Курс, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса, направлен на систематизацию и расширение знаний учащихся, на реализацию внутрипредметных связей, способствует лучшему освоению базового курса математики, а с другой – служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути.
Объем аудиторных часов – 34. Курс предназначен для изучения в 9 классе для подготовки учащихся к обучению в рамках естественно-математического профиля.
Курс состоит из раздела: “Функции и графики”.
Цели курса:
Развитие представлений о ведущем математическом методе познания реальной действительности – зарождении и развитии функций и графиков функций.
Формирование целостной естественно-математической базы по истории развития теории об уравнениях, неравенствах и их системах.
Создание мотивационной основы для качественной подготовки учащихся к выпускным экзаменам, к участию в олимпиадах.
Подготовка к осознанному выбору профильного направления на старшей ступени обучения.
Главным содержанием курса является небольшое количество новых теоретических фактов во взаимосвязи с уже известными фактами из курса алгебры, геометрии.
Широкая тематика курса даст возможность учащимся представить специфику познавательной деятельности.
Материал курса предназначен как для учеников, склонных к практическому мышлению, так и для тех, кто склонен к теоретическому мышлению. При изложении содержания курса будет использован историко-генетический подход, позволяющий показать историю возникновения научных проблем и различные подходы к их решению.
Развитию познавательных интересов учащихся будет способствовать возможность выбора различных видов деятельности (учебные теоретические исследования, решение прикладных задач, изучение общекультурной составляющей предметных знаний, конструирование и моделирование, поиск различной информации, решение задач повышенной трудности), создание ситуаций достижения успеха.
В каждом разделе курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний и способов деятельности, субъективного опыта, что будет способствовать эффективному усвоению предполагаемого курса.
Основные формы организации учебных занятий: беседы, лекции, семинары, научно-исследовательская работа, практические занятия, самостоятельные работы, индивидуальные работы по теме, работа со справочным и энциклопедическим материалом, выдвижение гипотез и их практическое обоснование, математическая обработка данных, использование дополнительной литературы по проведению олимпиад.
Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют различные задания, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы, а также разнообразных творческих заданий, рефератов и т.п. Содержание курса представлено в виде диалога учеников и учителя. Такая форма работы позволит организовать самостоятельное изучение материала.
Основное содержание курса.
Введение. Функции и графики. Рождение функции (1 час). Способы заданий функции. Некоторые примеры и задачи функций (2 часа). Из чего и как конструируются формулы (1 час). Как образуются классы функций (1 час). Линейная функция (1 час). Функция y = [x] (1 час). Разрывные функции (2 часа). Кусочно-линейные функции и модули (2 часа). Интерполяционный многочлен Лагранжа (2 часа). Квадратный трехчлен (1 час). Графики квадратных трехчленов (3 часа). Графики многочленов (2 часа). Дробно-линейная функция (3 часа). Графики дробно-рациональных функций (3 часа). Различные задачи на построение графиков функций (9 часов).
Решение элементарных задач.
Курс построен по модульному принципу, который позволяет успешно организовать самостоятельную работу учащихся и различные маршруты освоения предложенного содержания. Основная функция учителя в данном курсе состоит в “сопровождении” учащихся в их познавательной деятельности, коррекции ранее полученной информации, помощи в извлечении из полученных ранее знаний тех, которые актуализируются в данном курсе.
Организация и проведение аттестации учеников.
Занятие элективного курса по математике в 9-х классах по теме: “Дробно-линейные функции”
Цель: Сформировать у учащихся представление о разрывных функциях, точках разрыва. Познакомить с построением графиков дробно-линейной функции. Развивать мыслительную деятельность учащихся. Прививать интерес к предмету.
Ход занятия
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний у учащихся.
- Назовите общую формулу квадратичной функции (y = ax2 + bx+c).
- Cоответствуют ли равным приращениям аргумента равномерно возрастающие приращения функции?
- Назовите координаты вершины параболы y = (x + 1)2 + 2 где (-1; 2) – вер.
- Как смещена парабола y = x2 ? (сдвигом вдоль оси ОХ влево, и смещением вверх по оси ОY на 2 ед. отрезка).
III. Прослушивание реферата, заданного на дом по теме: “Графики дробно-рациональных функций”.
Рациональной функцией называется функция, которую можно представить в виде отношения двух многочленов:
К этому классу функций относятся и многочлены, которые иначе называются целыми рациональными функциями. Мы познакомимся с дробно-рациональными функциями, которые путем сокращений не приводятся к многочленам.
При построении графиков рациональных дробей
следует учитывать ряд их специфических
особенностей. Так, значение любой рациональной
дроби безгранично приближается к нулю при 
, а
график её неограниченно приближается к оси
абсцисс при неограниченном увеличении модуля
аргумента, и ось ОХ является горизонтальной
асимптотой. Поведение неправильной рациональной
дроби при определяется поведением ее
целой части к графику, который неограниченно
приближается, график данной дроби с ростом
абсолютной величины аргумента.
Например:
поведение при такое же, как и у функций у = 1; у = х
–1; у = х2 – х +1.
график первый приближается к прямой у = 1
(горизонтальная асимптота) второй – к прямой у =
х-1 (наклонная асимптота), а третий – к параболе у =
х2 + х+1.
Поскольку целая часть дроби 
имеет степень n – м,
то при n = м эта целая часть – константа, uх
график имеет горизонтальную асимптоту, если n =
м+1, то целая часть имеет вид ах + b, график имеет
наклонную асимптоту, если n > м + 1, то график
асимптотически приближается к графику
многочлена степени n – м, являющегося целой
частью дроби.
Есть особенность у графиков рациональных
дробей – наличие вертикальных асимптот в тех
случаях, когда знаменатель имеет корни, т.е.
х = х0, график дроби неограниченно
приближается к прямой х = х0, уходя либо
вверх, либо вниз при х 
х0.
Какой из этих случаев имеет место, легко определяется по знаку функции: если функция положительна, то ее график может уходить только вверх, если функция отрицательна – только вниз. Поэтому вопрос о характере приближения рациональной дроби к вертикальным асимптотам легко решается после того, как будут определены ее знаки, т.е. выполнена схема исследования функции.
IV. Разбор примеров дробно-линейных функций.
- Рассмотрим пример
Заметим сначала, что при х = 0 функция не
определена. В таких случаях интересно
посмотреть, как ведет себя функция около этой
точки.
X0; Y10.
| Х | 1 | 2 | 3 | -1 | 1/10 | 1/100 | 1/1000 |
| Y | 1 | 1/2 | 1/3 | -1 | 10 | 100 | 1000 |
Когда Х, уменьшаясь по абсолютной величине, подходит к нулю, то Y становится по абсолютной величине как угодно большим. При этом, если Х приближается к нулю справа, то Y тоже положителен. Поэтому при приближении к нулю справа кривая графика поднимается вверх. Если же Х приближается к нулю слева, то Y отрицателен, поэтому график спускается вниз.
Теперь ясно, что около запрещенного значения Х = 0 график, разорвавшись на две ветви, расходится вдоль оси ОY: правая ветвь идет вверх, а левая вниз.
Рассмотрим правую ветвь, т.е. при Х > 0, значения функции Y тоже положительны. Значит, правая ветвь расположена выше оси абсцисс.
Для Х < 0 значения Y отрицательные. Обе ветви
графика приближаются к оси абсцисс: правая
сверху, левая снизу. Кривая, являющаяся графиком ,
называется гиперболой. Прямые, к которым
приближаются ветви гиперболы, называются
асимптотами (смотри приложение 1).
2. Графики функций вида 
получаются из графика
сдвигом по оси ОХ и растяжением по оси ОY. Чтобы правильно определить величину сдвига и коэффициент растяжения, нужно числитель и знаменатель дроби поделить на С – коэффициент при Х.
Например:
.
(смотри приложение 2).
Теперь видно, что это график гиперболы 1/X, сдвинутой по оси ОХ на 2/3 и сжатой по оси ОY второе.
3. Графики вида 
называются дробно-линейными и не
отличаются по форме от графика 
.
Рассмотрим пример: 
Выделим целую часть дроби, разделив числитель
на знаменатель, получим:
. Видно, что график этой функции
(смотри приложение 3) получается из графика 
сдвигом на 3
единицы вправо и расположением в 7 раз вдоль оси
ОY и сдвигом на 2 единицы вверх.
4. Для построения графика какой-нибудь дробно-линейной функции (смотри приложение 4) не обязательно преобразовывать дробь, задающую эту функцию. Зная, что графиком является гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются и ветви, т.е. асимптоты и несколько точек.
Например: 
.
Стало быть вертикальной асимптотой служит прямая х = -1. Для того, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функции, когда аргумент возрастает по абсолютной величине для х > 0.
асимптота.
Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат
х = 0; Y=5/2; у = 0; 3х + 5 = 0, X=-5/3.
Отметим точки (-5/3;0) и (0;5/2).
- Сколько решений имеет уравнение
Решение: построим на одном чертеже графики функций:
.
Гипербола во II и IV четвертях сдвинута по ОХ на 1, смещена вниз на 1. (смотри приложение 5). у = х2 +4х + 2 – парабола.
(-2; -2) – вершина параболы.
Ответ: абсциссы точек пересечения графиков
являются решениями уравнения. Их три: 
.
Дано: построить графики.
.
Дополнительное задание на сообразительность.
Решить неравенство: 
, используя "Задачу о честном купце”.
Один честный купец знал, что весы, на которых он взвешивает товар, неточны, потому что одно коромысло немного длиннее другого. Что делать? Обвешивать покупателей грех, но и себя обижать не хочется. Купец решил, что половину товара каждому покупателю он будет взвешивать на одной чашке, а вторую – на другой чашке.
Что при этом получается: оказался ли он в выигрыше или в проигрыше?
Список основной литературы:
- Виленкин Н.Л. Функции в природе и технике М.. Просвещение, 1969 г.;
- Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г. и др. Функции и графики. М., Наука, 1973 г.;
- Зельдович Я.В., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М., Физматиз, 1965 г.;
- Сикорский К.П., Математика факультативный курс. М., Просвещение, 1969 г.