Цели урока:
- выработать у учащихся умение находить наибольшее и наименьшее значения величин;
- отработать умения учащихся пользоваться предложенной схемой решения задач на оптимизацию;
- привести примеры задач, связанных с разными специальностями;
- воспитывать чувство ответственности за коллектив в процессе творческой работы.
Оборудование урока:
- плакат с высказыванием П.Л.Чебышева;
- плакат со схемой решения задач на оптимизацию;
- памятка с методическими рекомендациями по решению задач;
- изготовленные учащимися коробки с открытым верхом из листа размером 12 x 12 (индивидуальная домашняя работа);
- карточки с задачами.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания, актуализация знаний
На предыдущем уроке мы с вами познакомились с алгоритмом отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной на отрезке функции. (Повторяем алгоритм по пунктам.) Дальше предлагаю самостоятельно выполнить задание: “Найти наибольшее, наименьшее значения функции V(x) = 1/2(12 – x) * x2 на отрезке [0; 12]. Это и проверка усвоения темы прошлого урока, и возможность просмотреть домашнее задание (собрать коробочки), и главное, переходное задание к задачам на оптимизацию. Работу обязательно проверяю, например, с помощью кодоскопа или по решению одного из учащихся на обратной стороне доски.
II. Объяснение нового материала
К объяснению темы приступаю с демонстрации исходного квадрата и тех коробочек, которые изготовили учащиеся, с указанием их объёмов. Бумажный квадрат был у всех одинакового размера, а объёмы коробочек получились разные. Выясняем, в каком случае коробочка имеет наибольший объём. Пусть МN = x см (см. рисунок).
Тогда АМ = ((12-x)/2) см, объём коробочки: V = x2*(12-x)/2
= (1/2x2(12 – x)) см, где 0 
x 12. Находим наибольшее
значение функции V(x) = 1/2x2(12-x) на отрезке [0;12].
Эта задача была решена в начале урока. Таким
образом, в этой части урока всё внимание
сосредотачивается на составление
математической модели задачи. Важно выяснить,
так чья же коробочка имеет наибольший объём?
П.Л.Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д.
Задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший”). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение.
Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме:
- составление математической модели;
- работа с моделью;
- ответ на вопрос задачи.
Рекомендации по решению задач у вас лежат на столах. Раздаются памятки (Приложение 1).
III. Закрепление изученного
Задача 1. Сварщики получили задание из металлического стержня длиной а, необходимо согнуть скобу прямоугольной формы и приварить её к металлической балке. Как выбрать на стержне точки сгиба, чтобы площадь образовавшегося прямоугольника была наибольшей?
Эту задачу решаем всем классом с одним из учеников у доски, особо обращая внимание на составление математической модели.
Дальнейшее решение задач осуществляется дифференцировано, по группам. Для более подготовленных учащихся предлагается задача 3 и 4, а остальные ребята решают задачу 2.
Задача 2. Строители решили пристроить к стене школы физкультурный зал прямоугольной формы. Оказалось, что кирпича у них хватит только на 100 м стены (по периметру трёх новых стен). Зал должен быть как можно больше по площади. Что вы посоветуете строителям? Какие размеры пристройки выбрать?
Задача 3. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению её ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы её прочность была наибольшей.
Задача 4.Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?
Затем по одному учащемуся из группы демонстрируют решение у доски. Руководители групп оценивают остальных учащихся.
IV Итог урока
Подводя итог урока, в каждой решённой у доски
задачи выделяем этапы математического
моделирования:
Cоставление математической модели;
V. Домашнее задание
П. 25, № 312; 313; 320 (учебник “Алгебра и начала анализа 10–11” под редакцией А.Н. Колмогорова).