Цели урока:

• Повысить уровень знаний учащихся по предмету, сделать более понятной важную тему высшей математики, привлекая к уроку учителей биологии и физики.
• Выделить разные виды решения задач, расширить кругозор учащихся.
• Повысить интерес к предмету, уровень культуры речи, культуры ведения записей.
• Учить мыслить, анализировать, приучать к самостоятельности.

Начинает урок учитель математики, объясняя смысл темы: Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной является функция от одного неизвестного переменного, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков.

Термин “дифференциальные уравнения” был предложен Г.Лейбницем. Первые исследования уравнений были проведены в конце XVII века в связи с изучением механики и некоторых геометрических задач.

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений.

Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид:

F’(x) = f(x) … (1), где f(x) – данная функция, а F(x) – решение этого уравнения.

Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение вида:

f’(x) = kf(x) … (2),

где k – const причем k может быть: k > 0 или k < 0.

Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться, что решением уравнения … (2), является любая функция вида: f(x) = Ce…(3), где C– const. Т.к. C – произвольно, то уравнение имеет бесконечно много решений.

Докажем, что других решений, кроме функций вида … (3) уравнение … (2) не имеет. Для этого рассмотрим произвольную функцию f, удовлетворяющую уравнению … (2) и вспомогательную функцию q(x) = f(x) · e … (4). Найдем ее производную.

q’(x) = f’(x) · e – k · e· f(x) = kf(x) · e– ke f(x) = 0.

T.к. q’(x) = 0, то q(x) = С, то q(x) = C. С – const при всех x. Из равенства … (4) получаем f(x) · e = С.

Отсюда f(x) = = C · e  

f(x) = С · e _.

Смысл дифференциального уравнения … (2) заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке.

Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному закону.

Объяснение продолжает учитель физики. Она рассматривает задачу 1 о радиоактивном распаде вещества: Если m’(t) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то скорость уменьшения массы пропорциональна его количеству.

m’(t) = – kx(t) … (1)

Значит, решением уравнения … (1) является функцией m’(t) = Сe. С найдем из условия, что в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была равна:

m(0) = m_о,

m(0) = Сe,

m(0) = С

Отсюда, m(t) = m_o · e

Промежуток времени T, через который масса радиоактивного вещества уменьшится в 2 раза называют “периодом полураспада”. Зная Т, можно найти k:

m(T) = m_o ,

m_o · e= m_o,

e=

Логарифмируя по основанию е, получаем

-kT = – ln 2,

k =

Например, для радия Т 1550 лет. Поэтому, k 0,000447

Следовательно, через 1 млн. лет от начальной массы m_o останется (вычисления проводит учитель математики).

m(10)m_o · e m_o · e0,6 · 10 m_o

Пусть e= y, ln y = – 447, y = 7,37 · 10 = 0,7 · 10

lg y = – 447 lg e = – 447 · 0,4343 = – 194,1321 = – 195 + 0,8679.)

Задача 2. От m_мг радия С через t мин. радиоактивного распада остается n_мг. Найдите период полураспада радия С, т. е. через сколько минут останется 0,5 m_мг радия С.

В урок включается учитель биологии. У нее интересный материал о размножении бактерий.

Предлагается задача 3: скорость размножения бактерий m’(t) связана с массой m(t) бактерий в момент времени t уравнением:

m’(t) = km(t), где k > 0, зависящее от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнения являются функции m(t) = C · e. Постоянную C можно найти из условия, что в момент t = 0 масса m_o бактерий известна, тогда m(t) = m_o · e.

Задача 4. Культуре из 100 бактерий представляется возможность размножаться при благоприятных условиях. Через 12 часов число бактерий достигло 500. Сколько бактерий будет через 2 суток после начала опыта?

В работу включается учитель физики.

Задача 5. Два тела имеют одинаковую температуру – 100^o. Они вынесены на воздух, его температура 0^o. Через 10 мин. температура одного тела стала 80^o, а второго – 64^o. Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 25^o.

Задача 6. Задача о гармонических колебаниях.

В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются например, колебательные движения маятника, струны, пружины, процессы связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т.д.

Решение многих таких задач сводится к решению дифференциальных уравнений y’’ = – w ²y …(1)

где w – заданное положительное число

y = y(t)

y’’= (y’(t))’

Решениями уравнения … (1) являются функции вида y(t) = G(sin w t + c₂) … (2), где G₁ и C₂ – постоянные, определяемые условиями конкретной задачи. Уравнение вида …(1) называются уравнениями гармонических колебаний. Например, если y(t) отклонение точки свободного колебания струны от положения равновесия в момент времени t, то y(t) = A · sin (cot + j ), где А – амплитуда колебания, w – циклическая частота, j – начальная фаза колебания.

После объяснений нового материала приступаем к его закреплению. Задачи решаются ученикам.

Задача 1. Напишите дифференциальное уравнение гармонического колебания.

x(t) = 7sin(3t - 0,7)

Решение:

x’(t) = 7 cos(3t – 0,7) · 3 = 21 cos(3t – 0,7)

x’’(t) = -21sin(3t -0,7) · 3 = – 63 sin(3t – 0,7)

Составляем уравнение:

x’’(t) = -3² x(t)

Ответ: x’’(t) = -3² x(t)

Задача 2. Период полураспада радиоактивного вещества равен 1 ч. Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз.

Решение:

=

Используя решение предыдущих задач о радиоактивном распаде, имеем:

m(t) = m_o · e

т.к. m(t) = m_o, то

m_o = m_o · e (t),

e=

– kt = – ln 10,

k = = = ln2

t = = » 3,3

Ответ: t = 3,3 ч.

Задача 3. Моторная лодка движется по озеру со скоростью 30км./ч. Какова будет скорость лодки в м./мин. Через 3 минуты после выключения мотора.

Указание: Воспользуйтесь тем, что скорость лодки V(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению V’(t) = – kV(t), где k = , V – скорость в м./мин.

Решение:

V_o = 30 км/ч = = 500 м/мин

V'(t) = -kV(t)

V(t) = C · e

V(0) = Ce^{-k · 0}

500 = C

Отсюда V(t) = V_o · e

V(3) = 500 · e = 500 · e

Пусть e = y

– 5 lg e = lg y

ln y = 5 · 0,4343 = – 2,17 = – 3 + 0,83

y = 676 · 10

V(3) = 500 · 676 · 10 = 3,38

Ответ: 3,38 м./мин.

Подводится итог урока, еще раз дается формула дифференциального уравнения и его решение.