Урок-семинар по алгебре и началам анализа в XI классе: "Основные свойства функций"

Разделы: Математика

Цель семинара:

  1. Повторить основные свойства функции.
  2. Рассмотреть дробно-линейную и дробно-рациональную функции, мало изучаемые в школьной программе.
  3. Рассмотреть примеры функций, содержащих модуль.

I. Устная работа.

  • Вспомнить определение функции, область определения, множества значений функции.
  • Для функции y = f(x) указать D(у), Е(у) координаты точек пересечения с осями координат

  • Какие из указанных линий являются графиками функций?

  • Найти D(у): у = х3 - 3х + 4, у = , , .
  • Привести пример функции, для которой: D(у) =R; D(у) =R, х2; D(у)= [0;); D(у) =[-2;2]
  • Дать определение возрастающей, убывающей функции. Назвать по графику промежутки возрастания и убывания функции.
  • Функция у = f(х) возрастает на всей области определения, сравнить f(3) и f(-4).
  • Докажите, что функция у = kх + b возрастает при k>0, убывает при k<0.
  • Дать определение четной и нечетной функции. Какова особенность графика четной функции. Достроить график, если функция f(x) четная (f(x) нечетная).

  • у = f(х) - четная функция, f(3) = 7; f(12) = 6; f(5) = 6,7; f(-6) = 0. Найти f(-3), f(-12), f(-5), f(6).
  • Исследовать на четность и нечетность следующие функции:

  • Дать определение периодической функции.
  • Указать периоды следующих функций:
  • Перечислить основные свойства функции

II. Сообщения по заданным темам.

(При подготовке к семинару класс был поделен на группы, и каждая группа получила свое задание)

1) Функции в природе и технике.

2) Дробно-линейная функция и ее график.

3) Графики функций, содержащих модуль.

4) Дробно-рациональная функция.

5) Графики тригонометрических функций.

1. Функции в природе и технике.

Сообщение по теме гимназистов из группы, готовившей материал по данному вопросу.

2. Дробно-линейная функция и ее график.

Это функция вида .

Если с = 0, то . Это линейная функция. Если ad = bc, то y = const.

D(y) = R, х

Для построения графика преобразуем правую часть равенства, выделив целую часть:

. Таким образом, получили , т.е. график можно получить сдвигом гиперболы на единиц вдоль оси Ох, и на единиц вдоль оси Oy.

Для более точного построения графика целесообразно найти точки его пересечения с осями координат.

Например:

1)

здесь и далее графики изображены схематично, x = 2, y = 2 - асимптоты

2)

y = -2, x= 1,5 - асимптоты

3. Графики функций, содержащих модуль

у = |f(х)| - график получается симметричным отображением относительно оси Ох

у = f - график получается симметричным отображением относительно оси Оy.

Например:

1)

4. Дробно-рациональная функция.

Это функция, которую можно представить в виде частного двух многочленов.

Некоторые приемы построения графиков:

1) Сложение двух графиков.

2) Деление

5. Тригонометрические функции

1)

4)

y = |x|0

y = 1 график представляет собой точки с координатами (; 1).

5) y

III. Работа в группах:

1) Построить графики: а) y

б) y=2x+1

в)

г)

2) Исследовать функцию у = и построить ее график.

IV. Обсуждение результатов групповой работы. Подведение итогов урока.