Учебное занятие "Однородные уравнения и уравнения, сводимые к однородным"

Гырдымова Ангелина Алексеевна

Дидактическая цель: Создать условия для осознания и осмысления новой информации и успешного применения ранее полученных знаний.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления нового материала.

Триединая дидактическая цель:

Образовательная:

продолжить формирование знаний по решению тригонометрических уравнений и умения применять эти знания в стандартной ситуации;
создавать условия для выработки умений применять известные алгоритмы в стандартной ситуации.

Развивающая:

создавать условия для развития аналитических навыков при решении однородных тригонометрических уравнений.

Воспитательная:

создание условий для качественного выполнения работы;
воспитание воли и упорства в достижении поставленной цели.

Технология проблемного обучения

Форма организации учебной деятельности - индивидуальная, фронтальная.

Конспект занятия

I. Математический диктант с самопроверкой (актуализация знаний)

Карточки с уравнениями на магнитах крепятся к доске. Ответы ученики пишут в тетрадях.

№	Уравнение	Ответ	№	Уравнение	Ответ
1)	cos x = 0	x = + n, nZ	1)	sin x = 0	x = n, nZ
2)	tg x = -	x = - + n	2)	tg x = - 1	x = - + n
3)	sin x = - 1	x = - + 2n	3)	ctg x = -	x = + n
4)	tg x = 1	x = + n	4)	cos x = 1	x = 2n
5)	ctg x = -	x = + n	5)	tg x =	x = +n

II. Изучение нового материала

A. sin x - cos x = 0 - однородное уравнение первой степени.

Заканчивая предыдущий урок, я сказала, что пока мы не умеем решать такое уравнение, но некоторые сомневались и предлагали разделить обе части уравнения на cos x. Сохранится ли равносильность? Может быть, решения уравнения cos x = 0 являются решениями данного уравнения? Нет! Почему? Как это доказать?

Если cos x = 0 , то sin x - 0 = 0 sin x = 0, что невозможно, т.к. теряет смысл тождество sin² x + cos² x = 1. Синус и косинус одного и того же аргумента не могут быть равны 0 одновременно. Следовательно, при делении на cos x получаем уравнение, равносильное данному.

sin x - cos x = 0 | : cos x

tg x - = 0; tg x = ; x = + n, n Z

(Ответ: x = + n, nZ)

Если это неубедительно, то обратимся к квадратному уравнению у² - у = 0; если разделим его на у, то потеряем корень 0.

Можно ли делить на sin x? Если делить на sin x, то выдвигать условие sin x 0. Будут ли значения x, при которых sin x = 0, корнями данного уравнения? Нет! Если sin x = 0, то cos x = 0 , что невозможно, т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1.

Учащиеся изучают “Материалы к уроку”.

Материалы к уроку (раздаются каждому ученику)

Тема урока: “Однородные уравнения и уравнения, сводимые к однородным”

1. Уравнения

a·sin x + b·cos x = 0,

a·sin² x + b·sin x·cos x + c·cos² x = 0,

a·sin³ x + b·sin² x·cos x + c·sin x·cos² x + d·cos³ x = 0 и т.д.,

где a, b, с, d - действительные числа, называют однородными относительно sin x и cos x.

2. Сумма показателей степеней при sin x и cos x у всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень.

3. Делением на cos^k x, где k - степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции tg x.

4. Разделим обе части уравнения на cos x. Значения x, при которых cos x = 0, не являются решениями данного уравнения, т.к. если cos х = 0, то и sin x должен обращаться в 0, а косинус и синус одного аргумента не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, при делении на cos x получаем уравнение, равносильное данному.

5. Например, sin x - cos x = 0. Если cos x = 0, то sin x - ·0 = 0 sin x = 0, что невозможно, т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = l.

B. sin² x + sin x cos x - 2cos² x = 0 - однородное II степени.

sin² x + sin x cos x - 2cos² x = 0 | : cos² x

cos² x 0, т.к. если cos x = 0, то sin² x + sin x ·0 - 2 ·0 = 0 sin x = 0, что невозможно (противоречит основному тригонометрическому тождеству).

tg² x + tg x - 2 = 0

Пусть tg x = t, тогда t² + t - 2 = 0.

В полученном квадратном уравнении a + b + c = 0, значит, t₁ = 1, t₂ = - 2.

tg x = 1 или tg x = - 2

x = + n, nZ; x = - arctg 2 + k, kZ

Ответ: x = + n, nZ; x = - arctg 2 + k, kZ

C. sin x cos x - 3cos² x + 1 = 0. Является ли уравнение однородным?

Нет, т.к. слагаемое 1 - нулевой степени. Следовательно, чтобы привести это уравнение к однородному необходимо заменить 1 на sin² x + cos² x.

sin x cos x - 3cos² x + sin² x + cos² x = 0

sin² x + sin x cos x - 2 cos² x = 0 | : cos² x

tg² x + tg x - 2 = 0 и т.д. (см. пример B).

D. 4 sin² x + sin x cos x + cos² x = 3 - уравнение не является однородным.

4 sin² x + sin x cos x + cos² x = 3(sin² x + cos² x)

4 sin² x + sin x cos x + cos² x - 3 sin² x - 3 cos² x = 0

sin² x + sin x cos x - 2 cos² x = 0 | : cos² x однородное II степени

tg² x + tg x - 2 = 0 и т.д. (см. пример B).

E. sin² x + 3sin x cos x - 8cos² x = - 2 - уравнение не является однородным.

sin²x + 3sin x cos x - 8cos²x + 2(sin²x + cos²x) = 0

3sin²x + 3sin x cos x - 6cos²x = 0 | : 3

sin²x + sin x cos x - 2 cos²x = 0 | : cos²x однородное II степени

tg²x + tg x - 2 = 0 и т.д. (см. пример B)

III. Устная работа

Указать прием решения уравнения:

1) sin 2x + cos 2x = 0

2) 3sin² x - 4sin x cos x + cos² x = 0

3) sin³ x cos x - 2sin² x cos² x = 3sin x cos³ x - 6cos⁴ x

4) sin² x + sin 2x = 0 (sin² x + 2sin x cos x = 0)

5) cos² x + sin 2x = 0 (cos² x + 2sin x cos x = 0)

IV. Неполные однородные уравнения

Уравнения 4) и 5) из устной работы два ученика решают одновременно на доске.

Традиционная ошибка школьников при решении неполных однородных уравнений II степени делением на одну из функций - потеря корней. Решая уравнения разложением на множители оба ученика получают две серии корней. А при решении новым способом (деление на функцию) у одного получаются две серии корней, а у другого - одна. В чём ошибка?

После обсуждения проблемы сформулировали вывод: “дели на то, чего мало”.

sin²x + 2sin x cos x = 0.

I способ решения:

разложим левую часть уравнения на множители

sin x (sin x + 2cos x) = 0

sin x = 0 или sin x + 2cos x = 0 | : cos x (получили однородное уравнение I степени)

x = n, nZ; tg x = - 2; x = - arctg 2 + k, kZ

Ответ: x = n, nZ; x = - arctg 2 + k, kZ

II способ:

Решаем данное уравнение как однородное II степени

sin²x + 2sin x cos x = 0 | : cos²x

tg²x + 2tg x = 0

tg x (tg x + 2) = 0

tg x = 0 или tg x + 2 = 0

x = n, nZ; tg x = - 2; x = - arctg2 + k, kZ

cos²x + 2sin x cos x = 0.

I способ (решаем как однородное уравнение II степени):

cos²x + 2sin x cos x = 0 | : sin²x (“дели на то, чего мало”)

если sin x = 0, то cos²x + 2·0·cos x = 0 U сos x = 0,что невозможно

сtg²x + 2сtg x = 0

сtg x (сtg x + 2) = 0

сtg x = 0 или сtg x + 2 = 0

х = + n, nZ; x = - arcctg 2 + k, kZ.

Ответ: х = + n, nZ; x = - arcctg 2 + k, kZ

II способ для проверки (решаем разложением на множители):

cos x (cos x + 2sin x ) = 0

cos x = 0 или cos x + 2sin x = 0 | : cos x

х = + n, nZ; 1 + 2tg x = 0 ; tg x = - ;

x = - arctg + k, kZ

V. Самостоятельная работа

Решите уравнения:

1)	sin x - cos x = 0	1)	sin x + cos x = 0
2)	3cos²x - 5sin²x - 2sin x cos x = 0	2)	3cos²x = 4sin x cos x - sin²x
3)	6sin²x + sin 2x - 5cos²x = 2	3)	6sin²x + sin 2x - cos²x = 2
4)	sin² ( + x) + 3 cos² ( + x) =1	4)	4 cos² - sin x + 5sin² = 3
5)	2sin x + cos x = 2	5)	sin 4x - 3cos 4x = 8 sin²2x

Ответы: во всех случаях полагается n, kI Z

1)	x = + n.	1)	x = - + n.
2)	x = - + n; x = arctg + k.	2)	x = + n; x = arctg 3 + k.
3)	x = + n; x = - arctg + k.	3)	x = - + n; x = arctg + k.
4)	x = ± + n.	4)	x = + 2n; x = 2arctg + 2k.
5)	x = + 2n; x = 2arctg + 2k.	5)	x