Анализ психолого-педагогической литературы, посвящённой исследованию особенностей психологии студенческого возраста (в среднем 17–23 года), показывает, что значительную роль в учебной и научной работе играет воображение и творческая деятельность студентов.
Воображение является основой для продуктивной деятельности человека, которая проявляется в творческом самовыражении, т.е. в создании новых предметов реальности: зданий, машин, литературных произведений, симфоний, новых видов растений, научных теорий, гипотез и т.д. Все предметы обучения в той или иной степени (а математика – в особенности) требуют образных представлений на основе воображения, особенно это относится к изучению тех явлений и событий, которые недоступны для непосредственного наблюдения и должны осмысливаться в различных связях и отношениях составляющих их элементов. В качестве примера можно привести математический кружок на тему “Фракталы” для студентов младших курсов.
Опора на устойчивый интерес и склонность студента к математике является той фундаментальной особенностью, которая характеризует занятия в математических кружках. Использование и развитие всесторонних интересов студентов к предмету позволяет значительно расширить и разнообразить формы и методы проведения занятий, повысить эффективность самостоятельной работы студентов, способствует перерастанию их интереса к одному или нескольким аспектам математики к интересу ко всей математике, интересу к познанию окружающего нас мира.
На занятиях математического кружка с успехом найдут себе место именно такие вопросы, которые обычно редко или слишком кратко затрагиваются в преподавании, но которые способны вызвать огромный интерес. Внутренняя логическая стройность математики и неожиданные внутренние связи в ней не могут не восхитить человека, не поразить его эстетические чувства. Вот что писал по этому поводу Г.Харди: “Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, – совокупность идей, подобно совокупности красок и слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике” (цитируется по кн. [3], с. 92). Не менее выразительны слова Ф.Хаусдорфа: “Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг” (там же). Поэтому математике даёт богатые возможности для воспитания чувства красоты, умения увидеть красоту и оценить её по достоинству. “Может вызвать удивление обращение к чувствам, когда речь идёт о математических доказательствах, которые, казалось бы, связаны только умом. Но это означало бы, что мы забываем о чувстве математической красоты, чувстве гармонии чисел и формы, геометрической выразительности. Это настоящее эстетическое чувство, знакомое всем математикам” ([1], с. 141).
Включение в содержание занятий интересного, занимательного материала обосновывается во многих педагогических исследованиях. Так, Н.И.Лобачевский считает, что “занимательность – необходимое средство возбуждать и поддерживать внимание, без неё преподавание не будет успешным” ([4], с. 43). И.М.Смирнова рассматривает занимательность “как стимул развития познавательных интересов учащихся, как эмоциональную основу для запоминания наиболее трудных вопросов изучаемого материала” ([6], с. 28).
По мнению Л.Д.Кудрявцева, “обучение должно быть построено таким образом, чтобы в его процессе учащийся, получая знания, удивлялся и восхищался гармонией (а там, где её нет, удивлялся дисгармонии) вещей, с которыми его знакомят, чтобы он по существу оценивал смысл и значение приобретаемых знаний” ([3], с. 53). Говоря о психологическом аспекте процесса усвоения науки, А.А.Космодемьянский утверждает, что “возбудить интерес к самостоятельному творчеству, самостоятельным размышлениям можно лишь при одновременном воздействии на ум и эмоции учащегося” ([2], c. 153). Поскольку фракталы являются объектами, обладающими большой эстетической привлекательностью, их изучение на занятиях математического кружка полностью отвечает этим двум требованиям.
Приведём пример одного занятия разработанного нами кружка.
Занятие 1. ЛИНЕЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ
Самоподобной геометрической фигурой называют фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой.
Простейшая самоподобная фигура – “веточка” –
строится следующим образом. Исходный отрезок
делят на три равные части, и из точек деления под
углом 45o проводят отрезки, составляющие 
длины
исходного отрезка. Затем эту процедуру повторяют
по отношению к вновь построенным отрезкам и т.д.
(рис. 1).
Рис. 1
Аналогичное свойство самоподобия обнаруживают многие объекты в природе, стоит лишь внимательнее присмотреться к ним: к линиям трещин в земной коре, ветвлениям деревьев, очертаниям гор, облаков и коралловых рифов. Рассмотрев горный хребет с разного расстояния – из космоса, с борта самолёта, а затем непосредственно с горной вершины, каждый раз мы будем обнаруживать всё новые и новые подробности, искривления и изломы – раньше они представлялись нам прямыми или плоскими деталями рельефа. Но видим мы тем не менее всё те же горы. Рельеф гор как бы не зависит от масштаба – он самоподобен.
Фракталом является также кривая Пеано, показывающая, каким образом одна точка, двигаясь непрерывно по квадрату, может (за бесконечное время) пройти по крайней мере один раз через каждую точку квадрата и его границы. Первые этапы рекуррентной процедуры построения этой кривой, предложенной Д.Гильбертом, ясны из рис. 2.
Рис. 2
На рис. 3 показано, как В.Серпинский построил замкнутую кривую Пеано (“коврик Серпинского”).
Рис. 3
Шведский математик Хельга фон Кох построила в
1904 году ещё один фрактал, известный под названием
“Снежинки Кох”. Начинается построение с
“инициатора”, т. е. с равностороннего
треугольника, длина стороны которого равна
единице. Применим к нему рекуррентную процедуру:
в средней трети каждой из сторон строим по
равностороннему треугольнику с длиной сторон,
равной 
(рис. 4).
Рис. 4
На этом этапе мы получаем шестиконечную звезду, или звезду Давида. На каждой из сторон полученной звезды строим вышеописанным образом по равностороннему треугольнику и повторяем процесс до бесконечности. В результате построим извилистую кривую, напоминающую очертаниями снежинку, изображённую на рис. 5.
Рис. 5
Построим ещё одну кривую – “извивающуюся змею” У.Госпера. Её построение начинается с группы из семи правильных шестиугольников (рис. 6).
Рис. 6
Их восемь вершин соединены ломаной, составленной из семи равных прямолинейных отрезков (извивающаяся змея первого порядка). Извивающаяся змея второго порядка получается при замене каждого звена ломаной уменьшенной копией змеи первого порядка. Продолжая рекуррентную процедуру, получим извивающиеся змеи более высоких порядков. На рис. 7 изображены две извивающиеся змеи третьего и четвёртого порядков. Деля плоскость на чёрные и белые части с границей, проходящей через вершины змеи, мы увидим, что извивающаяся змея разбивает плоскость на две весьма извилистые части, имеющие почти, но не совсем одинаковую форму.
Рис. 7
Ещё один пример простого самоподобного фрактала – треугольник Серпинского (рис. 8), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году.
Рис. 8
Пусть начальное множество S0 – равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьём S0 на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовём оставшееся множество S1. Затем повторим процесс для трёх оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S2. Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств Sп, чьё пересечение и образует треугольник S.
Из построения видно, что весь треугольник
Серпинского представляет собой объединение N = 3
существенно непересекающихся уменьшенных в два
раза копий; коэффициент подобия 
(как по
горизонтали, так и по вертикали).
Очевидно, что суммарная площадь частей,
выкинутых при построении, в точности равна
площади исходного треугольника. На первом шаге
мы выбросили 
часть площади. На следующем шаге мы
выбросили три треугольника, причём площадь
каждого равна 
площади исходного. Рассуждая таким
образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой
площади составила: 
Задача. Докажите, что эта сумма равна 1,
используя соотношение: 
, для | x |<1.
Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть треугольник Серпинского, имеет площадь, равную нулю.
Это выделяет множество S в разряд “совершенного”, в том смысле, что оно разбивает своё дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.
Существуют и трёхмерные аналоги построенных фигур. Следуя Мандельброту, их называют губками. Губка, изображённая на рис. 9, является трёхмерным аналогом треугольника Серпинского. Фигура на рис.10 называется губкой Менгера, по имени построившего её Карла Менгера. Такие губки имеют объём, равный нулю.
|
|
Рис. 9 |
Рис. 10 |
В каждом из приведённых примеров мы рассмотрели несколько последовательных стадий преобразования исходной фигуры. Каждая из полученных на отдельном этапе фигур называется предфракталом, и их самоподобие очевидно. Настоящий фрактал получится, если число шагов алгоритма построения будет стремиться к бесконечности.
Итак, линейные фракталы – это фракталы, чьи алгоритмы роста задаются линейными функциями, то есть уравнениями первого порядка. В линейных фракталах самоподобие проявляется в следующем: любая часть есть точная копия целого.
Упражнение:
Рассмотрите фрактал на рис. 11. Этот фрактал иногда называют пылью Серпинского. Запишите бесконечный ряд для суммы площадей частей, которые были удалены при построении. Найдите сумму этого ряда.
Рис. 11
Литература
- Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. – М.: Просвещение, 1982. – 145 с.
- Космодемьянский А.А. Из опыта преподавания механики в высшей школе: В кн. Теоретическая механика и современная техника. – 2-е изд. – М.: Просвещение,1975. – С. 126 – 244.
- Кудрявцев Л.Д. Современная математика и её преподавание. / С предисловием П.С.Александрова: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., доп. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. – 176 с.
- Лобачевский Н.И. О важнейших предметах воспитания // Математика в школе. – 1977. – №2. – С. 42–44.
- Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем: Пер. с англ. – М.: Мир, 1993. – 176 с., ил.
- Смирнова И.М. Методические рекомендации по изучению курса “Методика проведения факультативных занятий по геометрии с учащимися старших классов…” – М.: Прометей, 1989. – 94 с.
- Соколов И.М. Фракталы // Квант. – 1989. - №5. – С. 6.
- Федер Е. Фракталы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 254с., ил.
- Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. / Глав. ред. М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.