Урок алгебры в профильном классе. 10-й класс. Тема: "Свойства функций. Четные и нечетные функции. Преобразование графиков"

Разделы: Математика

Класс: 10

Тема: Свойства функций. Чётные и нечётные функции. Преобразование графиков.

Цель:

  • обобщить виды преобразований графиков; проверить уровень усвоения материала;
  • рассмотреть определение чётных и нечётных функций;
  • учить определять чётность и нечётность по графикам и с помощью теорем.

Оборудование и материалы:

  1. Карточки с заданиями для работы в группах;
  2. Таблицы с видами преобразований для работы в группах;
  3. Настенные таблицы:
    А) виды преобразований;
    Б) графики чётных и нечётных функций
  4. Учебники.

    5. Ход урока.

I. Слово учителя

Сегодня мы с вами завершаем работу по преобразованию графиков. Эта тема нами глубоко изучена, и на этих двух уроках необходимо подвести итог. Сейчас мы проверим ваше домашнее задание, и в ходе работы по группам обобщим материал. Все учащиеся разбиты на группы по 4, 5 человек. Каждой группе даётся задание. Группы сформированы произвольно и задание учащиеся получают прямо на уроке, кроме одной группы. Ей необходимо было изучить построение графиков функций, выражение которых содержит знак модуля.

1группа. Этой группе выданы таблицы с видами преобразований. Учащиеся должны определить вид преобразования, описать его и задать формулами <Рисунок1>.

2 группа. В карточке находятся два задания, связанные с преобразованиями графиков:

  1. Дан график функции y=f(x) <Рисунок 2>. Построить график функции F, если

    2. А) F(x)=1/3f(3x)

    Б) F(x)=-f(-x)

    2. Найти Sgn (x2-x) Изобразить график.

3 группа.

  1. 1. Параллельный перенос переводит точку А(1;4) в точку В(2;6). Найти образ точки М(3;5) и прообраз точки Е(-7;4)
  2. Пусть j параллельный перенос, отображающий начало координат в точку А(4;-2), и g - симметрия относительно оси абсцисс. Запишите формулой преобразования j , g . Найти образ точки М(-1;5)
  3. Опишите геометрическое преобразование, задаваемое формулами:

4 группа. Эта группа дома самостоятельно изучала материал по построению графиков функций, выражение которых содержало знак модуля. Они в ходе работы должны были сжать изученный материал и представить небольшое сообщение (3-5 мин) о способах построения графиков функций и привести свои примеры.

а) y=f(| x| ) б) y=| f(x)| в)y=| f(| x| )| г) | y| =f(x)

Выступая, ребята из этой группы дают учащимся следующие рекомендации:

А) Строим график для f(x), x>0, а затем строим левую часть, симметричную правой, относительно оси oy

Б) y=| f(x)| f(x), f(x)? 0

Строим график функции y=f(x) . Затем то, что находится под осью ох отображаем симметрично относительно оси ох.

В) y=| f(| x| )| Строим график функции f(x), x >= 0, затем строим график y=f(-x), для x<0 (симметрично относительно оси oy), далее участки графиков , находящиеся в нижней полуплоскости отображаем на верхнюю.

Г) | y| = f(x) , f(x)>= 0

y= ± f(x) , f(x) >= 0

  • устанавливаем область определения из условия f(x)>= 0
  • построим график функции y=f(x) на области определения
  • построим кривые, симметричные построенному графику относительно оси ox

Для подготовки в группах даётся 5-7 мин. В это же время они могут готовить на доске рисунки, чертежи необходимые для ответа. После подготовки каждая группа грамотно излагает суть выполненного задания. Остальные принимают участие в обсуждении выполненного и вместе с учителем подводят итог.

II. По окончании работы в группах, проводится самостоятельная работа по вариантам.

1 вариант.

  1. Дан график функции y=f(x) <Рисунок 3>. Построить график функции F(x), если F(x)= 1/3 f(x)-1.
  2. Построить график функции 

2 вариант.

  1. Дан график функции y=f(x) <Рисунок 4>. Построить график функции F(x), если F(x)=Ѕf(2x+1)
  2. Построить график функции

3 вариант*.

  1. Опишите геометрическое преобразование, задаваемое формулами:

x'=2(x-4)+5 x'=3(x-2)+3

y'=2(y=3)-7 y'=3(y+1)-6

III. Усвоение новых понятий.

Учитель: Мы с вами в 9 классе изучили определение чётности и нечётности функций. Вспомним эти определения. Учащиеся сообщают случаи выполнения условий для того, чтобы функция была чётной:

А) если f(-x)=f(x)

Б) если график симметричен относительно оси ординат.

Равенство f(-x)=f(x) может выполняться для всех xI D(f), когда -х D(f), т.е. когда множество D(f) симметрично относительно начала координат 0. Пример y=x2 , -1 <= x >= 4. Эта функция не является чётной, так как отрезок [-1; 4 ] не симметричен относительно 0.

Нечётной а) f(-x)=f(x)

б) график симметричен относительно начала координат. D(f) также вида y=x2n – чётные, n (-N), y=x2n-1 , нечётные.

Имеются функции, которые не являются ни чётными, ни нечётными. Учащиеся должны привести пример самостоятельно. Ребята предлагают рассмотреть функцию y=x3+x2 . И доказывают. После разбора определений следует устная работа по таблице.

Задание 1. Определить чётность функции по изображённым графикам <Рисунок 5>.

Задание 2. Дан график функций, изображённый на промежутке [ 0;? ) <Рисунок 6>. Постройте график функции f , если известно:

  1. f- чётная функция

2) f- нечётная функция.

Задание 3. Для некоторой функции известно, что f(-2)=5, f(3)=2. Найти: f(2), f(-3), если

а) f- чётная

б) f- чётная

Задание 4. Определить чётная или нечётная функция,

Учитель: Чтобы ответить на вопрос рассмотрим следующие утверждения.

А) Сумма двух чётных функций чётна, а сумма двух нечётных функций, нечётна. Доказательство всех утверждений предлагается сильным учащимся продумать самостоятельно, а более слабым разобрать по учебнику 10 кл. Н.Я.Виленкина §3 стр.113.

Доказательство: Пусть даны 2 функции f(x) и g(x), так как f и g- чётные и х D(f) D(g), f(-x)=f(x); g(-x)=g(x), (f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(x)

Аналогично доказывается нечётность.

Б) Произведение двух чётных функций является чётной функцией, ровно как произведение двух нечётных. Произведение чётной и нечётной функций- нечётная функция. Доказательство (аналогично утверждению А)

В) Функция y=c – чётная. Тогда: af-чётная, если f- чётная;

Привести примеры. Желательно, чтобы учащиеся сделали это сами.

Г) Если f- чётная (нечётная), то и 1/f – чётная (нечётная). А теперь вернёмся к примеру .

Предложить учащимся рассмотреть самостоятельно, обсудить в парах и пояснить решение.

img15.jpg (5263 bytes)

x4+14 – чётная, так как сумма чётных функций.

- чётная, так как знаменатель чётный.

Вывод: Функция чётная, так как, представляет произведение чётных функций.

IV Закрепление.

Выполнить:

  1. Учебник для 10-11 кл. автор: А.Н.Колмогоров №69, 70(а, б)
  2. Учебник для 10 кл. автор Н.Я.Виленкин №237 (1, 3, 4)

V Итоги урока.

VI Задание на дом:

  1. №70 (а,б) по учебнику А.Н. Колмогорова
  2. №237 (6, 7) по учебнику Н..Я. Виленкина

Используемые учебники.

Основной: Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Автор А.Н. Колмогоров

Параллельный учебник

  1. Алгебра и математический анализ 10 кл. Автор Н..Я.Виленкин;
  2. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Автор М.И. Башмаков.