Основные особенности этого курса:
- Ведущая содержательно-методическая линия – решение уравнений и неравенств, что представляется разумным в связи с целью обучения в этом классе.
- Логарифмические, показательные, иррациональные уравнения и неравенства изучаются после изучения соответствующих функций, что позволяет рассмотреть их решение с использованием их свойств.
- Тригонометрия начинается с числовой окружности и по ходу ее изучения осуществляется пропедевтика темы "Тригонометрические уравнения". Так, сразу же после понятий "синус и косинус действительного числа" с помощью числовой окружности учащиеся решают уравнения:
- С решением тригонометрических уравнений учащиеся знакомятся после изучения тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций.
- Курс математического анализа (предусмотренный государственной программой) представляет собой цельный курс, а не разбитый на 2 года. Это позволяет показать учащимся идеи и методы одновременного анализа сразу же на большом количестве примеров.
- Повторение курса носит углубленный и систематизированный характер.
4sin x-2=0 (sin x-1) (2cos x-
) =0,
2 cos2x – cos x = 0 и т.д.
Курс рассчитан на 5 часов алгебры в неделю, т.е. 170 часов в 10 классе (см. Приложение 1) и 170 часов в 11классе (см. Приложение 2).
Программа курса.
1. Рациональные уравнения. (19 часов)
Эта глава направлена на систематизацию знаний, с которыми ученик пришел из основной школы. Учащиеся вспоминают, как решаются квадратные и дробно-рациональные уравнения, в чем заключается замена переменной. Однако учащиеся не только будут повторять пройденный материал, но и изучать много нового: исследование квадратных уравнений, квадратные уравнения с параметром.
От линейных и квадратных уравнений учащиеся переходят к алгебраическим уравнениям общего вида Рn(x)=0, где Рn(x) многочлен степени n. В связи с этим вводятся понятия степени многочлена. Решение уравнений опирается на теорему Безу: если х1 – корень уравнения Рп (х)=0, то многочлен Рп (х) делится нацело на (х-х1).Эта теорема демонстрируется на конкретных примерах. Рассматривается способ нахождения целых корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.
Среди уравнений, сводящихся к алгебраическим, рассматриваются возвратные, рациональные, однородные. Подробно разбираются методы решения уравнений с модулем, рациональные уравнения с параметром.
2. Системы рациональных уравнений. (11 часов)
Решение систем проводится как известными способами (подстановкой, сложением), так и делением уравнений, введением вспомогательных неизвестных. Рассматривается решение однородных, симметрических систем, систем с параметром.
3. Рациональные неравенства. (15 часов)
Повторяется решение квадратных неравенств: алгебраически, графически, методом интервалов. При решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов учащиеся знакомятся со случаями, когда не происходит чередования знаков на числовой прямой и когда происходит "выкалывание" некоторых значений из множества решений неравенства. Рассматриваются неравенства с модулями и параметром.
4. Действительные числа. (12 часов)
В этой главе рассматриваются и систематизируются знания учащихся о числах и действиях над ними. Напоминается учащимся, что каждое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Рассматриваются два способа обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: с помощью уравнения и с помощью бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
5. Степенная, показательная и логарифмическая функции (22 часа).
Рассматриваются основные свойства функций: область определения, множество значений, нули функции, интервалы знакопостоянства, четность и нечетность, периодичность, монотонность. Основные способы преобразования графиков функций (симметрия, параллельный перенос, сжатие и растяжение, график функции, взятой от модуля аргумента). Понятие обратной функции.
Степенная функция с натуральным, целым, действительным показателем; свойства, график.
Понятие о логарифме, свойства.
Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график.
6. Показательные, иррациональные, логарифмические уравнения (19 часов).
Решение простейших показательных, логарифмических, иррациональных уравнений. Показательные,логарифмические,иррациональные уравнения, их классификация и способы решения; случаи потери корней и приобретения посторонних корней,уравнения с параметром, модулем.
Уравнения, содержащие степенную функцию.
7. Показательные, иррациональные, логарифмические неравенства (13 часов).
Решение простейших показательных, иррациональных неравенств.
Иррациональные неравенства, их классификация и способы решения.
Показательные неравенства, их классификация и способы решения.
Логарифмические неравенства, их классификация, способы решения.
Метод интервалов при решении показательных, иррациональных, логарифмических неравенств.
8. Тригонометрия. (90 ч)
Этот раздел, как известно, является одним из самых сложных. Поэтому этот курс построен в развивающем ключе. Это отражено в раннем изучении простейших тригонометрических уравнений. Учащиеся на простых примерах выясняют и осознают специфику таких уравнений (бесконечное множество корней, их запись) сразу же после введения определения основных тригонометрических функций. Сложность уравнений будет постепенно нарастать, как за счет увеличения количества формул, так и за счет методов решения.
После знакомства с основными понятиями тригонометрии (определение тригонометрических функций, вывод основных тригонометрических тождеств и решение простейших уравнений в частных случаях) изучаются формулы сложения, приведения, произведения и т.д. Причем параллельно с их изучением продолжается решение тригонометрических уравнений, но уже с применением этих формул. Все формулы представлены как следствие из формул сложения, что позволит учащимся не заниматься механическим зазубриванием, а научиться свободно их выводить.
Рассматриваются свойства тригонометрических функций, их графики, приемы решений тригонометрических уравнений.
Формируются навыки работы с обратными тригонометрическими функциями. Рассматриваются тригонометрические неравенства.
1. Тригонометрические формулы – 26 часов.
2. Тригонометрические функции – 15 часов.
3. Обратные тригонометрические функции – 10 часов.
4. Тригонометрические уравнения – 26 часов.
5. Тригонометрические системы – 13 часов.
Тригонометрические формулы.
Радианная мера угла, поворот точки.
Определение синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Зависимость между ними одного и того же угла.
Тригонометрические тождества. Синус, косинус, тангенс, котангенс углов ? и –?. Формулы сложения двойного и половинного углов, приведения, сумма и разность синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов.
Тригонометрические функции.
Рассматриваются свойства тригонометрических функций: область определения, множество значений, четность и нечетность, периодичность, графики тригонометрических функций.
Обратные тригонометрические функции.
Понятие арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса.
Свойства и графики обратных тригонометрических функций.
Тригонометрические уравнения.
Решение простейших тригонометрических уравнений. Рассматриваются уравнения:
- Сводящиеся к квадратным;
- Сводящиеся к линейным относительно sin x, cos x, tg x, ctg x;
- Однородные;
- Равенство тригонометрических функции;
- Понижение степени уравнения;
- Уравнения вида a sin x + b cos x = c
- Уравнения смешанного типа
- Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
Системы тригонометрических уравнений.
В курсе алгебры и начал анализа предусмотрено решение систем уравнений. Поэтому рассмотрение систем, в которые входят тригонометрические уравнения необходимо. Системой тригонометрических уравнений условились называть совокупность уравнений составленных либо только из тригонометрических уравнений, либо из тригонометрического и алгебраического уравнений. Поэтому рассматриваются системы следующих видов:
- Одно уравнение алгебраическое, а другое уравнение сумма или разность тригонометрических функций
- Одно уравнение алгебраическое, а другое уравнение произведение тригонометрических функций
- Одно уравнение алгебраическое, а другое уравнение отношение тригонометрических функций
- Оба уравнения содержат только тригонометрические функции
Завершается глава рассмотрением тригонометрических неравенств, которые решаются с помощью единичной окружности.
9. Производная (19 ч)
Приращение аргумента и функции. Определение производной. Производная элементарных функций. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная высших порядков. Физический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задачи на касательную.
10. Применение производной к исследованию функций (22 ч)
Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Полное исследование функции и построение графика. Наименьшее и наибольшее значения функции. Решение задач на наибольшее и наименьшее значение.
11. Интеграл (21 ч)
Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции. Понятие интеграла. Вычисление площадей с помощью интегралов. Решение практических задач с помощью интеграла.
12. Комплексные числа (18 ч)
История развития числа, определение комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия над комплексными числами. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Квадратные уравнения на множестве комплексных чисел.
13. Повторение (59 ч.)
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Поурочное планирование в 10 классе
| Содержание учебного материала | Число часов |
|---|---|
| Рациональные уравнения Линейные уравнения с параметром Квадратные уравнения и уравнения сводящиеся к ним Исследование квадратных уравнений Квадратные уравнения с параметром Уравнения высших степеней Возвратные уравнения Однородные уравнения Уравнения с модулем Практикум по решению уравнений Контрольная работа № 1 Системы рациональных уравнений Основные методы решения систем уравнений Решение систем линейных уравнений Однородные системы Симметрические системы Практикум по решению систем Контрольная работа № 2 Неравенства Квадратные неравенства Дробно-рациональные неравенства (метод интервалов) Неравенства с модулем Неравенства с параметром Практикум по решению неравенств Контрольная работа № 3 Действительные числа Целые и рациональные числа Действительные числа Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Арифметический корень натуральной степени Степень с рациональным и действительным показателем Обобщающий урок Контрольная работа № 4 Степенная, показательная, логарифмическая функции Понятие функции Область определения функции Множество значений функции Чётность и нечётность функции Монотонность функции, участки монотонности функции Нули функции, участки знакопостоянства функции График функции Обратная функция Проверочная работа Степенная функция Показательная функция Логарифмическая функция Обобщающий урок Контрольная работа № 5 Показательные, иррациональные, логарифмические уравнения Иррациональные уравнения (зачёт) Показательные уравнения (зачёт) Логарифмические уравнения (зачёт) Практикум по решению уравнений Контрольная работа № 6 Показательные, иррациональные, логарифмические неравенства Иррациональные неравенства (зачёт) Показательные неравенства (зачёт) Логарифмические неравенства (зачёт) Практикум по решению неравенств Контрольная работа № 7 Тригонометрические формулы Радианная мера угла Поворот точки вокруг начала координат Определение синуса,косинуса,тангенса,котангенса угла Знаки синуса,косинуса,тангенса,котангенса Зависимость между синусом,косинусом,тангенсом,котангенсом одного и того же угла Тригонометрические тождества Синус, косинус, тангенс, котангенс углов Формулы сложения Формулы двойного угла Формулы половинного угла Формулы приведения Формулы суммы и разности Формулы произведения Обобщающий урок Контрольная работа № 8 Тригонометрические функции Область определения и множество значений тригонометрических функций Четность и нечетность тригонометрических функций Периодичность тригонометрических функций Свойства функции y=sin x и её график Свойства функции y=cos x и её график Свойства функций y=tg x ,y=ctg x и их графики Обобщающие уроки Контрольная работа № 9 Обратные тригонометрические функции Свойства и график функции y=argsin x Свойства и график функции y=argcos x Свойства и график функции y=argtg x Свойства и график функции y=argctg x Обобщающие уроки Контрольная работа №10 Повторение |
19 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 1 2 2 2 2 15 2 4 2 3 2 2 12 1 1 2 3 3 1 1 22 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 4 2 2 19 3 6 6 2 2 13 3 3 3 2 2 26 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 15 2 2 2 2 2 2 2 1 10 2 2 1 1 3 1 8 |
и –
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Поурочное планирование в 11 классе
| Содержание учебного материала | Число часов |
|---|---|
Тригонометрические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Проверочная работа Решение уравнений • Уравнения ,сводящиеся к квадратным • Уравнения, сводящиеся к линейным • Однородные уравнения • Уравнения, решаемые с помощью условия равенства одноимённых тригонометрических функций • Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени • Уравнения вида a sinx + b cosx = c • Уравнения смешанного типа Уравнения , содержащие обратные тригонометрические функции Обобщающий урок Контрольная работа №1 Системы тригонометрических уравнений Системы уравнений ,в которых одно уравнение –алгебраическое, а другое—сумма или разность тригонометрических функций Системы уравнений , в которых одно уравнение – алгебраическое, а другое—произведение тригонометрических функций Системы уравнений , в которых одно уравнение – алгебраическое, а другое – отношение тригонометрических функций Системы уравнений , содержащих только тригонометрические функции Тригонометрические неравенства Контрольная работа №2 Производная Приращение аргумента и функции Производная Производная степенной функции Правила дифференцирования Производная элементарных функций Производная сложной функции Производная высших порядков Физический смысл производной Геометрический смысл производной Контрольная работа №3 Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функции Экстремум функции Выпуклость графика функции, точки перегиба Применение производной к построению графиков функций (практическая зачётная работа ) Наибольшее и наименьшее значения функции Задачи на экстремум Контрольная работа №4 Интеграл Понятие первообразной Правила нахождения первообразных Площадь криволинейной трапеции Вычисление интегралов Вычисление площадей с помощью интегралов (практическая зачётная работа) Решение практических задач Обобщающие уроки Контрольная работа №5 Комплексные числа Понятие комплексного числа Модуль и аргумент комплексного числа Действия над комплексными числами в алгебраической форме Сопряжённые комплексные числа и их свойства Возведение комплексного числа в целую степень, корень из комплексного числа в алгебраической форме Геометрическая интерпритация комплексных чисел Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме Квадратные уравнения на множестве комплексных чисел Обобщающий урок Контрольная работа № 6 Повторение |
26 4 1 2 2 2 1 2 2 4 2 2 2 13 2 2 2 2 3 2 19 1 2 2 3 3 2 1 1 3 1 22 3 4 3 4 3 4 1 21 2 3 3 3 4 3 2 1 18 2 1 4 1 2 2 3 1 1 1 51 |