Конспект урока "Применение производной для исследования функций"

Разделы: Математика

Тип урока: изучение нового материала

Цели урока:

  • ввести признаки возрастания, убывания и точек экстремума функции;
  • способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей, умению осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы.

Планируемый результат урока

  • Знать: признак возрастания функции на интервале, признак убывания функции на интервале, признаки максимума и минимума функции
  • Уметь: по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции

Девиз урока: “Решай, ищи, твори и мысли”.

Методы обучения:

  • по источнику знаний – практический,
  • по логике мышления – индуктивный,
  • по характеру познавательной деятельности – частично-поисковый (возможно исследовательский).

Оборудование:

  • у каждого – транспортир;
  • на каждом столе – план самостоятельной работы с таблицами значений тангенса, листы с рисунками графиков функций в 2 вариантах;
  • таблички с графиками функций:
    • для внесения необходимых поправок в предложения, сформулированные учащимися,
    • для подготовительного этапа урока,
    • для первичного закрепления.

Ход урока

I. Организационный момент

Задача: активизировать внимание, показать недостаточность знаний для построения графиков функций (более сложных, чем те, что имеются в таблице производных), объявить тему и цель урока

Фронтальная работа

Математика изучает математические модели. Одной из главнейших математических моделей является функция. Существуют разные способы описания функций. Какой самый наглядный?

– Графический.

– Как построить график?

– По точкам.

Этот способ подойдет, если заранее известно, как примерно выглядит график. Например, что является графиком квадратичной функции, линейной функции, обратной пропорциональности, функции y = sinx? (Демонстрируются соответствующие формулы, учащиеся называют кривые, являющиеся графиками.)

А что если требуется построить график функции или еще более сложной? Можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими точками?

Поставить на доске две точки, попросить учеников показать, как может выглядеть график “между ними”:

Выяснить, как ведет себя функция, помогает ее производная.

Откройте тетради, запишите число, классная работа.

Тема нашего урока: “Применение производной для исследования функций”.

Цель урока: узнать, как связан график функции с графиком ее производной, и научиться решать задачи двух видов:

  1. По графику производной находить промежутки возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции;
  2. По схеме знаков производной на промежутках находить интервалы возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции.

Подобные задания отсутствуют в наших учебниках, но встречаются в тестах единого государственного экзамена (часть А и В).

Девиз урока: “Решай, ищи, твори и мысли”

II. Подготовка к изучению нового материала

Задача: актуализация опорных знаний, инструктаж по самостоятельной работе исследовательского характера.

Сегодня вы будете самостоятельно добывать новую информацию, но не из учебника, а выполняя самостоятельную работу. Для начала вспомним то, что вам пригодится при ее выполнении.

1. В чем заключается геометрический смысл производной?

2. Как по графику функции определить значение производной в какой-нибудь точке? (Показать по графику, изображенному на доске)

3. По графику, изображенному на доске назовите:

  • нули функции,
  • промежутки возрастания и убывания,
  • точки экстремума,
  • промежутки, на которых функция принимает только положительные (отрицательные) значения

(К доске  выходят учащиеся, показывают по графику, записывают ответы.)

Далее – инструктаж по сам. работе.

III. Самостоятельная работа, анализ полученных результатов, проверка выводов

Задачи:

  • в ходе самостоятельной работы получить выводы о связи графика функции с графиком ее производной;
  • проверить гипотезы, сформулированные учащимися, внести необходимые коррективы в их формулировки;
  • сообщить о том, что в математике как науке существует соответствующий метод научного познания, и что следующим шагом должно стать доказательство полученных гипотез или их опровержение.

После проверки найти соответствующие утверждения в учебнике.

IV. Первичное закрепление

Задача: научить применять полученные выводы для решения задачдвух видов:

  • по графику производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции,
  • по изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции

На доске – графики производных 2-х функций и две схемы знаков производной. Задание: найти промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции. Первые задания обоих видов выполняем вместе, второе – сами, а затем проверяем.

IV. Итог урока, домашнее задание

Задача: проверить, достигнута ли цель урока.

Пройти по всем пунктам планируемого результата урока. Все ли удалось?

Записываем домашнее задание:

1) выучить формулировки 5 теорем (без доказательств) – стр. 139, 143–145;

2) рис. 151 (г) - график производной. Выписать: промежутки возрастания и убывания, точки максимума и точки минимума. (Учебник под ред. А.Н. Колмогорова.)

План самостоятельной работы

Функция и ее производная

Цель: найти связь между графиками функций у = f(х) и у =f`'(х).

Ход работы

1. Схематично постройте график функции, являющейся производной:

  • Заполнить таблицу, пользуясь транспортиром и данной таблицей значений тангенса.
Х            
F'(x)            
  • Пользуясь полученной таблицей, схематично построить график функции y = f `(x).

2. Исследуйте связь между графиками функции у=f(х) и у=f '(х) по плану:

  • Рассмотрите интервалы, на которых функция у = f(х) убывает, и график производной на этих же интервалах. Сделайте вывод.

Запишите: если f '(х) (>,<,=)0 в каждой точке некоторого интервала, то функция у = f(х) ______________ на этом интервале.

  • Рассмотрите интервалы возрастания функции у = f(х) и график производной на этих же интервалах. Сделайте вывод.

Запишите: если f `(х) (>,<,=)0 в каждой точке некоторого интервала, то функция у = f(х) _____________ на этом интервале.

  • Рассмотрите точки максимума функции и соответствующие им точки на графике производной. Какие значения принимает производная вблизи точки максимума, но левее ее? В самой точке максимума? Вблизи точки максимума, но правее ее?
  • Рассмотрите точки минимума функции и соответствующие им точки на графике производной. Ответьте на вопросы, аналогичные вопросам в п. 3.
  • Как можно объединить эти выводы? Запишите:

Если х0 - точка экстремума функции у = f(х), то производная в этой точке ______________.

Если функция у = f(х) непрерывна в точке х0 и производная в этой точке меняет___________, то х0 - точка максимума.

Если функция у = f(х) непрерывна в точке x0 и производная в этой точке меняет__________, то х0 - точка минимума.

Дополнительные задания

1. Рассмотрите на обоих графиках интервалы, на которых функция, являющаяся производной, убывает.

2. Рассмотрите на обоих графиках интервалы, на которых функция, являющаяся производной, возрастает.

3. Рассмотрите на обоих графиках точки, в которых функция, являющаяся производной имеет экстремум.

Листы с рисунками графиков: