Урок в 9-м классе по теме: "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Разделы: Математика

Особенности изучаемой темы: На изучение темы “Прогрессии” при “традиционном” последовательном изучении арифметической и геометрической прогрессий отводится 14 часов. Рассматривая обе прогрессии одновременно, можно высвободить время для решения задач повышенной трудности. Данный урок – третий.

Цели урока:

  • Общедидактическая – формирование понятий арифметической и геометрической прогрессии, формирование умений работать с формулами n-го члена прогрессии.
  • Обучающая: изучить определение арифметической и геометрической прогрессии; вывести формулы n-го члена; сформировать навыки применения формулы при решении упражнений.
  • Развивающая: продолжать развитие математического мышления – умений применять ранее изученный материал о последовательностях; умений выстраивать логическую цепочку доказательств, аргументировать способ решения. Формирование грамотной математической речи.
  • Воспитательная: продолжать воспитание самостоятельности, трудолюбия, внимания, чувства ответственности и общематематической культуры.

Тип урока: урок первичного изучения и закрепления новых знаний.

Форма урока (вид): традиционная с элементами проблемного обучения.

Методы обучения:

  • Традиционные: объяснительно-иллюстративный и репродуктивный – при решении упражнений.
  • Нетрадиционные: проблемный (при построении выведения определений и формул); частично-поисковый (при работе над формулой n-го члена и при выполнении домашнего задания).

Средства обучения: контрольный дидактический материал, включающий задания разного уровня сложности для проверки уровня усвоения учебного материала.

Ход урока

1. Организационная часть

2. Проверка выполнения творческого домашнего задания

Гимназистам были предложены различные последовательности:

  1. 1, 2, 3, 4, 5…
  2. 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…
  3. 10, 14, 18, 22, 26…
  4. 9, 9, 9, 9…
  5. -5, -10, -20, -40, -80…
  6. 12, 22, 32, 42, 52…
  7. 1,
  8. -2, -4, -6, -8, -10…

Задание заключалось в классификации этих последовательностей. Классифицировать последовательности они могли по-разному, в зависимости от правил составления той или иной последовательности. При проверке выполнения домашнего задания рассматриваются все возможные варианты и обсуждаются.

В результате обсуждения получены две группы последовательностей, от учащихся требуется сформулировать правило, по которому они составлены.

3. Мотивация изучения нового материала

Мотивация изучения нового материала вытекает из потребностей гимназистов более детально изучить полученные группы последовательностей.

4. Изучение нового материала

4.1 Вывод определения арифметической и геометрической прогрессии, работа над определением.

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия
Целью нашего урока является изучение этих прогрессий, их определение, свойства, формула n-го члена.
1) 1, 2, 3, 4, 5… d = 1

2) 10, 14, 18, 22, 26… d = 4

3) -2, -4, -6, -8, -10… d = -2

4) 9, 9, 9, 9, 9… d = 0

 1) 1; 0,1; 0,01; 0,001… q = 0,1

2) -5, -10, -20, -40, -80… q = 2

3) 1, q =

4) 9, 9, 9, 9… q = 1
Определение: числовая последовательность а1, а2, а3,…, аn, … называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство

an+1 = an + d,

где d – некоторое число.

d = an+1 – an – разность арифметической прогрессии.

 Определение: числовая последовательность b1, b2, b3,…, bn, … называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство

bn+1 = bn x q,

где b, q – некоторые числа, не равные нулю.

– знаменатель геометрической прогрессии

Задание: Найти d и q в данных прогрессиях.

4.2 Вывод формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессии.

  • В рассмотренных случаях арифметическая и геометрическая прогрессии заданы рекуррентным способом. Всегда ли удобен этот способ задания прогрессии (например, выразите а100 и а200 )?
  • Выведите формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессий.
a1; d

a2=a1+в

а3=а2+d=a1+2d

а4=а3+d=a1+3d

аn = а1 + d(n – 1) – формула n-го члена арифметической прогрессии

 b1; q b1

b2=b1q

b3=b2q=b1q2

b4=b3q=b1q3

bn = b1qn-1 – формула n-го члена геометрической прогрессии
5. Закрепление изученного материала – работа над формулой.
  • Запишите формулу n-го члена для (3) и (4) прогрессий.
3) а1= -2; d = -2

an= -2 – 2(n-1)

4) а1= 9; d = 0

an= 9 + 0(n-1)= 9

 3) b1= 1; q=

bn= 1 x (2/3)n-1= (2/3)n-1

4) b1= 9; q= 1

bn= 9 x 1 n-1=9

(?)
  • Что надо знать, чтобы записать формулу n-го члена арифметической и геометрической прогрессии?

а1; d; n

b1; q; n
  • Какие задачи можно решать, применяя эти формулы?

аn=а1+d(n-1)

bn=b1qn-1
№ 375 (1)
  1. 1, 6, 11, 16, … – арифметическая прогрессия
    а1 = 1; d = 6 -1 = 5

Ответ: аn= 1+5(n-1)

№ 379 (1)

(аn) – арифметическая прогрессия

а1= 7; а16 = 67

d – ?

аn = а1 + d(n-1)

67 = 7+ d(16 – 1)

67 = 7+15d

15d = 60; d = 4

Ответ: d = 4

№ 376

44, 38, 32, … – арифметическая прогрессия

аn= -22

n – ?

аn = а1 + d(n -1)

а1 = 44; d = 38 – 44 = – 6

44 – 6( n -1) = -22

-6n+ 50= -22

-6n = -72

n = 12, (12  N)

Ответ: n = 12

№ 410 (1)
  1. 4, 12, 36, … – геометрическая прогрессия
    b1 = 4; q = 12 : 4 = 3

Ответ: bn = 4 x 3n-1

№ 412 (1)

(bn) – геометрическая прогрессия.

b1 = 2; b5 = 162

q – ?

bn = b1qn-1

2q5-1 = 162

q4 = 81

q4 = 34; q = 3, –3

Ответ: q= +3; –3

№ 411 (1)

6, 12, 24, …, 192, … – геометрическая прогрессия

bn =192

n – ?

bn=b1qn-1

b1 = 6; q = 12 : 6 = 2

6 x 2n-1= 192

2n-1= 32

2n-1= 25

n – 1= 5, n= 6 (6 N)

Ответ: n= 6

6. Контроль усвоения учебного материала

Проверочная работа.

  1. В арифметической прогрессии (аn) известны а1= -3,4 и d = 3.
    Найдите а11, ак+1.
  2. Геометрическая прогрессия задана двумя первыми числами 15, -3, …
    Найдите следующие два члена этой прогрессии..
  3. Найдите разность арифметической прогрессии (хn), если
    х1= 96; х37= 6 (задание I уровня сложности)
    х11= 24; х16= 2 (задание II уровня сложности)
  4. Между числами 48 и вставьте три числа так, чтобы вместе с данными числами они составили геометрическую прогрессию.

 7. Подведение итогов урока

7.1. Сопоставление предполагаемых результатов с фактическими.

Предполагаемые результаты:

  • Гимназисты сами сформулируют определение арифметической и геометрической прогрессий.
  • Гимназисты выведут формулы n-го члена прогрессий.
  • Гимназисты научатся применять формулы при решении задач.
  • Гимназисты выявят отличительные особенности арифметической и геометрической прогрессий.

7.2 Итоги проверочной работы.

7.3 Повторение определений арифметической и геометрической прогрессий, формул их n-го члена.

Домашнее задание:

  1. § 28, 30 (учебник под редакцией Ш.А. Алимова. М.: Просвещение, 2004).
  2. № 375, 379, 410, 411, 412 (четные).