Цель урока.
Продемонстрировать решение одной задачи различными способами: аналитическим и графическим.
Оборудование:
а) для учителя: проволочная модель куба, учебные таблицы, чертежные инструменты;
б) для учащихся: два листа с печатной основой, чертежные инструменты, транспортир, карандаши, проволочная модель куба, калькулятор, таблица Брадиса.
ХОД УРОКА
Учитель. Ребята, сегодня мы проведем необычное занятие, которое пройдет на стыке двух предметов: геометрии и начертательной геометрии.
Вниманию учащихся предлагается задача, условие которой записано на доске и на листах с печатной основой: “В кубе АВСDA1B1C1D1 проведено сечение QА1P, где точка Q лежит на ребре АВ и AQ:AB = 2:3, а точка Р лежит на ребре AD и АР:AD = 2:3. Докажите, что плоскость QA1P перпендикулярна диагональной плоскости АА1С1С. Найдите угол между прямой АР и плоскостью QA1P”.
Учитель. Эта задача может быть решена и аналитическим способом, т. е. с помощью формул, вычислений, и графическим способом через геометрические построения. Именно поэтому перед вами два листа с печатной основой. На одном листе вы видите наглядное изображение куба и краткое условие задачи. На этом листе вы будете оформлять задачу, используя вычисления. На втором листе – ортогональные проекции куба. На нем вы выполните геометрические построения. При построении рекомендуется использовать цветные карандаши. Прийти к правильному решению вам поможет проволочная модель куба. Постройте сечение куба плоскостью QA1P и диагональное сечение АА1С1С (рис. 1, рис. 2).
Учащиеся самостоятельно строят точки P и Q и выделяют цветом сечение куба QA1P. Учитель предлагает учащимся сравнить свои изображения с изображениями на доске, и при необходимости внести изменения.
Учащиеся выполняют первую часть задания, используя признак перпендикулярности плоскостей (рис. 3).
Учитель. Выполним вторую часть задания. Определим угол между прямой АД и плоскостью QA1P. Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью.
Ученик. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Учитель. Так как точка Р лежит на прямой АD, то искомым является угол между прямой АР и плоскостью QA1P.
Ученики выполняют построения на листах. У доски ученик строит AL и проекцию PL, указывает искомый угол APL. Сравнивается результат.
По учебным плакатам ученик рассказывает о построении перпендикуляра к плоскости. Повторяется последовательность построения точки пересечения прямой и плоскости.
Ученик. На ортогональных проекциях перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости, будет перпендикулярен фронтали данной плоскости на фронтальной плоскости проекций и горизонтали на горизонтальной плоскости проекций. Для нахождения точки пересечения перпендикуляра с плоскостью горизонтальная проекция перпендикуляра заключается в проецирующую плоскость. Определяется линия пересечения этих плоскостей и точка пересечения прямой и плоскости (рис. 4).
Учитель. Проанализируем задачу. “Разложим” стереометрическую задачу на несколько более легких планиметрических, используя “выносной” рисунок.
“Выносные” рисунки выполняются на доске и на листе с печатной основой при фронтальной работе с классом (рис. 5, рис. 6, рис. 7).
После анализа задачи учащиеся самостоятельно решают планиметрические задачи 3, 2, 1 с поэтапной проверкой результатов (рис. 8).
Повторение последовательности нахождения натуральной величины треугольника способом замены плоскостей проекций с использованием учебной таблицы.
Ученик. Для нахождения натуральной величины треугольника, занимающего в пространстве общее положение, способом замены плоскостей проекций, выбираются две плоскости. Первую располагают перпендикулярно горизонтали на горизонтальной плоскости проекций и проецируют на нее треугольник в виде отрезка прямой. Вторую плоскость располагают параллельно проекции треугольника в виде отрезка прямой и проецируют треугольник в натуральную величину.
Учащиеся выполняют построения на листах (рис. 9).
До определения величины угла учащимся выдается карта результатов:
Ф. И. учащегося ______ школа ______ класс ______
1. Запишите ответ, полученный при решении задачи
а) используя знания по курсу геометрии ________________________________________
б) используя знания по курсу начертательной геометрии___________________________
2. Сравните полученные результаты и сделайте вывод. ___________________________
3. Запишите преимущества каждого способа решения задачи:
а) аналитического___________________________________________________________
б) графического_____________________________________________________________
4. Используя знания сегодняшнего интегрированного урока, напишите, какой способ выберете вы при решении подобной задачи и почему.
___________________________________________________________________________
Учитель. Предлагаем вам занести результат измерения и вычисления величины угла в карту результатов. Вначале измерьте величину угла на чертеже с помощью транспортира, затем найдите величину угла по таблице Брадиса.
Самостоятельная работа учащихся.
Учитель. Сегодня вы убедились в том, что одну задачу можно решить разными способами, и результат решения не зависит от способа при условии, что вы владеете знаниями по предмету и умеете применять их на практике.