Урок "Площадь. Измерение и вычисление площадей" в 6-м классе в рамках курса "Наглядная геометрия"

Теоретические сведения.

1.

Каждая плоская фигура имеет форму и размеры. Равные фигуры – это фигуры, имеющие одинаковую форму и равные по размерам. Равные фигуры – это фигуры, полностью совпадающие при наложении друг на друга. Две различные плоские фигуры называются равносоставленным, если их можно разрезать на одинаковые части. Можно сказать, что площадь плоской фигуры – это величина той части плоскости, которую занимает фигура. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины. Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими. Если, не меняя формы плоской фигуры, увеличить ее размеры в n раз, то ее площадь увеличится в n2 раз.

2. Площадь плоской фигуры можно измерить с помощью палетки.

Рисунок 1

...<Sф<... ...<Sф<... Sф S ... Sф ... ...

Практически считают так: S_ф ..., где А  —..., В  —...

S_ф ...

Ответ: ...

3. Площадь многоугольника с вершинами в узлах квадратной сетки можно вычислять по формуле Пика: S = ..., где S – площадь многоугольника, выраженная в площадях единичных квадратиков сетки,

а – количество узлов внутри многоугольника,

в – количество узлов на границе многоугольника (включая вершины).

Рисунок 2

... Ответ: ...

4. Вычисление площадей фигур с помощью формул.

Изученные формулы	Пока не изученные формулы
S =	S =
S =	S =
S =	S =
S =	S =
Sпов. п.п. =
Sпов. куба =

5. Вычисление площади многоугольника, используя описанный прямоугольник.

а) Рисунок 3	б) Рисунок 4
SАВС = ... SАВС = … Ответ:	S АВСDЕF = ... S АВСDЕF = … Ответ:

6. Нахождение площади фигуры посредством ее разбиения на части. Нахождение площади фигуры посредством ее перекраивания в другую, более удобную для вычисления площади.

Например:

а) параллелограмм   Рисунок 5		Рисунок 6		S = ...
б) ромб Рисунок 7 d1 и d2 – диагонали ромба		Рисунок 8		S = ...

8. Это интересно!

• Первые упоминания о треугольнике и его свойствах встречаются в египетских папирусах, которым более 4000 лет. В частности, там упоминается способ нахождения площади равнобедренного треугольника, дающий хорошее приближение при малых углах при вершине, противоположной основанию. Эта площадь находится как произведение половины основания на боковую сторону.

• В древнем мифе рассказывается, что тирский царь Пигмалион убил Сихея, мужа своей сестры Дидоны, чтобы овладеть его богатством. Дидона, покинув Финикию, после многих приключений оказалась в северной Африке. Король нумибийцев Ярб обещал подарить Дидоне участок земли на берегу моря “не больше, чем можно окружить воловьей шкурой”. Хитрая Дидона разрезала шкуру вола на тонкие полоски, связала из них очень длинную веревку и отмерила большой участок земли, на котором основала город Карфаген.
  Вопрос. Участок земли какой формы отмерила Дидона веревкой данной длины, чтобы получить наибольшую площадь?
  Ответ...

9. Перекраивая фигуры, мы использовали закон сохранения площади: если плоскую фигуру разрезать на части и из них сложить новую геометрическую фигуру, то площади “старой” и “новой” фигур равны.

Используем этот закон для доказательства теоремы Пифагора:

Рисунок 9

... А верно ли обратное? То есть если даны две плоские фигуры, например многоугольники равной площади, всегда ли можно одну из них разрезать на конечное число частей так, чтобы из них можно было сложить вторую? Равновеликие Равносоставленные

В 1832 году венгерский математик Ф. Больяи и австриец П. Гервин доказали теорему о том, что любой из двух многоугольников равной площади всегда можно разрезать на несколько меньших многоугольников и сложить из них второй многоугольник.

Рисунок 10

Гениальность идеи состояла в том, чтобы разрезать любой многоугольник на части, из которых можно сложить квадрат.

Нанеся затем на квадрат границы уложенных в нем кусков сначала первого многоугольника, а затем второго, разрежем квадрат по всем полученным линиям. Из образовавшихся кусочков можно будет сложить как первый, так и второй многоугольники.

10. Парадоксы, в которых принципом “скрытого перераспределения” объясняется таинственное исчезновение или появление площадей.

1. Парадокс шахматной доски – один из самых старых и самых простых.

Рисунок 11

Рисунок 12

Шахматная доска разрезается наискось, как это показано на рис.11, а затем часть В сдвигается вниз, как это показано на рис. 12. Если треугольник, выступающий в правом верхнем углу, отрезать ножницами и поместить на свободное место, имеющее вид треугольника в левом нижнем углу рисунка, то получится прямоугольник.

2. В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, то есть площадь пробоины оказалась равной 13 см х 5 см = 65 см². У судового плотника оказалась для ремонта только квадратная дощечка со стороной равной 8 см, т.е. площадь квадрата равнялась 64 см². Что делать?

Вышло так, что плотник сумел квадрат 64 см² обратить в прямоугольник с площадью 65 см². Откуда появилась лишняя квадратная единица?

№	Фигура	Измерение площади с помощью палетки	Вычисление площади
			по формуле Пика	с помощью описанного прямо- угольника	посредством разбиения фигуры на части	посредством пере- краивания фигуры	по формуле площади
1						в квадрат
2						в прямоугольник
3						в прямоугольник
4						в параллелограмм
5						в прямоугольник