Математические теории и методы сейчас проникли во все другие науки, начиная с биологии и психологии и кончая лингвистикой. Вряд ли можно указать сферу практической и духовной деятельности человека, где бы не применялись методы математического исследования. Если ранее математический аппарат преимущественно использовался как инструмент расчёта, то теперь ставится задача выбора наиболее эффективного решения проблемы, поиск оптимального варианта. Такого типа задачи привели к возникновению новых математических дисциплин: линейного и нелинейного программирования, теории массового обслуживания, теории игр, теории очередей и т.д.
Постановка задачи линейного программирования впервые прозвучала в работах российского экономиста А.Н. Толстого при составлении плана перевозки груза между пунктами так, чтобы общий пробег транспорта был наименьшим. Математические основы для решения задач линейного программирования были созданы в 1939 году академиком Л.В. Канторовичем и его учениками. Методы линейного программирования получили широкое распространение при решении экономических задач, в планировании производства, в сельском хозяйстве, в военном деле. Их значимость подчёркивается тем, что они реализованы в прикладных компьютерных программах (MS Excel) и могут использоваться при необходимости каждым, кто умеет работать на ПК.
Элементы линейного программирования – составная часть адаптированной программы “Программирование и информационные технологии” для физико-математических профильных групп10-11 классов гимназии. Теоретический материал по этой теме даётся в виде лекций, а отработка практических навыков осуществляется на практикумах, семинарах, ролевых играх.
На уроках – семинарах гимназисты решают задачи о диете, планировании прибыли предприятия или цеха, о раскрое материалов для производства продукции, о рентабельности фермерского хозяйства, о перевозках грузов или пассажиров и другие. Задачи предлагаются как индивидуально, так и малым группам учащихся. Для выступления на семинаре по решению поставленной задачи необходимо подготовить доклад и иллюстративный материал: плакаты, презентации, отчёт в форме документа MS Word, программу на знакомом языке программирования. Участники семинара имеют возможность задать докладчику вопросы и получить копию доклада в печатном виде или на электронном носителе.
Ролевая игра проводится как заседание начальников бюро отдела планирования прибыли фирмы “ПРОГРЕСС”. Начальники бюро получают заказы на расчёт прибыли от производства продукции, её транспортировки в магазины. Сотрудники бюро должны рассчитать и обосновать предлагаемое ими решение поставленной задачи. Начальники бюро отчитываются перед генеральным директором и его главными специалистами, отвечают на их вопросы, участвуют в планировании работы фирмы на будущее.
На практикумах отрабатываются навыки составления математической модели задачи и её решение в MS Excel и вручную методом преобразования таблиц с разрешающими элементами.
Задачи линейного программирования можно решать двумя методами: графическим, если задача содержит только два неизвестных, и симплекс-методом, если в задаче более двух неизвестных. Подавляющее большинство практических задач содержит значительно более двух неизвестных, поэтому симплекс–метод наиболее актуален. Для старшеклассников, с их сравнительно небольшим жизненным опытом, одним из интересных и сложных моментов является составление математической модели экономической задачи. При этом им приходится знакомится с новыми экономическими понятиями, специальной терминологией той отрасли хозяйства, с которой связана проблема. Математическая модель задачи представляет собой систему ограничений (она состоит из уравнений и/или неравенств), накладываемых на неизвестные и отражающую взаимосвязь между этими неизвестными, а также целевую функцию – зависимость оптимизируемого параметра от неизвестных. Целевую функцию надо максимизировать (получить наибольшую прибыль) или минимизировать (ограничить потребление питательных веществ только необходимым их количеством для нормальной жизни).
Симплекс-метод реализуется в три этапа:
- 1 этап – запись задачи в таблицу;
- 2 этап – определение допустимого решения;
- 3 этап – определение оптимального решения.
Для решения задачи симплексным методом система ограничений и целевая функция сначала записываются в таблицу определённым образом, а затем способом преобразования таблиц с разрешающим элементом неизвестные выражаются через свободные члены. Такой способ позволяет значительно рационализировать вычисления, формализовать процесс решения и значительно сократить количество записей. На третьем этапе нахождения оптимального решения проводятся заключительные преобразования таблицы по определённому правилу и результат готов (крайний правый столбец таблицы).
Для примера приведу решение ЗАДАЧИ О ДИЕТЕ.
Для откорма животных на ферме в их еженедельный рацион необходимо включать не менее 33 ед. питательного вещества А, 23 ед. питательного вещества В и 12 ед. питательного вещества С. Для откорма используется 3 вида кормов. Данные о содержании питательных веществ и стоимость одной весовой единицы каждого из кормов помещены в таблице:
| А | В | С | Стоимость 1 ед. | |
| В 1 ед. корма 1 | 4 ед. | 3 ед. | 1 ед. | 20 руб. |
| В 1 ед. корма 2 | 3 ед. | 2 ед. | 1 ед. | 20 руб |
| В 1 ед. корма 3 | 2 ед. | 1 ед. | 2 ед. | 10 руб |
Составить наиболее дешёвый рацион, при котором каждое животное получало бы необходимые количества питательных веществ А, В, С.
РЕШЕНИЕ
Обозначим через х1, х2, х3
количества кормов 1, 2 и 3 видов соответственно,
включаемых в еженедельный рацион. Тогда каждое
животное получит (4х1 + 3х2 + 2х3 )
ед. вещества А и это число не должно быть меньше 33,
т.е. 
Питательного вещества В каждое животное
получит (3х1 + 2х2 + х3 ) ед. и
питательного вещества С – (х1 + х2 + 2х3)
ед. и эти количества не должны быть меньше
соответственно 23 и 12, т.е. 
и 
При таком
расходовании кормов стоимость еженедельного
рациона будет Z = 20х1 + 20х2 + 10х3 ,
где 
1) Запишем задачу в таблицу:
| Х1 | Х2 | Х3 | 1 | |
| У1 = | 4 | 3 | 2 | -33 |
| У2 = | 3 | 2 | 1 | -23 |
| У3 = | 1 | 1 | 2 | -12 |
| Z = | 20 | 20 | 10 | 0 |
2) Определяем допустимые решения путём преобразования таблиц с разрешающими элементами (выделены курсивом)
| Х1 | Х2 | у2 | 1 | |
| У1 = | -2 | -1 | 2 | 13 |
| х3 = | -3 | -2 | 1 | 23 |
| У3 = | -5 | -3 | 2 | 34 |
| Z = | -10 | 0 | 10 | 230 |
3) Находим оптимальное решение
| Х1 | Х2 | у2 | 1 | |
| У1 = | -2 | -1 | 2 | 13 |
| х3 = | -3 | -2 | 1 | 23 |
| У3 = | -5 | -3 | 2 | 34 |
| Z = | -10 | 0 | 10 | 230 |
| у1 | Х2 | у2 | 1 | |
| х1= | 13/2 | |||
| х3 = | 7/2 | |||
| У3= | 3/2 | |||
| Z = | 5 | 5 | 0 | 165 |
Ответ: х1 = 6,5; х2 =0; х3 = 3,5; стоимость еженедельного рациона 165 руб.
А вот пример ЗАДАЧИ О ПЕРЕВОЗКАХ:
Автобаза обслуживает 3 овощных магазина, причём товар доставляется в магазин из 2 плодоовощных баз. Нужно спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной. Ежедневно вывозится с первой базы 12 т товара, со второй – 15 т. При этом завозится в первый магазин 8 т, во второй – 9 т, в третий – 10 т. Стоимость перевозки 1 т товара (в рублях) приведена в таблице.
БАЗА |
МАГАЗИНЫ |
||
1 |
2 |
3 |
|
| Первая | 0,80 | 1,10 | 0,90 |
| Вторая | 1,00 | 0,70 | 1,20 |
РЕШЕНИЕ
Обозначим через х1, х2, х3 количество товара, которое нужно доставить с первой базы соответственно в 1, 2, 3 магазины, а х4, х5, х6 - количество товара, которое нужно доставить со второй базы в те же магазины. Эти значения в соответствии с исходными данными должны удовлетворять следующим условиям:
х1 + х2 + х3 = 12
х3 + х 4+ х5 = 15
х1 + х4 = 8
х2 + х5 = 9
х3 + х6 = 10
Первые два уравнения этой системы описывают
количество товара, которое необходимо вывезти с
первой и второй баз, а три последних – сколько
нужно завезти товара в каждый магазин. К данной
системе уравнений нужно добавить систему
неравенств 
которая означает, что товар
обратно из магазинов на базы не вывозился. Общая
стоимость перевозок с учётом приведённых в
таблице расценок выразится формулой: Z = 0,8х1
+ 1,1х2+ 0,9х3 + х4+ 0,7х5+ 1,2х6.
Решение этой задачи можно выполнить в MS Excel.
Алгоритм решения задач оптимального
планирования подробно даётся в учебнике
“Информатика” авторы И. Семакин и Е. Хеннер и в
учебнике по информатике “Систематический
курс-10” авторы С. Бешенков, Е. Ракитина. Применяя
программу MS Excel для решения задач линейного
программирования, необходимо убедиться, что в
меню Сервис имеется пункт Поиск решения. Все
ограничения должны быть записаны со знаком 
, в
систему ограничений должны быть также включены
неравенства 
ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ПЕРЕВОЗОК |
||||||
| Показатели | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 | Х5 | Х6 |
2 |
0 |
10 |
6 |
9 |
0 |
|
| Ограничения: | Левая часть | Знак | Правая часть | |||
| Кол-во товара на 1 базе | 12 |
равно | 12 |
|||
| Кол-во товара на 2 базе | 15 |
равно | 15 |
|||
| Кол-во товара в 1 магазине | 8 |
равно | 8 |
|||
| Кол-во товара во 2 магазине | 9 |
равно | 9 |
|||
| кол-во товара в 3 магазине | 10 |
равно | 10 |
|||
| Положительность решений | ||||||
2 |
>= | 0 |
||||
0 |
>= | 0 |
||||
10 |
>= | 0 |
||||
0 |
>= | 0 |
||||
9 |
>= | 0 |
||||
0 |
>= | 0 |
||||
| Целевая функция: | 22,9 |
|||||
Ответ: минимальные затраты составят 22,9 денежных единиц; значения неизвестных видны в таблице.
При обучении старшеклассников важно, чтобы изученное имело практическое применение. Поэтому знакомство учащихся с элементами линейного программирования и методами оптимизации целесообразно проводить на задачах с практическим содержанием, близким к жизненным ситуациям. В настоящее время множество людей занимаются частным предпринимательством, фермерством, имеют свои фирмы. Естественно, что начинающему хозяину необходимо самому уметь рассчитать прибыльность бизнеса, да и грамотный контроль своего бухгалтера (доверяй, но проверяй!) никогда не бывает лишним.