Задачи урока:
- обучающие:
- повторить и обобщить пройденный материал по теме “Линейная функция”;
- объединить знания по алгебре и истории математики в общем контексте.
- воспитывающие:
- воспитать критическое отношение к своим знаниям, умение проверять и оценивать свою работу и своих товарищей;
- учить сравнивать и делать соответствующие выводы;
- развивающие:
- развить интерес к предмету; расширить кругозор учащихся и показать им взаимосвязь между предметами;
- развивать чувства взаимопомощи и товарищества.
Оборудование: портрет французского математика Р.Декарта; кодоскоп с плёнками; карта-схема пути следования; карточка с индивидуальными заданиями; фронтальная работа на доске.
ХОД УРОКА.
I. Подготовка учащихся к началу работы и вступительное слово учителя.
Сегодня мы повторяем материал по теме “Линейная функция”. Каждому ученику необходимо выполнить серьёзные задания. Предлагаю создать дружную команду из числа учащихся класса и согласно нашему курсу совершить совместное плавание. Сначала нам предстоит преодолеть залив “Трудный вопрос”, затем через “Исторический залив”, пришвартовавшись у островов “Удача” и “Успех” ответим на вопросы и выйдем через море-океан к мысу “Надежда”. Мне бы очень хотелось, чтобы вся команда работала быстро, дружно и чётко, чтобы вовремя придти к намеченной цели, достигнув отличных результатов. Успехов Вам ! (Схема пути изображена на рисунке 1).
Рис. 1
Актуализация имеющихся знаний.
1. Пролив “Трудный вопрос”.
1. Что называется функцией?
2. Где изображён график функции? Почему? (Рисунок 2).
Рис. 2
3. Как иначе называется независимая переменная?
4. Как иначе называется зависимая переменная?
5. Что называется областью определения функции? Найдите область определения следующих функций:
Y = 6/(х – 7)(х + 2);
Y = 5х + 8/9;
Y = 3/х + 4.
6. Что называется множеством значений функции?
7. Что называется графиком функции функции?
8. Какая функция называется линейной?
9. Что является графиком линейной функции?
10. Какая функция называется прямой пропорциональностью?
11. Что является графиком прямой пропорциональности?
12. Где расположен график прямой пропорциональности, если: а) k > 0, б) k < 0?
13. Когда графики линейных функций: а) пересекаются; б) параллельны?
14. Какие способы задания функции вы знаете?
В это же время капитан и штурман корабля работают по карточкам с последующей взаимопроверкой. Примером такой карточки может служить следующая.
Карточка для капитана и штурмана:
1. Дана функция: Y = 5х + 16
а) Чему равно значение y при х = –2,5?
б) При каком значении х значение y = –3?
в) Найдите координаты точек пересечения с осями координат?
г) Проходит ли график функции через точку А (–5; 3)?
2. Найдите значение b, если известно, что график функции Y = –3х + b проходит через точку С (12; – 32).
2. Исторический залив.
Заслушиваются сообщения учащихся:
1). Рене Декарт (1596–1650)
Рене Декарт родился 21 марта 1596 года в маленьком
городке Ла-Гэ в Турени. Род Декартов принадлежал
к незнатному чиновному дворянству. Детство Рене
провел в Турени, славившейся садами, плодородием
и мягкостью климата. В 1612 году Декарт закончил
школу. Он провел в ней восемь с половиной лет.
Весной 1613 года Рене отправился в Париж, где
познакомился с ученым францисканским монахом
Мерсенном, автором весьма двусмысленного
комментария к книге Бытия, при чтении которого
благочестивые люди покачивали головами, и
математиком Мидоржем. Он попал в компанию
“золотой молодежи”, вел рассеянную жизнь и
увлекся карточной игрой. Светские приятели
Декарта, однако, жестоко ошибались, если считали
его одним из них. После полутора лет рассеянной
жизни в юноше вдруг произошел перелом. Тайком от
своих друзей и парижских родных он перебрался в
уединенный домик в Сен-Жерменском предместье,
заперся здесь со своими слугами и погрузился в
изучение математики – главным образом,
геометрии и анализа древних. В этом добровольном
заточении Декарт провел около двух лет.
В дневнике Декарта есть заметка: “10 ноября 1619
года я начал понимать основания чудесного
открытия”. Не подлежит сомнению, что чудесным
открытием, о котором говорит здесь Декарт, было
открытие основ аналитической геометрии.
Сущность аналитической геометрии состоит в
приложении алгебры к геометрии и обратно –
геометрии к алгебре. Всякая кривая может быть
выражена уравнением между двумя переменными
величинами, и обратно – всякое уравнение с двумя
переменными может быть выражено кривой. Это
открытие имело громадное значение не только для
математики, в истории которой оно составило
эпоху, но и для естественных наук, и вообще, для
все расширяющегося круга знаний, имеющих дело с
точными величинами – числом, мерой и весом.
Декарт продолжает работать над начатым в Париже
трактатом “О Божестве”, но, работа у него не
идет. Он забрасывает ее и переходит к
естественнонаучным занятиям. Любопытный
феномен, наблюдавшийся в Риме в 1629 году и
состоявший в появлении вокруг Солнца пяти ложных
солнц (паргелиев), – о чем сообщил Декарту
Мерсенн, – опять оживляет в нем интерес к оптике
и направляет на изучение радуги, так как ученый
совершенно правильно ищет причину паргелиев в
явлениях преломления и отражения света. От
оптики он переходит к астрономии и медицине –
точнее, к анатомии. Высшая цель философии
состоит, по его мнению, в принесении пользы
человечеству; он дорожит в этом отношении
особенно медициной и химией и ожидает блестящих
результатов от приложения к этим наукам
математического метода. Анатомию Декарт изучает
не по атласам и книгам, а сам анатомирует
животных.
В середине 1633 года Декарт известил Мерсенна, что
у него готов трактат “О мире”, и что он отложил
его в сторону на несколько месяцев, чтобы тогда
окончательно пересмотреть и исправить. Осенью
Декарт приступил к пересмотру и счел нужным
предварительно ознакомиться с “Диалогами о
системах мира” Галилея. Он обратился к друзьям в
Лейден и Амстердам с просьбой прислать ему эту
книгу и, к крайнему своему изумлению, получил в
ответ известие, что в июне того же года
“Диалоги” были сожжены инквизицией, и
престарелый их автор, несмотря на заступничество
влиятельных лиц, осужден был сначала на
заключение в инквизиционной тюрьме, а затем
подвергнут аресту в деревенском доме, где ему
предписано в течение трех лет читать раз в неделю
покаянные псалмы.
В июне 1637 года Декарт выпустил книгу, выделив из
“Мира” безобидные отделы: “О свете” (диоптрика)
и “О метеорах”, написав заново “Геометрию”, и
предпослав им название “Рассуждение о методе”.
Это было если не начало новой эры, то, во всяком
случае, крупное событие в истории человеческой
мысли.
Геометрию Декарт намеренно писал запутанно,
“чтобы лишить завистников возможности сказать,
что все это они давно знали”. Для этого он
выпустил при труднейших задачах анализ, оставив
только построение.
Несравненно популярнее написаны были Диоптрика
и Метеоры. Сам Декарт был очень доволен своими
Опытами. Он говорил, что не думает, чтобы
когда-либо ему пришлось выпустить или изменить в
них хотя бы три строки.
В современной науке наряду с индуктивным методом
широко применяется и метод дедукции. Суть его
состоит в том, что из небольшого числа общих
принципов выводятся различные частные
следствия. В этой книге Декарт впервые
обстоятельно обосновал его применительно к
естествознанию. Декарт не отрицал и индукции; он
прекрасно понимал огромное значение опыта как
средства познания и критерия истины: “Я буду
отныне продвигаться в познании природы быстрее
или медленнее, в зависимости от того, насколько я
буду в состоянии производить опыты. Опыт дает мне
необходимый материал для исходных посылок, он же
дает проверку правильности выведенных
заключений”.
Только в 1644 году Декарт издал более обширное
сочинение под названием “Начала философии”. В
него, наконец, вошли сочинения Декарта о мире
(космосе), которые он намеревался издать еще в 1633
году.
В феврале 1650 год Декарт заболевает, и на девятый
день болезни 11 февраля умирает.
2). “Начала философии” – сочинение Декарта о мире (космосе).
В этом сочинении он изложил грандиозную
программу создания теории природы,
руководствуясь своим методологически правилом
брать за основу наиболее простые ясные
положения. Еще в “Рассуждении о методе” Декарт
подверг анализу всевозможные исходные
положения, сомневаясь в справедливости любого из
них, в том числе и в положении “Я существую”.
Однако в акте мышления сомнение невозможно, ибо
наше сомнение уже есть мысль. Отсюда знаменитое
положение Декарта: “Я мыслю – следовательно,
существую”. Чтобы обезопасить свое учение от
нападок церковников, Декарт говорит о
существовании бога и внешнего мира, созданного
богом.
Материя Декарта – это чистая протяженность,
материальное пространство, заполняющее всю
безмерную длину, ширину и глубину Вселенной.
Части материи находятся в непрерывном движении,
взаимодействуя друг с другом при контакте.
Взаимодействие материальных частиц подчиняется
основным законам или правилам.
“Первое правило состоит в том, что каждая
часть материи по отдельности всегда продолжает
оставаться в одном и том же состоянии до тех пор,
пока встреча с другими частицами не вызовет
изменения этого состояния”.
“Второе правило, предполагаемое мною,
заключается в следующем: когда одно тело
сталкивается с другим, оно может сообщить ему
лишь столько движения, сколько само одновременно
потеряет, и отнять у него лишь столько, насколько
оно увеличит свое собственное движение”.
“В виде третьего правила я прибавлю, что хотя
при движении тела его путь чаще всего
представляется в виде кривой линии и что
невозможно произвести... ни одного движения,
которое не было в каком-либо виде круговым, тем не
менее, каждая из частиц тела по отдельности
стремится продолжать тело по прямой линии”.
В этих “правилах” обычно усматривают
формулировку закона инерции и закона сохранения
количества движения. В отличие от Галилея Декарт
отвлекается от действия тяготения, которое он,
между прочим, также сводит к движению и
взаимодействию частиц, и упоминает о направлении
инерционного движения по прямой. Однако его
формулировка еще отличается от ньютоновской, он
говорит не о состоянии равномерного и
прямолинейного движения, а вообще о состоянии, не
разъясняя подробно содержания этого термина.
Из всего содержания “Начал” видно, что
состояние частей материи характеризуется их
величиной (“количество материи”), формой,
скоростью движения и способностью изменять эту
скорость под воздействием внешних частиц. Можно
отождествить эту способность с инерцией, и тогда
в одном из писем Декарта мы встречаем очень
интересное утверждение: “Можно утверждать с
достоверностью, что камень неодинаково
расположен к принятию нового движения или к
увеличению скорости, когда он движется очень
скоро и когда он движется очень медленно”.
Другими словами, Декарт утверждает, что инерция
тела зависит от его скорости. В письмах Декарта
встречается формулировка закона инерции, уже
почти текстуально совпадающая с ньютоновской:
“Полагаю, что природа движения такова, что, если
тело пришло в движение, уже этого достаточно,
чтобы оно его продолжало с той же скоростью и в
направлении той же прямой линии, пока оно не
будет остановлено или отклонено какой-либо
другой причиной”.
Этот принцип сохранения скорости по величине и
направлению тем более интересен у Декарта, что,
по его представлению, в мире пустоты нет, и всякое
движение является циклическим: одна часть
материи занимает место другой, эта – предыдущей
и т. д. В результате вся Вселенная пронизана
вихревыми движениями материи. Движение во
Вселенной вечно, так же как и сама материя, и все
явления в мире сводятся к движениям частиц
материи. Вначале эти движения были хаотическими
и беспорядочными, в результате этих движений
частицы дробились и сортировались.
В физике Декарта нет места силам, тем более силам,
действующим на расстоянии через пустоту. Все
явления мира сводятся к движениям и
взаимодействию соприкасающихся частиц. Такое
физическое воззрение получило в истории науки
название картезианского, от латинского
произношения имени Декарта – Картезий.
Картезианское воззрение сыграло огромную роль в
эволюции физики и, хотя и в сильноизмененной
форме, сохранилось до нашего времени.
3). О создании прямоугольной системы координат. Полярная система координат. Вклад Декарта в развитие математики.
Более чем за 100 лет до нашей эры греческий
учёный Гиппарх предложил провести на карте Земли
параллели и меридианы. Таким образом, возникли
хорошо всем известные Географические
координаты: широта и долгота, которые
обозначаются цифрами. В 14 веке французский
учёный Оресле по аналогии с географическими
координатами создал координатную плоскость. Он
поместил на плоскость прямоугольную сетку и
назвал широтой и долготой то, что сейчас мы
называем абциссой и ординатой. Термины абцисса и
ордината были введены в употребление Лейбницем в
17 веке. Однако основная роль в создании метода
координат принадлежит французскому учёному Рене
Декарту. Трудно переоценить значение декартовой
системы координат для развития математики и её
приложений.
Наряду с декартовой системой координат
существуют и другие. Например, полярная система
координат. Чтобы построить эту систему,
необходимо отметить на плоскости некоторую
точку О – полюс (отсюда и название – полярная
система). Чтобы определить координаты точки,
нужно соединить её с точкой О, определить длину
отрезка и величину угла между между этим
отрезком и полярной осью. Направление полярной
оси можно выбрать произвольно. Так, географы за
направление полярной оси выбирают направление
на Север, а полярный угол называют азимутом.
Артиллеристы же отсчитывают азимут от
направления на Юг.
Главная заслуга Декарта заключается в том, что он
создал аналитическую геометрию, в которой
геометрические задачи переводятся на
алгебраический язык методом координат. Кроме
того, Декарт предложил неизвестные обозначать
латинскими буквами x,y,z; коэффициенты – буквами
a,b,c; степени – в виде x2, y3, a7 и
т.д.
Декарту принадлежит теорема алгебры,
формулировка которой имеет вид: “Число корней
любого алгебраического уравнения равно его
степени”. Эта теорема доказана была лишь в 18 веке
математиком Гапсом. Однако интерес Декарта не
ограничивался одной математикой, он также
занимался механикой, оптикой, анатомией,
биологией.
2.3 Острова “Успех” и “Удача”.
Учитель: Спасибо за интересные сообщения.
Мы благополучно миновали “Исторический залив и
теперь можем спокойно двигаться к островам
“Успех” и “Удача”, где нас ждут новые
испытания.
Учащиеся получают карточки с индивидуальными
заданиями, выполняют написанные на них задания и
сдают их для проверки капитану и штурману.
Задания одной из карточек представлены ниже.
Карточка: острова “Удача” и “Успех”.
1. На рисунке построены три графика. Задайте каждую функцию соответствующей формулой по рисунку 3.
Рис. 3
Рис. 4
2. На рисунке 4 изображены графики функций:
а). Y= –1/3 х + 1;
б). Y= 1/3 х + 1;
в). Y= –1/3 х;
г).Y= –1/3 х – 1.
Какому графику какая функция соответствует?
3. В открытом море находятся корабли, движение которых задаётся следующими функциями:
1). Y = 6x – 5/3;
2). Y = 7 + x;
3). Y = 10 – 8x/10;
4). Y = 7x + 4/7;
5). Y = 7 – 0,8x;
6). Y = 2x + 0,25.
Укажите какие корабли движутся параллельным курсом?
2.4 Море – океан.
Учитель: Наш корабль оказался в открытом
море и нужно использовать это время с пользой.
Давайте выполним задания, в которых можно
увидеть взаимосвязь между различными областями
знаний, например, между физикой и математикой.
Для этого выполним следующее задание.
На рисунке 5 изображён график движения пешехода и
пункта А в пункт В и график движения пешехода из
пункта В в пункт А. Ответьте на вопросы по этим
графикам:
Рис. 5
1. На каком расстоянии от пункта А находится
пункт В?
2. На каком расстоянии от пункта А были
велосипедист и пешеход через 0,5 часа и через один
час после начала движения?
3. Через какое время после начала движения
велосипедист встретил пешехода и сколько
километров к этому времени проехал велосипедист?
4. Кто раньше прибыл в конечный пункт:
велосипедист или пешеход – и на сколько времени
это произошло?
5. Каковы скорость движения велосипедиста и
пешехода?
Учащиеся работают парами и при этом за работу выставляются две оценки (самооценка и оценка товарища).
2.5 Мыс “Надежды”.
Учитель: Наш корабль подошёл к мысу “Надежда”. Пока капитан и штурман оценивают работу членов экипажа по индивидуальным карточкам всем предлагается выполнить фронтальную работу по заданиям на классной доске не производя измерений и вычислений, определите уравнение каждой прямой по его изображению (смотрите рисунок 6):
Рис. 6
1) Y = 0,7x – 2;
2) Y = –1,5x – 5;
3) Y = 3 – 0,8x;
4) Y = 2x + 2;
5) Y = 2x;
6) Y = –0,5x.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| a | р | к | с | в | n |
III. Подведение итогов урока и получение домашнего задания.
IV. Домашнее задание по карточкам.
1. Дана функция Y = –4x – 18
а). Чему равно значение y при x = 2,5?
б). При каком значении x значение y = 2?
в). Найдите точки пересечения графика функции с осями координат.
г). Проходит ли график функции через точку К (2;–20)?
2. Постройте график функции Y = –2x + 6. Укажите с помощью графика, при каком значении x значение функции равно –2?
3. В одной и той же системе координат постройте графики функций: Y = 2x;Y = 4.
4. Найдите значения k, если известно, что график функции Y = kx + 15 проходит через точку C(8;11).
5. Запишите уравнение прямой, параллельной графику функции Y = 12x – 3 и проходящей через начало координат.