Интегрированный урок: "Вся жизнь по функциям"

Разделы: Математика

---

Третий ученик. Посредством степенной функции f(x) = Ax описывается зависимость интенсивности основного обмена от веса животного. Здесь х – вес животного; f(x) – количество кислорода, поглощаемого животным в единицу времени; А и – параметры, постоянные для данного класса живых существ. Для млекопитающих и птиц, например, = 0,74, А = 70, для рыб = 0,8, А = 0,3.

Четвертый ученик. Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике. Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости. Например, скорость воды в реке на разных глубинах разная: у дна и у поверхности наименьшая, где-то внутри потока она наибольшая. По данным некоторых исследователей можно считать, что если от оси OY отложить горизонтальные отрезки, равные по длине скорости воды на соответствующей глубине, то получится парабола с горизонтальной осью, вершина которой находится на 1/3 глубины потока. (Рисунок 14)

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16 Рис. 17 Рис. 18

Пятый ученик. Представим себе, что очень узкая зеркальная полоска изогнута в форме дуги параболы. (Рисунок 15) Если мы параллельно оси параболы направим пучок лучей, то они, отразившись от зеркала, соберутся в некоторой точке F, расположенной на оси и называемой фокусом параболы (фокус переводе на русский язык означает очаг). И обратно, если мы поместим источник света (лампочку, вольтову дугу и т.п.) в фокусе параболы, то всякий его луч, отраженный от зеркала, направится параллельно оси параболы.
Вращая параболу вокруг её оси, мы получим поверхность, называемую параболоидом вращения. Параболические зеркала и другие аналогичные им приспособления, использующие описанное свойство параболы, изготовляются в форме параболоида.

Вот несколько примеров:

а) отражательный телескоп – рефлектор;
б) прожектор (Рисунок 16) или фара автомобиля;
в) рефлектор солнечной электростанции;
г) медицинский рефлектор;
д) увеличительное туалетное (или медицинское) зеркало.

Если требуется для решения той или иной практической задачи направить параллельный пучок радиоволн или принять их, то употребляют металлические антенны, основанные на том же принципе, что и параболические зеркала. Это сходство неслучайно, ибо свет и радиоволны имеют одинаковую физическую природу. Подобные антенны находят широкое применение в таких областях науки и техники, как радиолокация и радиоастрономия. (Рисунок 17) Радиолокация позволяет определить местонахождение самолета или корабля на значительном расстоянии (что особенно важно в военном деле), обнаруживать в море при любой видимости опасные для плавания айсберги и т.п. Радиоастрономия является молодой наукой, которая изучает далекие миры, подвергая анализу радиоволны, идущие из глубин мирового пространства.

Шестой ученик. Если цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, привести во вращательное движение вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w, то вогнутая поверхность вращающейся жидкости примет форму параболоида. (Рисунок18)
Положение вершины параболы (имеется в виде осевое сечение) при данных размерах сосуда зависит только от его угловой скорости. Этим обстоятельством воспользовался Браун, сконструировав оригинальный прибор, позволяющий измерять скорость вращения вала.

IV. Представление тригонометрической функции.

Первый ученик. Еще в четвертом веке у индийцев, в астрономических трудах,
Встречалось синуса понятье пока в одной – не разных четвертях.
Они назвали “дживой” хорду, что означает “тетива”, и эту хорду, после половинку, за синус принимали все сперва. Потом арабы слово исказили, назвали хорду они словом “джайб”,
А переводом “пазуха”, “карман” ей были иль “выпуклость” – то знал тогда и раб.
Затем названье на латинском дали и это был двенадцатый уж век, тогда–то джайб и “синусом” назвали, и слово взял в работу человек. Символику английский математик в семнадцатом столетье предложил. Фамилия – Норвурд, он много лет потратил и много сил в тот важный труд вложил!
Был синус с треугольниками связан, предложено обозначенье: S. Но больше Эйлеру научный мир обязан: он ввел символику, какая есть сейчас. Французский математик Жиль Пирсон впервые синусоиду построил. С циклоидой тогда возился он, а заодно и графиком всех удостоил.
Затем явился сам Декарт, а с ним и “Геометрия” – его известный всем трактат –
И взлет тригонометрии!

Второй ученик. Джон Валлис график вскоре начертил и сделал полных два при этом оборота, в труде “Механика” он твердо заявил, что бесконечно надо повторить работу. “Вот так, в различных странах и веках, понятье синуса с трудом рождалось. И, умолчать не можем мы никак,
Какое знанье нам в наследие досталось. График функции – вот такая кривая! (Рисунок 19)

Рис. 19

Посмотрите, красивая какая! “Синусоидой” она называется. И с нуля в свой поход отправляется. Значения функции не всякие бывают, И “ограниченным” все синус называют. (| sinx | < 1) Есть максимальное значенье – единица. И много раз к ней “синус икс” стремится! Аналогично, минимумы есть и тоже их у функции не счесть!

Третий ученик. Различные колебания окружают нас на каждом шагу. Механические колебания применяются для скорейшей укладки бетона специальными виброукладчиками, для просеивания материалов на виброситах и даже для почти безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. Электромагнитные колебания доносят до нас вести о сложных процессах, происходящих внутри звезд, о взрывах в отдаленных галактиках, о таких диковинных вещах, как пульсары (нейтронные звезды), черные дыры и т. д. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры.

Четвертый ученик. Колебания сопровождают и биологические процессы, например, слух, зрение, восприятие ультрафиолета, (используемые многими биологическими видами), передачу возбуждения по нервной ткани, работу сердца и мозга. Записывая работу сердца или мозга, врачи получают электрокардиограммы и энцефалограммы. Как говорил создатель учения о биосфере академик Вернадский: “Кругом нас, в нас самих, всюду и везде, без перерыва, вечно сменяясь, совпадая и сталкиваясь, идут излучения разной длины – от волн, длина которых измеряется десятимиллионными долями миллиметра, до длинных, измеряемых километрами”.

Пятый ученик. Но колебания не всегда полезны. Вибрация станка действует на резец и обрабатываемую деталь и может привести к браку; вибрация жидкости в топливных баках ракеты угрожает их целостности, а вибрация самолетных крыльев при неблагоприятных условиях может привести к катастрофе. Даже хорошо затянутая гайка под влиянием вибрации ослабевает и станок разбалтывается. А самое страшное – под действием вибрации меняется внутренняя структура металлов, что приводит к так называемой “усталости” и последующему неожиданному разрушению конструкции. Колебаниями объясняются случай падения моста, по которому шло в ногу воинское подразделение, а также разрушение мостов во время ураганов, катастрофы в кузнечных цехах, где несколько механических молотов начинали работать в такт. Таким образом, отметим, что колебания, контролируемые человеком, весьма полезны. Однако они могут превратиться в опасного врага. Поэтому надо уметь изучать колебания, знать их свойства. А здесь без математических расчетов не обойтись.

Шестой ученик. Почему летом теплее, чем зимой? Иногда в ответ на этот вопрос слышишь: потому что Земля, двигаясь по своей орбите, зимой находится от Солнца дальше, чем летом. Но это совершенно неверно! Ведь орбита Земли – это почти круг, в центре которого находится Солнце. Расстояние нашей планеты от светила меняется слишком незначительно от месяца к месяцу, чтобы это было причиной смены времен года. Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты.

Рис. 20

Взгляните на рисунок (Рисунок 20): зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего подъема над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара. Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности. Больше всего ее приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок. Именно эту зависимость применяет (быть может, не думая об этом) курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана.

Рис. 21

Определим: какая доля солнечной энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости при отвесном падении лучей, приходится на него при наклонном падении лучей под тем или иным углом? Проследив эволюцию жирно очерченного прямоугольного треугольника на приведенных чертежах (Рисунок 21). Гипотенуза, на которую падают солнечные лучи,– всюду одна и та же. Катет, через который входят падающие на нее лучи,– меняется по длине, уменьшаясь вместе с углом, который образуют с гипотенузой падающие на нее лучи. Очевидно, интересующая нас доля солнечной энергии равна отношению указанного катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с заданным углом нужно взять отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и укажет интересующую нас долю солнечной энергии. Число, определенное таким образом и поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось, называется синусом этого угла. (Рисунок 22). Это есть синусоида. Если что-то и кажется здесь непривычным, так это неестественно малая протяженность кривой. Обычно ее рисуют безгранично разбегающейся вдоль оси абсцисс, волна за волной.

Рис. 22

Имени треугольника – “тригонон” – произошло собирательное название “тригонометрические функции”. К ним, кроме синуса, косинуса и тангенса, относятся еще косеканс, секанс и котангенс, соответственно получаемые из перечисленных по правилу обратной пропорциональности.

V. Представление показательной функции.

Первый ученик. Слушайте, слушайте, слушайте внимательно! И тогда признаете обязательно: самая важная – функция показательная! На рисунке представлены графики этой функции (Рисунок 23. Рисунок 24). Историю представим мы немного, события расставив по порядку: вы знаете, еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер 17000 составляет. Мы объяснили факт немножко, священна почему в Египте кошка.

Второй ученик. О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя
Изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску ту зерна. Причем за клетку первую – зерно, а за вторую – два просил изобретатель, за третью – снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали – прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать.

Третий ученик. Все знают, что такое ростовщик. Тот человек проценты брать привык.
Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую часть “лихвы” взимали в среднем!
Пятнадцатый век – рожденье банков, дающих деньги людям под процент, тогда и встал вопрос довольно ярко о дробном показателе, сомненья нет. Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке, затем Исаак Ньютон. И в завершении Бернулли Иоганном был термин “показательной” введен. На множестве всех чисел он ее нам ввел, как открыватель функции в историю вошел.
Итак, показательная функция не случайно родилась, в жизнь органически влилась и движением прогресса занялась.

Четвертый ученик. Показательная функция, подобно линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид: y = y₀a^x.

1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 10¹⁵ или приблизительно 2000 растений на 1 м² суши.

3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 10¹⁴. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.

Пятый ученик. 4. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови, донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N = N₀e^kt. По этому же закону изменяется количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.

5. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем (согласно формуле Т = Т₀ + (100 – Т₀)е^-kt. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи при падении тел в воздухе с парашютом. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.

6. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М₀ e^-kt , где: М₀ – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент. Пользуясь этой формулой, ученые смогли подсчитать возраст Земли, то есть время, в течение которого радий смог распадаться нормально.

Шестой ученик. 7. Вы все слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-х годах описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом развили ученые-атомщики. Как управлять этим процессов в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции. 8. Давление атмосферы, выраженное в миллиметрах ртутного столба, меняется по закону: , где h – высота точки над уровнем моря (в м). Эту формулу используют геодезисты для барометрического инвелирования, то есть для определения разности высот над уровнем моря двух точек на земной поверхности.

9. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света I определяется по формуле:

I = I₀e^-ks, где: s – толщина слоя, k – некоторый коэффициент, характеризующий мутную среду.

Подобный же закон будет характеризовать процесс поглощения газа соответствующей средой, изменение скорости ветра и т.п.

10. Закон охлаждения. Пусть Т₁ – температура тела, Т₀ – температура окружающей среды, где Т₁>Т₀ , Тогда температура тела Т будет меняться по закону: Т = Т₀ + (Т₁ – Т₀)е^-kt, где k – некоторый коэффициент, зависящий от природы охлаждающего тела.

Пример, на рис изображен график, показывающий процесс остывания расплавленного парафина. Если коэффициент будет не известен, то необходимо опытным путем узнать температуру Т₂ в какой-нибудь момент времени t₂. Тогда:

Т₂ = Т₀ + (Т₁ – Т₀)е^-kt, Откуда найдем: Следовательно:

Седьмой ученик. Многообразные применения показательной (или её ещё называют, экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила на написание “Оды экспоненте”, отрывок из которой гласит:
“…Ею порождено многое из того, что “достойно упоминания”,
Как говорили наши англосаксонские предки. Могущество её порождений
Заранее обусловлено её собственной красотой и силой, Ибо они суть физическое воплощение
Абстрактной идеи е. Английские моряки любят и знают её
Под именем “Гунтер”. Две шкалы Гунтера – вот чудо изобретательности.
Экспонентой порождена логарифмическая линейка: у инженера и астронома не было
Инструмента полезнее, чем она. Даже изящные искусства питаются ею.
Разве музыкальная гамма не есть набор неперовых логарифмов? И таким образом нечто абстрактно красивое стало предком одного из величайших человеческих достижений”

VI. Итог урока.

Подводится итог, чья команда лучше представила свою функцию.

Приложение.

Список литературы:

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – 9-е изд. – М.: Просвещение, 2001. – 384 с.
2. Баврин И.И. Высшая математика: Учеб. Для студентов хим.-биол. спец. пед. вузов. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1993. – 319с.
3. Безопасность жизнедеятельности. Производственная безопасность и охрана труда./ П.П. Кукин, В.Л. Лапин, Н.Л.Пономарев и др.; Учеб.пособие для студентов средних спец. учеб. Заведений. – М.: Высш. шк., – 2001. – 431с.
4. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас. Чтения 9-10 кл. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение, 1985. – 192с.
5. Есипенко Г.Е. Математика в жизни. Новосибирское книжное издательство, 1960. С.100
6. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Учись применять математику. Выпуск 1. М.: “Знание”, 1977., с.144
7. Уалянская Н. О, функция, как ты важна// Математика. – 1999. – № 45. – С.11.