольник. Очевидно, нет. Но может быть, можно
построить какую-либо часть искомой фигуры?
Приглядываясь к рис. 1, видим, что в прямоугольном
треугольнике ВСD катет CD и гипотенуза ВС являются
данными. Поэтому этот треугольник можно
построить. Тем самым определится В, а, зная ,
следовательно, сумеем к ВCD пристроить АСD и тем самым полностью
построить искомую фигуру. План построения
найден.
Перейдем к построению. Будем записывать шаги построения, ссылаясь на номера элементарных построений (рис.2).
Рисунок 2
Построение:
- Э.11. Строим прямоугольный треугольник ВСD по гипотенузе ВС = а и катету СD = h.
- Э.4. Строим СВМ = СВN =
- Э.6. Проводим ВЕ перпендикулярно DВ.
- Э.4. Строим DCA1 = МВЕ
- Э.4. Строим DCА2 = NBE
Полученные треугольники А1ВС и А2ВС – искомые.
Доказательство: рис. 2
- В каждом из этих двух треугольников высота СD, опущенная на основание А1В или А2В, равна по построению данному отрезку h.
- В каждом из этих двух треугольников боковая сторона ВС равна по построению данному отрезку а.
- Рассмотрим теперь разность углов при основании
А1В или А2В. В треугольнике А1ВС
большим углом является А1. Тогда А1 – В = (90о
– А1СD)
– В = (90о
– МВЕ) –
В = МВА1
– В = СВМ = . В
треугольнике А2ВС большим углом является В, поэтому
находим разность В – А2 и доказываем аналогично, что и
она равна .
Исследование:
Установим, при каких условиях можно выполнить указанные пять шагов построения. Очевидно, что первые три шага при условиях (1) и (2) выполнить можно всегда.
А вот последние два шага нуждаются в
дополнительном исследовании. Дело в то, что
каждый из них состоит из двух построений:
построение угла, равного указанному
(соответственно МВЕ и NВЕ), и построения точки пересечения
полученного луча с прямой BD. Построение угла,
равного данному, всегда возможно, а вот
нахождение точки пересечения полученного луча с
прямой нуждается в исследовании.
Если луч ВМ проходит внутри угла СВЕ, то 4-й шаг всегда выполним.
Если же ВМ проходит вне указанного угла (на рис. 2 справа от ВЕ), то здесь возможны три случая:
- Луч ВМ проходит правее так, что ВЕМ
DCВ, т.е. – (90о
– В) 90о – В, или + 2 В 
180о. В этом случае луч СА1
пройдёт вне DCB, поэтому треугольник А1ВС
построить нельзя. - Если ВМ проходит правее ВЕ, так, что ВЕМ < DCB, то СА1
пройдет внутри DСВ, тогда треугольник А1ВС будет
тупоугольным.
- Если же ВМ совпадет с ВЕ, то треугольник А1ВС совпадает с треугольником DCВ. Тогда получаем в качестве решения прямоугольный треугольник.
Таким же образом исследуем 5-й шаг.
Если луч ВN проходит внутри DВС, то построить
треугольник А2ВС можно. Если же ВN совпадает
с ВD или проходит вне DВС, то угол NВЕ 90о, поэтому СА2
не пересечет DВ слева от D, следовательно,
построить треугольник А2ВС нельзя.
Итак, видим, что при разных соотношениях между
углами и
В задача может не иметь решения, иметь одно
решение и иметь два решения. Задача решена.
Этапы работы над проектами:
Каждый этап работы проходит под наблюдением и руководством учителя. При необходимости учитель координирует отдельные этапы проекта.
Наряду с этим, постоянно проходят коллективные обсуждения проектов всеми участвующими в данной работе учениками.
Во время таких обсуждений учащиеся обмениваются опытом работы, анализируют набранную информацию по теме, дают друг другу советы по подбору задачного материала и др.
- Заключительным этапом в работе над проектом
будет защита его перед “школьным математическим
Советом” в составе учителей математики,
старшеклассников и представителей
администрации школы.
Во время этой защиты ученики будут отчитываться о проделанной работе по теме, отстаивать свою точку зрения, сделают окончательные выводы.
После “защиты” учащиеся выступят со своими работами перед одноклассниками в целях развития интереса как к предмету геометрии в целом, так и к решению геометрических задач в частности.
Обращаясь к ученикам в начале учебного года с предложением принять участие в работе над проектами, я пыталась объяснить им, что математике нельзя научиться, наблюдая, как это делает сосед. Обучение математике предполагает решение задач нарастающей трудности, ибо постоянное решение задач привычной трудности со временем превращается в простые упражнения.
Но что делать, если задача упорно не получается? Можно, конечно, смотреть в потолок или морщить гармошкой лоб, но ещё лучше с карандашом и блокнотом в руках пробовать экспериментировать: делать оценки и проверки для частных значений, рисовать эскизные чертежи в разных ракурсах и т. п. “Мой карандаш бывает ещё разумней моей головы”, – признавался Леонард Эйлер.
“Замри – умри – воскресни” – это заклинание из известной детской игры полезно произносить каждому, кто берётся решать хорошую математическую задачу. Одоление такой задачи происходит через концентрацию внимания до глубокого погружения в её условия и обстоятельства – к первым проблескам мысли и надежды на её успешное решение. Решение задачи не только умственная, но и волевая деятельность, для этого нужен бойцовский характер и хорошая спортивная злость.
Нельзя, да и не нужно, решать все задачи, которые накопила математика. Поэтому приходится выбирать, опираясь на признаки привлекательности и поучительности, занимательности и сложности, которые замечаешь в задачах.
Помимо прочего математика учит честности перед собой и другими, ибо, отвечая на какой-либо вопрос, нельзя отвертеться разговорами вокруг да около. А наличие честности – необходимое условие для правильных мыслей.
Наконец, нужно сказать, что, решая задачи, мы учимся не только доказывать истину, но и догадываться о ней, а умение догадываться обязательная часть содержательного мышления.