Общепризнано, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе учения математики, является одним из основных средств их математического развития.
Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений математических задач, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. И всё же главная цель задач - развить творческое и математическое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к “открытию” математических фактов.
Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно. Необходимы задачи, направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Необходимы специальные упражнения для обучения школьников способам самостоятельной деятельности, для овладения ими методами научного познания реальной действительности и приемами умственной деятельности, которыми пользуются ученые-математики, решая ту или иную задачу.
В данной статье речь идет о функциональных уравнениях, о методах их решения. Функциональным уравнением называется соотношение, выражающее определённое свойство, которым обладает некоторый класс функций (некоторая функция).
Простейшими примерами функциональных уравнений могут служить : f(x) =f(- x) – уравнение чётности, f(x+Т) = f(x) – уравнение периодичности и др.
Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если она удовлетворяет ему при всех значениях аргумента в области её определения.
Например, функции f(x) = ax2,f(x)=sin2x, где a
R, являются
частными решениями приведённых соответственно
выше уравнений, в чём убедимся подстановкой ах2=
а (-х)2.
Решить функциональное уравнение – значит установить, имеет ли оно решения, и найти их, если они имеются.
Приведем примеры решения функциональных уравнений методом подстановки. Этот метод заключается в том, что, применяя вместо х (или у) различные подстановки и комбинируя полученные уравнения с исходным, получаем (обычно путём исключения) алгебраическое уравнение относительно искомой функции.
Пример 1.
1) Пусть
2) Подставим в исходное уравнение, получим
3)Заменим z на 
получим 
или
после преобразований в правой части уравнения: 
4)Итак, получили два уравнения:
5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим:
Пример 2. 
2
1)Заменим в уравнении 
на 
,
получим 
2 .
2) Умножим обе части исходного уравнения 2 на (-2) и
сложим с уравнением 2 ,
получим:
.
Пример 3. 
- Пусть
тогда
уравнение принимает вид:
. - Заменим в уравнении
на 
,
получим 
. - Умножим уравнение
на (-2) и сложим с уравнением , получим 
Таким образом, 
Пример 4. 
1) Заменим в уравнение 
на 
,
.
2)Умножим уравнение на 
и
вычтем из уравнения ,получим -
, где 
Пример 5. 
, 
1)Заменим в уравнении 
на 
получим 
.
2)Выразим из исходного уравнения 
, получим
или 
.
3)Подставим 
в
уравнение 
,
получим 
.
Выполним преобразования
Пример 6. 
.
- Заменим на
, получим 
- Умножим обе части уравнения
на и вычтем из
уравнения 
получим
Пример 7. 
1)Пусть 
, тогда
уравнение принимает вид:
2)Пусть 
тогда
исходноеуравнение принимает вид:
3)Умножим обе части уравнения из п.1 на 2, а обе части уравнения из п.2 на (-3) и почленно сложим получившиеся уравнения:
Пример 8. 
1) Заменим на , получим 
или 
.
2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением:
получаем :
Литература
- Кострикина Н.П. “Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов” - М: “Просвещение”, 1991г.
- Смышляев В.К.. Практикум по решению задач школьной математики. – М: “Просвещение”, 1978г.