При составлении многовариантных упражнений можно построить все задания так, чтобы все числовые коэффициенты зависели от некоторых величин, параметров. Это с успехом применяется уже много лет при составлении контрольных работ для студентов заочных отделений институтов и техникумов. Пакет Mathcad позволяет преподавателю не только составить эти задания, но и вывести (более или менее подробно) на экран компьютера их решение. Всё это позволит преподавателю сэкономить время на составление заданий для контрольных, проверочных, практических работ и, главное, время на решение этих однотипных заданий. Имеющиеся у преподавателя шаблоны позволят в короткие сроки составить новые варианты заданий. Исчезнут и кипы бумаг с решёнными вариантами заданий, преподаватель сможет проверять все работы, сидя перед экраном монитора. Если урок проводится в компьютерном классе, то можно организовать работу по самопроверке или взаимопроверке студентами выполненных работ что, несомненно, повысит интерес к математике и позволит студенту критически оценивать результаты своей работы.
Задания по теме: “Действия с матрицами. Определители”
Во всех рассматриваемых шаблонах в начале документа Mathcad задаются параметры, которые и позволяют составлять многовариантные упражнения, отличающиеся друг от друга числами. Преподавателю стоит только ввести новые значения этих параметров и пакет Mathcad автоматически создаст новый вариант задания и выведет на экран его решение.
При составлении задач на выполнение действий с
матрицами далее идут данные матрицы, чтобы
вывести их на экран используется знак
символьного вывода: 
,
вызываемый комбинацией клавиш <Ctrl> + < · >
или специальной кнопкой панели Символика (Symbolik).
Вывод на экран данных матриц с конкретными
значениями параметров позволит преподавателю
без труда выписать конкретные варианты заданий в
составляемую им работу. Затем можно печатать
любые задания для выполнения действий над
матрицами: транспонирование, сложение,
вычитание, умножение на число, умножение матриц.
Пример такого шаблона приведён на Рисунке
1.
При вычислении определителя матрицы третьего порядка для удобства проверки удобно видеть на экране промежуточные результаты: все положительные и отрицательные слагаемые и их суммы. Для удобства вывода этой информации можно задать привычную нумерацию строк и столбцов с помощью системной переменной ORIGIN, присвоив ей значение, равное единице. Чтобы извлечь элемент матрицы, находящийся в позиции (i,k), необходимо ввести идентификатор матрицы с индексами i,k (индексы через запятую). Переход в режим ввода индексов осуществляется клавишей < [ > или с помощью специальной кнопки на подпанели Арифметика (Calculator). Пример такого шаблона приведён на Рисунке 2.
При вычислении матрицы, обратной данной удобно вывести на экран определитель матрицы и алгебраические дополнения элементов матрицы. Знак символьного вывода позволит вывести каждый элемент обратной матрицы в виде обыкновенной дроби, как это обычно получается при ручном способе решения. Специальный встроенный оператор для вычисления обратной матрицы позволит проверить полученные вычисления. Пример такого шаблона приведён на Рисунке 3.
Немного изменив этот шаблон, получим шаблон для решения систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Пример такого шаблона приведён на Рисунке 4.
Аналогично создаётся шаблон для решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Пример такого шаблона приведён на Рисунке 5.
Задачи по теме: “Вычисление предела функции в точке и на бесконечности”
На Рисунке 6 приведены шаблоны заданий на:
- вычисление предела функции в точке, используя теоремы о пределах;
- вычисление предела отношения двух многочленов при х, стремящемся к бесконечности;
- вычисление предела некоторых иррациональных функции;
Для удобства составления контрольных и самостоятельных работ отдельно выведены сами функции, пределы которых будут находиться в дальнейшем. Для удобства проверки студенческих работ выведены некоторые промежуточные результаты.
На Рисунке7 приведён шаблон задания на:
- Вычисление предела отношения многочленов в случае неопределённости (0/0);
Разложение многочленов на множители в символьном виде осуществляется с помощью меню Символика (Symbolics) - строка Множитель (Factor).
Сокращение дробей можно выполнить тоже с использованием меню Символика (Symbolics) - строка Упростить (Simplify).
На Рисунке 8 приведён шаблон задания на:
- вычисление предела с использованием первого замечательного предела;
- вычисление предела с использованием второго замечательного предела
Разложения дроби на простейшие можно осуществить следующим образом: выделить переменную х и щёлкнуть по строке Обратить в простейшую дробь (Convert to Partial Fraction) в пункте Переменная (Variable) меню Символика (Symbolics).
Задачи по теме: “Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной”
На Рисунке 9 и Рисунке 10 представлен шаблон практической работы по теме: “Вычисление производной сложной функции. Правило Лопиталя”.
При выполнении первого задания студенты отрабатывают навык использования формулы для вычисления производной степенной функции, в случае, если степень является целым числом.
Второе задание составлено для отработки навыка вычисления производной степенной функции, если показатель степени является рациональным числом (в практической работе степени с рациональным показателем записываются в виде корня n-ой степени). В этом же задании необходимо найти простейшую производную сложной функции.
В третьем задании необходимо найти производную суммы двух сложных функций: квадратного корня из некоторого выражения и синуса некоторого выражения. Для большего отличия одного варианта от другого можно менять показатель корня или заменять синус другой тригонометрической функцией.
Четвёртое задание – это задание на вычисление производной произведения двух функций: сложной функции арксинус и многочлена. При составлении разновариантных заданий не составит большого труда заменить одну обратную тригонометрическую функцию другой.
Для решения пятого задания необходимо применить правило вычисления производной частного. Заменяя в этом задании показатели степеней многочлена и косинус другой функцией, можно получить большое количество разнообразных заданий.
При выполнении шестого задания студенты будут вычислять вторую производную сложной функции и вычислять её значение в некоторой точке. Для удобства проверки шаблон содержит и первую производную рассматриваемой функции.
Восьмое и седьмое задания – это задания на вычисление предела по правилу Лопиталя. В шаблон включены производные числителя и знаменателя, это облегчит преподавателю работу по проверке данной работы.
Девятое и десятое задания – это более сложные задания на вычисление производной сложной функции.
Задачи по теме: “Исследование функции с помощью производной. Построение графиков”
На Рисунке 11 приведён шаблон для исследования функции с помощью производной и построения графика этой функции. Функция в данном случае является многочленом третьей степени.
Системная переменная ORIGIN используется для автоматизации процесса вычислений. При различных значениях параметров получаются различные критические точки первого и второго рода. Для того, чтобы при изменении параметров все вычисления проводились автоматически вводится матрица V – матрица критических точек первого рода и матрица Р – матрица критических точек второго рода. В строке <матрица критических точек первого рода> происходит вычисление производной данной функции, вычисление точек, в которых она равна нулю и присвоение переменным элементам матрицы V найденных значений. Это позволяет в дальнейшей работе использовать переменные V1,1 и V1,2 для определения знака первой производной на различных интервалах, вычисления значения функции в точках максимума и минимума и задания интервала изменения переменной у при построении графика функции (<параметры для наглядного построения графика>). Матрица Р <матрица критических точек второго рода> используется для автоматизации вычислений при определении промежутков выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функции.
Достаточно добавить знак минус перед вторым слагаемым в функции f(x) и мы получим новую задачу по этой теме, которая будет тут же автоматически решена. При изменении знака перед первыми тремя слагаемыми в функции f(x) и изменив немного шаблон, мы получим ещё одну серию задач по этой теме (Рисунок 12). Использование встроенной функции округления < ceil(x)> позволит более наглядно представить график функции, так как в этом случае параметры изменения переменной у при построении графика функции будут целыми числами.
Аналогично можно создавать шаблоны и для исследования более сложных функций и построения их графиков.
Задачи по теме: “Интегральное исчисление функций одной действительной переменной”
При решении задач на нахождение неопределённых интегралов методом введения новой переменной можно выводить на экран выражение для t, для дифференциала новой переменной и для выражения, содержащего дифференциал старой переменной через дифференциал новой переменной, просто их необходимо задавать как функции некоторых переменных x, dx, dt. Пример такого шаблона представлен на Рисунке 13.
Аналогично можно создать шаблон для вычисления неопределённых интегралов методом интегрирования по частям. Примеры таких шаблонов можно увидеть на Рисунке 14. При незначительном изменении многочлена или второго сомножителя подынтегрального выражения можно получить новую серию таких интегралов.
При нахождении неопределённых интегралов от некоторых видов рациональных функций методом неопределённых коэффициентов удобно вывести на экран корни квадратного трёхчлена. Решить квадратное уравнение можно, воспользовавшись специальной кнопкой <solve>, панели Символика (Symbolik). Представить подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей легко позволяет команда <Обратить в простейшую дробь> (<Convert to Partial Fraction>) в пункте Переменная (Variable) меню Символика (Symbolics). Пример такого шаблона можно увидеть на Рисунке 15. На этом же рисунке есть шаблон для решения и создания задач на нахождение неопределённого интеграла от рациональной функции методом выделения полного квадрата трёхчлена в знаменателе дроби.
При решении задач на вычисление площади криволинейной трапеции на экран удобно вывести:
- координаты точек пересечения графиков (это осуществляется специальной кнопкой <solve> панели Символика (Symbolik), при этом, так как правая часть уравнении не равна нулю, то “равно” ставится жирное с помощью комбинаций клавиш <Ctrl>+<=> или специальной кнопкой панели Булевые (Boolean));
- график функции (для наглядного представления которого можно снова воспользоваться заданием интервалов изменения значений х и у через матрицу V – матрицу точек пересечения графиков функций);
- значение определённого интеграла удобно вывести сначала в символьном виде (в виде обыкновенной дроби), а затем уже в виде десятичной дроби, так как при ручном способе вычисления чаще используются обыкновенные дроби.
Пример шаблона для создания и решения таких задач приведён на Рисунке 16.
Задачи по теме: “Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких действительных переменных”
При нахождении точек экстремума функции двух переменных на экран необходимо вывести частные производные первого и второго порядков. При этом, для удобства дальнейших вычислений, частные производные второго порядка лучше обозначить функциями некоторых переменных х и у (в данном примере zxx(x,y), zxy(x,y), zyy(x,y)). Стационарные точки можно найти как решение системы уравнений (команды given и find), для удобства дальнейших вычислений, решения системы лучше обозначить как матрицу V. Все эти обозначения позволят в автоматическом режиме вычислять определитель (?), позволяющий узнать, есть в этой точке экстремум функции и является ли эта точка точкой максимума или минимума. Возможный шаблон такой задачи представлен на Рисунке 17. Если в данной функции изменить знак перед слагаемым 3рху с минуса на плюс, то получим новую серию задач, но найденные точки будут уже точками максимума.
Шаблон для вычисления частных производных первого и второго порядка будет очень похож на шаблон для вычисления производных функции одной действительной переменной. Пример такого шаблона представлен на Рисунке 18.
Шаблон для решения задач на вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла будет похож на шаблон по решению задач на вычисление площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла. Такой шаблон имеется на Рисунке 19.
Конечно, всё разнообразие математических задач, особенно с “изюминкой”, невозможно загнать в такие шаблоны. Применение их упрощает и сводит к минимуму рутинную работу по составлению и решению простейших задач. Это освобождает время учителя для решения новых интересных задач, поиска новых методик преподавания, внеклассной работы и знакомства с новыми компьютерными технологиями для более успешного усвоения нашими учениками такой сложной, но очень, очень интересной дисциплины, как математика.