Цели урока:
1) Повторить, закрепить и расширить знания по заданной теме.
2) Уметь самостоятельно применять полученные знания по теме к решению задач.
3) Уметь рационально решать задачи.
4) Творчески подходить к решению конкретной задачи.
1. Повторение теоретического материала
Фронтальный опрос (по таблице “Площади фигур”)
Вопрос: Как найти площади изображенных фигур?
Ответ:
2. Разминка (на 3 мин., в тетрадях только решение)
Задача. Найти площади изображенных фигур. Ответы с комментариями.
3. Программированный контроль
Задания |
Ответы |
||||
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: |
|||||
I вариант |
II вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
y=x2+2, y=x+2 |
y=-x2+4, y=-x+4 |
7 |
1/6 |
2/3 |
1/3 |
y=sin2x,y=0 x=0, x= |
y=cos2x, y=0 x=- |
2 |
-1 |
1/2 |
1 |
y=-2/х, y=2 x=-4, x=-1 |
y=-1/х, y=1 x=-3, x=-1 |
6-4ln2 | 2-ln3 |
2ln2 |
2-3ln2 |
Верные ответы: I вариант: 2,3,1 II вариант: 2,4,2
4. Решение задач на закрепление (с проверкой у доски)
1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
2) Фигура, ограниченная линиями y=x+6, x=1, y=0 делится параболой y=x2+2x+4 на две части. Найти площадь каждой части.
3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x)=2x+4, график которой касается прямой у=6х+3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у=6х+3 и у=0.
4) Составить формулы для нахождения площадей фигур, изображенных на таблице:
Ответы с комментариями:
5) Интересная задача. Найти сумму площадей бесконечного количества фигур, заштрихованных на рисунках:
(Аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза)
Указания к решению: sin nx=0 ; x=
/n;
где n=1,2,4,8,16…;
S=2+1+1/2+1/4+1/8+…=2/(1-1/2)=4
Ответ: 4.
5. Задачи с индивидуальным подходом
Задачи, которые прокомментируют сейчас ученики, имеют индивидуальный подход. Поэтому, прежде чем приступить к их решению, надо проанализировать заданную ситуацию. Решения этих задач в тетрадях не пишутся, дома же вы их решите, по возможности, несколькими способами.
1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2-4x+8
и y=3x2-x3, если х
[-2;3]
Решение:
- Если не рисовать графиков данных функций, то надо узнать имеют ли эти графики общие точки на (-2;3).Для этого надо решить уравнение:
3x2-x3= x2-4x+8. Итак, х=2 и х=-2. 2
Не зная, график какой из функций находится выше другого на (-2;2) и (2;3], площадь фигуры находится так
- Если же нарисовать графики данных функций (что
очень не сложно), то замечаем, что всюду на [-2;3]
выполняется неравенство: х2-4x+8
3х2-х3
Сравнивая формулы, полученные для вычисления площади S, видим, что в данном примере значительно легче искать площадь после того, как нарисованы графики функций. А можно ли всё-таки решить задачу, не делая рисунка? Найдите ещё один способ решения! Но есть задачи, в которых построение графиков затруднено.
2) Найти площадь фигуры, ограниченную линиями: y=x2-4x+sin2x/2
и y=-3-cos2x/2, если х[2;3].
Решение:
Так как графики данных функций построить трудно, то можно выяснить соотношение между функциями, не используя графиков. Исследуем разность данных функций:
x2-4x+sin2x/2-(-3-cos2x/2)=x2-4x+4=(х-2)2
0
Следовательно, x2-4x+sin2x/2>-3-cos2x/2 на [2;3], а, значит, график первой функции лежит выше графика второй функции и
3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной
данными линиями:y=x2 при x0, y=1, y=4, x=0
Решение:
Данная фигура симметрична криволинейной
трапеции, ограниченной прямыми х=1, х=4, у=0,
графиком функции 
, обратной у=х2, x0. Поэтому эти фигуры имеют равные
площади и 
.
А всегда ли рационально использовать интеграл при нахождении площади фигуры?
4) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х+1, у=9-х, у=х+1.
Решение:
Вершины полученного 
ABC имеют координаты: А(0;1), В(2;7), С(4;5).
Можно заметить, что ABC - прямоугольный (произведение угловых
коэффициентов прямых у=х+и у=9-х равно -1). Поэтому
применение интеграла для вычисления S(ABC) не рационально.
Её всегда можно найти как разность площадей
треугольников, у которых известны высота и
основание или же можно использовать
координатный метод.
6. Домашнее задание
Найти площади фигур, ограниченных линиями (1-7)
- у=х2 (х0),
у=1, у=4, х=0
- у=х2-4х+8, 3х2-х3, если если х[-2;3]
- у=х2-4х+sin2(x/2), y=-3-cos2(x/2), если х[2;3]
- у=3х+1, у=9-х, у=х+1
- у=|x-2|,
- x|y|=2;x=1;x=3
- y= arcsin x; у=0; x=0,5; x=1
- При каком значении а прямая х=а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у=2/х; х=1; х=3 в отношении 1:3?
- Вычислить
исходя из его геометрического смысла.
Составить карточку (можно несколько) для зачета, в которой должны быть:
- Теоретический вопрос: (определение, свойств без доказательства)
- Теоретический вопрос: (с доказательством)
- Пример на вычисление неопределенного интеграла (одним из методов)
- Пример на вычисление определённого интеграла.
- Пример на нахождение первообразной сложной функции.
- Пример на нахождение площади фигуры.
7. Итог урока