Планируя урок, мы рассматриваем его как целостную совокупность ориентированных на достижение определенной цели взаимодействующих управленческих функций, выполняемых одновременно или в некоторой последовательности. К этим управленческим функциям относятся:
планирование, то есть определение целей и средств их достижения;
организация, то есть создание и совершенствование взаимодействия между управляемой и управляющей системами для выполнения планов;
контроль, то есть сбор информации о процессе выполнения намеченных планов;
регулирование, то есть корректировка планов и процесса их реализации;
анализ, то есть изучение и оценка процесса результатов выполнения планов.
Этот вопрос можно решить при помощи организации уроков “по вертикали”, то есть уроков, на которых работают подгруппы разных классов, что позволяет старшим детям обратиться к ранее изученному материалу на другом качественном уровне, а младшим школьникам в диалоге со старшими товарищами систематизировать изученный материал и обобщить способы действия с ним. Варианты таких уроков:
– “Признаки равенства треугольников” в 7-м классе и “Признаки подобия треугольников” в 8-м классе;
– “Площади” в 8-й классе и “Площадь поверхности многогранников” в 11-й классе;
– “Формулы сокращенного умножения” в 7-м классе и “Действия с алгебраическими дробями” в 8-м классе; и т. д.
Одним из таких уроков является урок по теме “Методы решения квадратных уравнений и уравнений, к ним сводящимся”, который проводится по окончании изучения темы “Квадратные уравнения” в 8-м классе и в теме “Повторение” в 11-м классе. Уравнения и неравенства – наиболее распространенные типы задач, решаемых учащимися в школе. По сложившейся традиции эти задачи всегда предлагаются и на школьных выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы. В связи с тем, что изменяется форма проведения экзаменов в виде тестов, возникает еще одна проблема: надо научить учащихся быстро находить правильный ответ.
Цель урока: Использовать квадратное уравнение как модель, описывающую различные зависимости между величинами.
Задачи:
научить учащихся использовать данную модель для планирования своей работы;
анализировать математическую модель с точки зрения поиска рациональных методов решения;
формировать целостное представление о применении данной математической модели;
показать применение данной математической модели в других темах математики.
Данному уроку предшествовал урок – зачет, когда учащиеся 8-го класса отвечали на заранее определенные вопросы учащимся 11-го класса, работая в парах:
1. Какие уравнения называются квадратными?
2. Какое квадратное уравнение называется полным, неполным?
3. Какое уравнение называется приведенным, не приведенным?
4. Является ли квадратным каждое из следующих уравнений:
5. Решите уравнения:
а) 3х2–21=0 б) 0,5х2–2=0 в) 5х2–8х=0
6. Может ли уравнение вида ах2+с=0 не иметь действительных корней?
7. Может ли неполное квадратное уравнение быть приведенным?
8. Какое выражение называется дискриминантом?
9. Напишите формулы для нахождения корней квадратного уравнения.
10. Решите квадратные уравнения:
а) 3х2–5х+2=0 б) 3m2x2–mx–4=0 в)
(m+n)y2–2my+m–n=0
11.Решите относительно z уравнение: (a–z):(1–az)=(1–bz):(b–z)
12. Как по дискриминанту определить, сколько и каких корней имеет квадратное уравнение?
13.Как читается теорема Виета?
14. Как читается обратная теорема Виета?
15. Как, не решая уравнения, определить знаки его корней?
16. Каков порядок составления квадратных уравнений по известным его корням?
17. Один из корней уравнения х2 – 6х – q = 0 больше другого на 2. Найдите q.
18. Определите знаки корней, не решая уравнений:
a) 4х2–11х+7=0 б) Зх2 – 8х + 6 =0 в) 9х2 – 6х + 1 = 0 г) х2 + 2х – 15 = 0
19. Найдите корни уравнений, воспользовавшись теоремой Виета:
а) х2 – х – 6 = 0 б) z2+2az–8a2=0
20. При каком условии сумма корней уравнения х 2 + рх + q = 0 равна их произведению?
21. Что называют квадратным трехчленом?
22. Как разложить квадратный трехчлен на множители?
23. Разложите на множители трехчлены: 2х2 + 5х – 3; х2 – х – 56.
24. Какие уравнения называются биквадратными?
Второй этап работы – урок–обобщение, когда при той же парной работе материал темы был систематизирован в схемах и таблицах, которые далее прилагаются к материалам. Эти таблицы определяют основное содержание структуры всей темы, в них включены формулы рационального счета, не пользующиеся широкой известностью, но часто спасающие учащихся на вступительных экзаменах в вузы от громоздких вычислений и экономящих время на решение более сложных задач.
Третий этап – повторительно-обобщающий урок, где реализуется работа с моделью квадратного уравнения.
Рассмотрим реализацию основных направлений учебно-управленческих умений на предлагаемом уроке:
Планирование осуществлялось через:
справочник, где материал систематизирован в схемах и таблицах, которые определяют основное содержание структуры всей темы;
работу с одной моделью;
использование модели для планирования своей работы;
формирование целостного представления о применении данной модели.
Организация осуществлялась при помощи:
работы в парах;
четкой постановки целей.
Для 8-го класса:
1. Обобщить и повторить методы решения квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к ним.
2. Увидеть использование этих методов при решении уравнений в других темах алгебры старших классов.
Для 11-го класса:
1. Повторить рациональные методы решения квадратных уравнений и уравнений, сводящимся к ним, для подготовки к тестированию по алгебре и началам анализа.
2. Разделить обязанности при работе над уравнением.
Контроль:
решения восьмиклассников проверяют старшеклассники, а одиннадцатиклассники рассказывают, как они решают незнакомые для восьмиклассников уравнения (взаимоконтроль);
проверка решения группы (пары) всеми учащимися.
Регулирование:
через систему жетонов;
безнаказанность ошибочного решения;
поощрение верных идей по поиску рациональных способов решения, по поиску ошибки.
Анализ:
анализ модели с точки зрения поиска рациональных способов решений;
подведение итогов урока: Что узнали восьмиклассники? Что узнали одиннадцатиклассники? Что дала работа в парах?
На уроке учащиеся работают парами восьмиклассник - одиннадцатиклассник, задачей которых является быстро и правильно отвечать на поставленные вопросы и зарабатывать баллы, из которых в конце урока складывается их совместная оценка.
I. Разминка.
Какие виды квадратных уравнений вам известны?
Учащиеся перечисляют известные им виды уравнений и получают задание: заполнить таблицу, распределив уравнения по видам.
Уравнение |
Полное |
Неполное |
Приведенное |
7х2 +9х+2=0 |
|||
y2 –3у–4=0 |
|||
ax2 –1=0 |
|||
x2 – 5? x? =0 |
|||
m2+
|
|||
6x2+x=0 |
|||
x2
–3x–5– |
|||
5m2+2( |
|||
8x2 –0,75=0,53 |
|||
x2:3=3 |
|||
2p2 –3? p? –2=0 |
–5=0
=0
–1)m+7=0Таблицу заполняют учащиеся 8-го класса, а учащиеся 11-го класса производят контроль. У доски одна пара выполняет такую же работу, затем класс проверяет правильность заполнения таблицы.
II. Занятие проводится в форме аукциона. Товаром на аукционе являются уравнения. Каждая пара, согласовав свое решение, может купить лот, стоимость которого от 1 до 5 баллов. Тот, кто дает максимальную цену, рассказывает решение уравнения, зарабатывая стоимость лота. В случае ошибочного решения часть баллов снимается.
Лот № 1.
Предлагается устно решить уравнение х2 – 8х – 20 = 0. Учитель предлагает купить лот, не показывая вида уравнения. Кто из учащихся первым дает большее количество баллов, тот становится покупателем. К доске выходит пара. восьмиклассник подробно объясняет решение уравнения, а одиннадцатиклассник следит за решением, и если есть замечания, то дополняет.
Лот № 2.
Выставляется на продажу задание: Определяя, имеет ли квадратное уравнение 2х2 + 5х – 7 = 0 корни, учащиеся дали два решения:
1). Так как а = 2, b = 5, с= 7, D= 81, D > 0, значит,
уравнение имеет два корня.
2). Так как а > 0, с < 0, поэтому D > 0.Уравнение имеет два корня.
Кто решил верно?
К доске выходит пара, которая купила этот лот. Восьмиклассник комментирует решение, выбирает рациональный способ. Одиннадцатиклассник следит за ответом, помогает, поправляет.
Лот № 3.
Продается "кот в мешке".
На продажу выставляются 3 уравнения, которые надо решить рациональным способом, но лот предлагается купить, не видя уравнений.
1). 1999у2–1997у–2=0
Ученик должен решить его так:
Т.к. 1999 + (–1997) + (–2) = 0, то у1 = 1, у2 = с/а, т.е. у2 = –2/1999.
2). 67х2–106х–173=0
Ученик должен решить его так:
Т.к. 67 – (–106) + (–173) = 0, то х1 = –1, х2 = –с/а, т.е. х2=173/67
3). 2z2–11z + 12 = 0
Ученик должен рассуждать так: 2z2 –11z+12=0, z2 – 11z + 24 = 0. По теореме, обратной теореме Виета т1 = 8, т2 = 3. Корни искомого уравнения будут равны: z1=8/2 =4 и z2=3/2=1,5
Лот № 4.
Разыгрываются два уравнения, которые предлагаются решить всем письменно рациональными способами. Каждое уравнение продается отдельно.
1. (х+5)4 + 8(х+5)2–9=0
2. (4/49)у2 + 9 + (12/7)у = 0
Две пары учащихся решают у доски эти уравнения.
Лот № 5.
Выставляется на продажу три уравнения. Каждая пара покупает одно из следующих уравнений, которое она должна решить
1. 2001sin2x – 2000sinx – 1 = 0
2. 
3. 
Каждое уравнение, кроме того, решается на доске парами, причем первую часть решения выполняет старшеклассник, рассказывая восьмикласснику о своих действиях, а квадратное уравнение решает восьмиклассник, одиннадцатиклассник же выполняет роль контролера.
Подводя итог урока, выясняется, что нового узнали восьмиклассники, а что одиннадцатиклассники? Что дала работа в парах? Домашнее же задание дает возможность еще раз проанализировать работу на уроке, придумав уравнения по данной теме.
Еще в “Великой дидактике” Яном Амосом Коменским было заявлено, что альфой и омегой школы должно быть изыскание способа, при котором учащие меньше бы учили, а учащиеся больше бы учились. Реализация программы общеучебных умений является движением к новой парадигме познавательной компетентности, переходом школы от декларации “учись учиться” к реальному освоению учениками целостной системы методов познания.
Таблица для распознавания знаков корней
Знаки коэффициентов |
Знаки корней |
||
A>0 |
B>0 |
C<0 |
Разные: больший отрицателен |
A>0 |
B<0 |
C<0 |
Разные: больший положителен |
A>0 |
B>0 |
C>0 |
Одинаковые: оба отрицательные |
A>0 |
B<0 |
C>0 |
Одинаковые: оба положительные |
Обобщенный приём алгебраического решения уравнений
Приём контроля решения уравнения алгебраическим способом