Контрольно-оценочная деятельность на уроках математики

Разделы: Математика

Важным звеном процесса обучения математике является контроль знаний и умений школьников. Глубина и прочность знаний учащихся явно зависит от систематичности и глубины контроля. В процессе обучения контроль, как правило, присутствует на всех этапах, начиная с самых первых моментов в овладении учениками новым материалом, и до завершения темы. Существует достаточно много видов контроля, распространенных в школьной практике.

Математический диктант с последующей проверкой (с применением компьютерных технологий). На экране дисплея поочередно появляются задания, краткие решения которых и ответы учащиеся записывают в тетрадь. При проверке на экране показываются не только ответы, но и основные этапы решения, которые комментируют учащиеся. Применение компьютера экономит время на уроке, позволяет вернуться и быстро объяснить, непонятные этапы решения задачи. На данном этапе работы может быть применен как самоконтроль, так и взаимоконтроль, для чего учащиеся получают критерий отметки. Приведу пример математического диктанта по геометрии в 10-м классе по теме: “Взаимное расположение скрещивающихся прямых”. В диктанте предлагается 5 задач, расположенных на пяти слайдах, в которых необходимо установить и обосновать взаимное расположение прямых в пространстве, а с помощью последующих слайдов разбираются их решения.

Блиц-опрос (быстрый опрос теории) и блиц-вопрос (три задачи, которые необходимо решить за несколько минут). Две задачи предлагаются по изучаемой теме, третья либо на повторение, либо “с изюминкой”. После решения учащиеся быстро называют свои ответы, класс не комментирует, чтобы дать высказаться нескольким учащимся. После разбора задач выставляются отметки в журнал, как правило, только хорошие, так как это первичный контроль. (Возможно применение компьютерных технологий.)

Решение линейных уравнений с параметрами”. 7-й класс

Блиц-опрос

  1. Уравнение с одним неизвестным привели к виду ах + b = 0. В каком случае это уравнение имеет единственное решение, не имеет решений, имеет бесконечно много решений?
  2. Какие случаи следует выделить при решении уравнения bх = 5?
  3. Что значит решить уравнение с параметром?

Блиц-вопрос

  1. При каких значениях параметра а уравнение ах = 5 имеет отрицательные корни?
  2. Найдите все целые значения параметра а, при которых корень уравнения ах = 8 – целое число.
  3. Определить, при каких значениях параметра уравнение (а – 2) (х – 1) = а не имеет решений?

Тема “Многоугольники”. 8-й класс

Блиц-опрос

  1. В чем разница между простой ломаной и ломаной, не являющейся простой?
  2. Что такое многоугольник?
  3. Какие элементы многоугольника вы знаете?
  4. Перечислите свойства выпуклых многоугольников.
  5. Чему равна сумма всех углов n- угольника?

Блиц-вопрос

  1. На какое число частей могут разбить плоскость две замкнутые четырехзвенные простые ломаные?
  2. Будет ли четырехугольник выпуклым, если: сумма всех его углов равна 360°?
  3. Чему равен неизвестный угол х на рис.1?

    Рис. 1

    Рис. 1

Урок защиты домашнего задания

Учеников, которым предстоит защищать решение задач (задач повышенной сложности, нестандартных), называют “солистами”. О своей роли ученики узнают заранее, иногда по одной задаче “солирует” несколько ребят. Во время опроса класс следит за грамотностью изложения, думает над различными способами решения задачи, выбирает наилучший. Это нестандартные, очень серьезные и красивые задачи, при решении которых учащиеся должны применить все свои знания, умение логически мыслить. Каждая задача решается несколькими способами, любой ученик вправе предложить свой способ решения, а класс – выбрать лучший. Все ученики, принявшие участие в защите задач, получают отметку. В ходе защиты решений задач приветствуется и поощряется активная позиция всех присутствующих на уроке: Задаются вопросы выступающим, выслушиваются другие подходы к решению. При решении задачи по теме “Многоугольники”: “Нарисуйте выпуклый пятиугольник. Продолжите все его стороны до взаимного пересечения. Вычислите сумму острых углов полученной звезды. Обобщите задачу”, на уроке в 8-м классе было предложено 8 способов решения задачи.

В качестве примера приведу фрагмент урока защиты домашнего задания в 7-м классе.

Тема: “Применение разложения на множители при решении задач”

Актуализация опорных знаний:

  • Что значит разложить многочлен на множители?
  • Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?
  • С помощью, каких формул сокращенного умножения можно разложить многочлен на множители?

По ходу ответов учащихся на экране компьютера заполняются ячейки таблицы с указанными на них способами разложения многочленов на множители. Образуется поле для учебно-развивающей игры в “крестики-нолики”.

1. Вынесение общего
множителя за скобки		 2. Способ группировки 3. а2 – b2=
= (а – b)(а + b)
4. a2 – 2ab + b2 =
= (a – b)2		 5. a3 – b3 =
=  (a – b)(a2 + ab + b2)		 6. a3 + b3=
= (a + b)(a2 – ab + b2)
7. a2 + 2ab + b2 =
= (a + b)2		 8. а3 +3 а2b + Заb2 + b3 =
= (а + b)3		 9. а3 – 3а2b + 3аb2 – b2 =
= (а – b)3

Класс делится на две команды: команда “крестиков” и команда “ноликов”. Команды по очереди выбирают ячейки, задания которых решает весь класс. В какой команде, судя по количеству поднятых рук, больше учащихся, выполнивших задание верно, знак той команды и выставляется в открытом поле. Побеждает команда, поставившая в ряд три своих знака. При выборе командой ячейки таблицы на экране возникает задание соответствующие данному способу разложения на множители.

Первый ход предоставляется, той команде, которая быстрее правильно ответит на вопрос: какое выражение надо прибавить к квадрату разности двух чисел, чтобы получить квадрат суммы тех же чисел?

Задания ячеек:

1. Доказать, что при любых значениях переменной значение
выражения  n3- n кратно 6.		 2. Решить уравнение:
х2 + 2х- 3 = 0		 3. Найти ошибку в рассуждении:
“любое число равно своей половине: пусть а = b, тогда а2 = bа;
а2 – b2 = аb – b2;
( (a – b)(a + b) =
= b(a – b);
a + b = b;
а + а = а;
2а = а;
а = а/2.”
4. Доказать или опровергнуть утверждение: -m4 + 2m2 – l < 0. 5. Делится ли значение выражения 29643 – 9603 на 2004? 6. Является ли простым число
1 + 31997?
7. Найти область определения функции
у = (х3- 5х2)/(х2+16х+ 64)		 8. Вычислить:
73 + 3 * 72 * 2 + 3 * 7 * 22 + 8		 9. Найти ошибку в тождестве:
27 – 9а – 9а2 – а3 =
= (3 – а)3

Во время устной работы, солисты готовят решения задач на доске. Для защиты были предложены следующиее задачи:

  1. В прямоугольном треугольнике а и в катеты. S – площадь треугольника. Найти углы треугольника, если известно, что (а + в)2 = 8S.
  2. Используя формулы сокращенного умножения вычислить: 9732 и 4862.
  3. Решить уравнение 4х-2х2 = |х-7|.
  4. Найти геометрическое место точек координатной плоскости, координаты которых х и у удовлетворяли бы условию у2 – 4x2 = 0.
  5. Доказать утверждение х2 + 2ху + 3у2 + 2х + 6у + 3 > 0.
  6. Пусть а и b натуральные числа.. Доказать, что если (а – b) кратно 3, то (а3 – b3) кратно 9.

Следующий этап урока непосредственно защита и обсуждение задач.

Защита рефератов. Прежде чем провести урок защиты рефератов, учитель проверяет их, ставит отметку, отбирает наиболее интересный, полезный и важный материал, предложенный ребятами. В каждом реферате наряду с теоретическим материалом учащиеся должны разобрать и решить задачи (нестандартные), соответствующие данной теме, к защите подготовить чертежи и иллюстрации. Отметку, поставленную учителем, ребята должны подтвердить во время защиты, только после этого она выставляется в журнал. Чтобы защита прошла быстро и эффективно, учащиеся готовят презентации своих рефератов с применением компьютера. Такие уроки, как правило, очень интересны, они могут быть похожи на небольшие научные конференции. Эти уроки проводятся при завершении изучения темы.

Практикумы по решению задач. После изучения темы, учащимся выдается задание-практикум по решению задач данной темы. Задания выполняются в удобном для учеников темпе, после проверки, неверно решенные упражнения возвращаются ученику на доработку. Текущие отметки за такую работу не ставятся, а по завершении практикума проводится релейная контрольная работа, в которую включены задачи из практикума. Применяются следующие практикумы: по решению примеров на все арифметические действия (6-й класс, 2 полугодие), по решению текстовых задач (9-й класс. Конкурсные задачи вузов), по решению конкурсных задач по планиметрии (10-й класс, 1 полугодие), по решению тригонометрических уравнений (10-й класс, 2 полугодие), по решению логарифмических уравнений и неравенств (11-й класс, 2 полугодие) и др.

Зачет – основная форма проверки знаний, в которой осуществляется систематический контроль над достижением обязательных результатов обучения. Технология урока-зачета по алгебре отличается от технологии урока-зачета по геометрии. На уроке-зачете по алгебре кроме повторения изученного материала включаются дополнительные вопросы к школьной программе, исторические сведения, вопросы, связанные с практическим применением изученного. Урок-зачет позволяет повторить, обобщить и систематизировать знания учащихся, что способствует осмыслению изученного на новом качественном уровне и подготовить учащихся к итоговой контрольной работе по теме. Теоретические вопросы выдаются учащимся заранее, при первом знакомстве с изучаемой темой. На зачете учащимся выдаются карточки. Каждая карточка включает вопрос теории и задачи, относящиеся к данному вопросу. Карточки составлены так, что в ходе ответов еще раз просматривается вся тема целиком. Приведу пример вопросов к зачету и несколько карточек с заданиями по теме “Функции” в 7-м классе.

Вопросы к зачету

  1. Что такое функция?
  2. Способы задания функции. Что значит задать функцию?
  3. Область определения функции.
  4. Как найти область определения функции, правило задания которой выражено многочленом, дробью?
  5. Что называется графиком функции?
  6. Какая функция называется прямой пропорциональностью?
  7. График прямой пропорциональности.
  8. В каких четвертях проходит график прямой пропорциональности, если k > 0 и k < 0?
  9. Какая функция называется линейной?
  10. График линейной функции.
  11. Как проходит график линейной функции в зависимости от значений параметров?
  12. Взаимное расположение графиков линейной функции.

Примеры заданий на карточках

Карточка I

  1. Какая символическая запись употребляется для обозначения функциональной зависимости? В чём удобство этой записи?
  2. Даны две функции: f1(x) и f2(x). Как записать, что значение f1(х) при х = 3 равно значению f2(х)при х = -1?
  3. Дана функция f(x) = (x – 1)/x – 2). Определить f(l), f(0), f(m), f(2x), f(x2).
  4. Соответствие задано следующим образом: “каждому двузначному числу соответствует число, противоположное сумме цифр данного числа”. Доказать, что это соответствие является функцией. Указать область определения и множество значений функции. Вычислить значение функции f(41).При каких значениях аргумента значение функции равно –2?

Карточка II

  1. Перечислить способы задания функции.
  2. Дан график (рис. 2), который вычерчен прибором, регистрирующим температуру воздуха в течение суток. Какое из следующих условий говорит о том, что данное соответствие между температурой и временем является функцией:
    а) каждому значению времени соответствует одно значение температуры;
    б) каждому значению температуры соответствует одно значение времени;
    в) всякая прямая, параллельная оси ординат, пересекает кривую в единственной точке;
    г) всякая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает кривую в единственной точке.
  3. а) Чему равна температура воздуха в 16 часов?
    б) В какое время суток температура равна 5°С?
    в) В течение какого времени температура воздуха оставалась постоянной?
  4. Проходит ли график функции у = –2х + 6 через точку А(–35; 76)?

Рис. 2
Рис. 2

Карточка III

  1. Если функция задана аналитически и не указаны допустимые значения аргумента, что следует подразумевать под областью определения этой функции?
  2. Как найти ОДЗ дроби?
  3. Найти область определения следующих функций. Ответ записать и прочитать двумя способами:
    а) у = (х2 + 4)/(х – 5)(х + 6);
    б) у = 1/(х2 – 16) + 7х;
    в) у = 7(|х| – 5) + 1/х

Карточка IV

  1. Можно ли назвать равными функции, имеющие один и тот же закон соответствия, но разные области определения?
  2. Что значит задать функцию?
  3. Функция задана следующим образом: у = (4х – 1)/5, где – 11 < х < 9 с шагом, равным 5. Задать эту функцию таблично. Указать её область определения и множество значений.
  4. Построить график функции у =(4х – 1)/5. Какова область определения этой функции?
  5. Равны или нет функции в первых двух пунктах?

Карточка V

  1. Как найти точки пересечения графика линейной функции с осями координат?
  2. Объяснить на примере функции у = – 3х + 4.
  3. Построить график функции у = – 3х + 4. Находили ли вы дополнительные точки кроме тех, что были найдены в п. 2?
  4. Как, имея график функции y = f(x) получить график функции у = |f(x)|?
  5. Построить график функции у = | – 3х + 4|.

Карточка VI

  1. В каком случае графики двух функций пересекаются? Как найти координаты точек пересечения?
  2. Графики линейных функций у = х + 6; у = –1/2х + 6 и у = 1/4х +1 y = 1/2, попарно пересекаясь, образуют треугольник. Вычислить координаты его вершин. Сделать чертёж.

Карточка VII

  1. В каком случае графики двух функций параллельны?
  2. Написать уравнение прямой, параллельной графику функции у = 5х -3 и проходящей через точку А(–1;2). Построить график полученной функции.
  3. Как из графика функции у = f(x) получить график функции у = |f(x)|?
  4. Построить график функции у = |5|х| – 3|.

Карточка VIII

  1. Задана функция f(x) = -2x- 2, при -2<х<0;
    f (x) = 2, при -2 <= х <= 0;
    f(x) = 2х + 2 при х>0.
    Построить её график.
  2. Как называется данная функция? Попробуйте задать одной формулой.
  3. Как построить графики функций |у| = f(x), |y| = –|f(x)|?
  4. Построить график функции |у| = 4х–4.

Считая зачет эффективным и надежным средством проверки достижения учащимися определенного уровня математической подготовки по геометрии, зачеты проводятся по каждой теме курса на сдвоенном уроке. Каждый ученик отвечает устно на билет и пишет контрольную работу. К доске для устного ответа вызывается сразу 6-7 человек. Остальные пишут контрольную работу, которая выдается каждому учащемуся.

Зачеты в младших и старших классах различаются по форме. В младших классах включается элемент игры. Приведу пример фрагмента урока-зачета в 6-м классе по теме “Делимость чисел”.

Ход урока

  1. Учитель: “Красивое свойство чисел – делимость... И, можно сказать, романтическое (делимость – делить – разделять...). Источник и основание многих математических понятий, теорем, формул. (Формулируются цели и задачи урока.)”
  2. У каждого ученика листы с вопросами и устными задачами по теме.
  3. У учителя список класса, где он будет отмечать все верные и не верные ответы. Каждый ученик имеет возможность ответить на 2-3 вопроса. Вопросы читаются по порядку, в быстром темпе. При необходимости ответы поясняются.

Вопросы:

  1. Какие числа называются натуральными?
  2. Какие действия выполнимы только на множестве натуральных чисел?
  3. Какое число называется делителем данного натурального числа?
  4. Какое число называется кратным натуральному числу а?
  5. Назовите формулу:
    а) числа, кратного 5:
    б) чётного числа;
    в) нечётного числа.
  6. Четным или нечётным является
    а) квадрат чётного числа;
    б) квадрат нечётного числа.
  7. Какое число и кратно n, и является его делителем?
  8. Смекалкин сказал, что у каждого натурального числа есть не менее двух делителей. “Ведь число а делится без остатка и на себя, и на 1” Прав ли он?
  9. Число b является делителем числа а. Верно ли, что частное от деления b на а является делителем а?
  10. Клоун объявил, что знает два разных натуральных числа, каждое из которых является делителем другого. Может ли такое быть и почему?
  11. Подтвердить примерами следующие свойства суммы:
    а) если каждое слагаемое кратно числу а, то и сумма кратна числу а;
    б) если лишь одно слагаемое не кратно числу а, то и сумма не кратна числу а.
  12. Верно ли утверждение:
    а) если каждое слагаемое не кратно числу а, то и сумма не кратна числу а;
    б) если уменьшаемое и вычитаемое кратны числу а, то и разность кратна числу а.
  13. Сформулируйте признаки делимости на 10; 100; 1000; 2; 5; 4; 8; 25; 3; 6; 9; 7; 11.
  14. Любое ли число, кратное 5, делится на 10?
  15. Может ли число, не делящееся на 5, оканчиваться цифрой 5?
  16. Какой цифрой оканчивается запись числа, делящегося на 5, если оно:
    а) четно?
    б) нечётно?
  17. Верно ли, что если число оканчивается цифрой 6, то оно делится на 6? Верно ли обратное утверждение?
  18. Какие натуральные числа называются:
    а) простыми?
    б) составными?
  19. Назовите число, которое не является ни простым, ни составным. Почему?
  20. С какого числа начинается ряд простых чисел?
  21. Почему все простые числа, кроме числа 2, нечётные?
  22. Могут ли быть простые числа среди кратных числа
    а) 3?
    6) 5?
    в) 4?
  23. Задумано простое число. Следующее за ним натуральное число тоже простое. Какое число задумано?
  24. Задуманы два простых числа. Их сумма – тоже простое число. Какие числа задуманы?
  25. Клоун объявил, что нашёл в натуральном ряду три числа, идущие подряд, и что каждое из них простое. Может ли такое быть и почему?
  26. Можно ли назвать самое большое простое число и почему?
  27. Верно ли, что все чётные числа составные?
  28. Известно, что число m делится на 9. Простым или составным оно является?
  29. При каких натуральных значениях а число 29а является простым числом?
  30. Существует ли прямоугольник, стороны которого выражаются натуральными числами, а периметр – простым числом?
  31. Существует ли куб, ребро которого выражается натуральным числом и у которого
    а) сумма длин всех рёбер – простое число?
    б) площадь поверхности – простое число?
  32. Существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые множители?
  33. Что значит разложить натуральное число на простые множители?
  34. Сформулируйте основную теорему арифметики.
  35. Почему, если одно число можно разделить на два простых множителя, а второе число – на три простых множителя, то эти числа не равны?
  36. Можно ли найти четыре различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других?
  37. Какое число называют НОД двух чисел? Как найти НОД?
  38. Какие два числа называются взаимно-простыми?
  39. В чём заключается алгоритм Евклида?
  40. Как, зная НОД двух чисел, найти все их общие делители?
  41. Число а кратно числу b. Какое число является НОД(а,b)?
  42. Есть ли смысл говорить о наименьшем общем делителе и почему?
  43. Верно ли утверждение:
    а) простое и составное числа могут быть взаимно-простыми
    б)последовательные натуральные числа всегда взаимно просты?
  44. Какое число называется НОК натуральных чисел а и b? Как найти НОК нескольких чисел?
  45. Какое число является НОК чисел m и n, если число m кратно числу n?
  46. Когда НОК двух чисел равно их произведению?
  47. Как найти все общие кратные двух чисел, зная их НОК?
  48. Есть ли смысл говорить о наибольшем общем кратном? Почему?

Подводятся итоги I части работы.

II. Аукцион

На торг выставляется книга “Принципы делимости”. Плата – особая. “Покупатели” называют виды чисел, которые они знают, дают их определения, делают сообщения.

Это могут быть числа:

а) чётные,
б) нечётные,
в) простые,
г) составные,
д) “числа-близнецы”,
е) совершенные,
ж) дружественные,
е) обращённые,
и) палиндромические.

Возможно, кто-то из учеников назовёт числа Фибоначчи, Ферма, Евклида, Мерселина Ученик, назвавший большее количество видов чисел, или сделавший это последним, получает выставленный лот.

III. Заслушиваем защиту рефератов о простых числах

IV. Сказка с заданиями

Задача 1

  1. 28 сентября число 28 решило пригласить в гости всех своих делителей, меньших, чем оно само. Первой прибежала единица, за ней двойка, за ней... Напишите список всех гостей числа 28.
  2. Когда все гости собрались, число 28 увидело, что их немного. Оно огорчилось и предложило, чтобы каждый из гостей привёл ещё и своих делителей. Сколько придёт новых гостей?
  3. Единица объяснила числу 28, что при таком условии новые гости к нему не придут: ведь если какое-либо число b – делитель числа а, а число с – делитель числа b, то с будет делителем и числа а. Проверьте это при а = 30: найдите все его делители и для каждого из них его делители.
  4. Чтобы утешить число 28, его гости соединились знаком “+”. И, о чудо, сумма оказалась равной самому числу 28! Единица сказала, что всякое число, которое равно сумме своих меньших делителей, называется совершенным. Так что 28 – совершенное число. Число 28 обрадовалось и спросило, какие есть ещё совершенные числа. Всезнающая единица объяснила, что совершенные числа встречаются очень редко: среди чисел до миллиона только 4 совершенных. Число 28 – единственное двузначное совершенное число, есть только одно трёхзначное совершенное число – 496 и только одно однозначное. Проверьте, что число 496 совершенное, и найдите однозначное совершенное число.
  5. Наступило 29 сентября, и число 29 тоже решило пригласить в этот день в гости своих наименьших делителей. Первой, как всегда, пришла единица. Кто ещё пришёл в гости? Что ещё можно сказать про число 29? Какое оно?
  6. Числам понравилось приглашать в гости своих делителей. Кто пришёл в гости 30 сентября, вы знаете, если выполнили задание в). И в октябре продолжался тот же обычай. Только одно число не дождалось гостей. Что это за число? Сколько раз оно само побывало в гостях?
  7. У каких чисел был только один гость? Что это за гость?

Задача 2

Клоун объявил, что сейчас найдёт наибольшее общее кратное чисел... Не успел он назвать числа, как публика засмеялась: все поняли, что клоун не сможет этого сделать. Объясните почему.

Задача 3

Длина комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комнате нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков возможный наибольший размер стороны такого квадрата? Сколько плиток такого размера понадобится?

Задачи решаются на листочках. Сдаются учителю на проверку, после чего решения обсуждаются.

V. Математический диктант (с применением компьютера)

Ответы на листочках, сдаются учителю, а решение остается на партах. Выполняется проверка. Учащиеся предварительно выставляют себе оценку, которая позже будет подтверждена или исправлена учителем. Учитель подводит итог урока.

После урока-зачета проводится контрольная работа по теме, в которой даются задачи разного уровня сложности, как это и предусмотрено на выпускных экзаменах.

Коррегирование контрольной работы. Каждый ученик имеет тетрадь для коррегирования. В ней он делает не только работу над ошибками, но и выполняет дополнительные задания, аналогичные тем, в которых допущена ошибка. Оценка за отработку контрольной работы выставляется в журнал.