С 1992 года в Российской Федерации осуществляется процесс эволюционного преобразования внешкольной работы и внешкольного воспитания в систему дополнительного образования детей. При этом дополнительное образование выступает, как мощное средство развития личности. В его процессе неисчерпаемы возможности создания ситуации успеха для каждого ребенка, что благотворно сказывается на воспитании и укреплении его личностного достоинства. Участие в различных видах деятельности дополнительного образования способствует самореализации личности, стимулирует ее к творчеству.
Наиболее эффективные результаты дает сочетание и взаимодействие базового и дополнительного образования.
Приведем в качестве примера блок занятий базового курса и дополнительного образования, посвященный теме “Четырехугольники”. В структуре блока можно выделить следующие основные этапы: знакомство с видами четырехугольников и их свойствами в оригами; продолжение знакомства с четырехугольниками и работа с чертежами; изучение частных видов четырехугольников, их свойств и признаков, лабораторная работа с диском; треугольники и четырехугольники, работа с шаблонами; опорные задачи; задачи на площади, лабораторная работа на равновеликость и равносоставленность; оригами – завершение работы и постановка новых задач для дальнейшего изучения.
На каждом этапе возникают вопросы для серьезной исследовательской работы. Эта форма работы реализуется в рамках дополнительного образования в виде индивидуальных консультаций. Конечный итог такой работы – участие в научных и научно-практических конференциях по математике или оригами.
Первый этап. Оригами и четырехугольники.
В маленьком квадрате бумаги, используемом для складывания фигурок оригами, содержится бесконечное множество скрытых возможностей. Спрятанные, едва уловимые, они принимают разнообразные формы – от выразительных животных до хитроумно смоделированных геометрических фигур. В прошлом люди, увлечённые оригами, делились на две категории: тех, кто был в поисках лирических форм, и тех, кто пытался следовать геометрическим принципам. Однако эти два принципа в оригами, соединяясь, дают наиболее интересные результаты. Изучение превращений квадратного листа бумаги – один из наиболее интересных путей к изучению серьёзных вопросов классической евклидовой геометрии, и не только.
Оригами - наглядная модель евклидовой геометрии. Поэтому на первом уровне знакомства с геометрическими фигурами оригами помогает открывать их свойства на интуитивном уровне, причем собираемая фигура может быть любой. Для первого знакомства даже желательно, чтобы она относилась к разряду занимательных фигур.
Приведем текстовое математическое описание построения одной из оригамских фигур.
Построить обе диагонали квадрата. Зафиксировать одну из них. На какие части одна диагональ делит квадрат? (Два равных равнобедренных прямоугольных треугольника).
В каждом из двух прямоугольных равнобедренных треугольников построить все биссектрисы. (Что такое биссектриса и как построить биссектрису перегибанием листа бумаги?) Какую фигуру мы выделили внутри квадрата? (Ромб). В чем отличия ромба и квадрата?
Перевернуть квадратный лист бумаги и построить линии, проходящие через вершину ромба, отличную от вершины квадрата, так, чтобы вершина квадрата, отличная от вершины ромба, попала на диагональ квадрата.
Согнуть лист по другой диагонали квадрата. Из каких многоугольников состоит получившаяся фигура? (Равнобокая трапеция и равнобедренный треугольник).
Отогнуть один равнобедренный треугольник по линии, проходящей через верхнее основание трапеции. Какая фигура получится из двух равных равнобедренных треугольников? (Ромб).
Для каждого из треугольников построить все биссектрисы и согнуть полученную фигуру по оси симметрии.
Фигура готова! (Рисунок 1).
Рис. 1
Основной итог практической работы: с точки зрения оригами наиболее интересные линии в любом четырехугольнике – диагонали. С диагоналями чаще всего работаем при построении какой-нибудь фигуры. Результаты практических экспериментов заносим в таблицу. Приоритеты четырехугольников в оригами несколько отличаются от классического курса геометрии. Наиболее часто встречаются при построении квадрат, ромб и дельтоид.
Вид четырехугольника |
Свойства четырехугольника, диагонали которого пересекаются |
||
Диагонали перпендикулярны |
Диагонали равны |
Число диагоналей, делящихся точкой пересечения пополам |
|
| Квадрат | + |
+ |
2 |
Ромб |
+ |
- |
2 |
Дельтоид |
+ |
+ |
1 |
Дельтоид |
+ |
- |
1 |
? |
+ |
+ |
0 |
? |
+ |
- |
0 |
Прямоугольник |
- |
+ |
2 |
Параллелограмм |
- |
- |
2 |
? |
- |
+ |
1 |
? |
- |
- |
1 |
? |
- |
+ |
0 |
? |
- |
- |
0 |
Второй этап. Работа с чертежами.
Работа второго этапа предполагается в форме лабораторных работ в альбоме по геометрии. На этом этапе продолжается накопление знаний на наглядно-интуитивном уровне.
1 задание. Примеры выпуклых и невыпуклых многоугольников. (Рисунок 2). Необходимость работы связана, на наш взгляд, с тем, что в базовом курсе учащиеся знакомятся только с выпуклыми многоугольниками. В олимпиадной же практике невыпуклые многоугольники встречаются достаточно часто.
Рис. 2
2 задание. Примеры правильных и неправильных многоугольников и четырехугольников. (Рисунок 3).
Рис. 3
3 задание. Четырехугольники и движения (Рисунок 4). Работа связана с тем, что в учебниках изображение каждого вида четырехугольников имеет строго определенное положение на странице. И поэтому, увы, часто встречается ситуация, когда квадрат, диагонали которого параллельны сторонам листа, называют ромбом.
Рис. 4
Третий этап. Частные виды четырехугольников.
Переход к доказательному изучению частных видов четырехугольников, их свойств и признаков. На этом этапе работа базируется на материале учебника Атанасяна С.Л. “Геометрия 7 – 9” и электронного учебника – справочника “Планиметрия” Станченко С.В. и Хованского С.А..
Четвертый этап. Работа с шаблонами.
Ученики делают набор шаблонных треугольников (это прямоугольные треугольники с углами 45° , 45° и 30° , 60° ). С помощью набора шаблонных треугольников проводятся следующие лабораторные исследовательские работы:
1. Решение задач планиметрии с помощью моделей.
2. Решение задач стереометрии с помощью моделей.
Пятый этап. Опорные задачи.
При решении опорных задач в качестве основных задачников используются материалы учебника Атанасяна С.Л. “Геометрия 7 – 9” и электронного учебника-справочника “Планиметрия” Станченко С.В. и Хованского С.А.. Электронный учебник-справочник позволяет организовать и различные формы контроля полученных знаний.
Шестой этап. Задачи на площади.
Кроме базовых задач, на этом этапе предполагается интуитивное знакомство с понятием равновеликости и равносоставленности многоугольников. Изучение проводится в форме лабораторной работы.
Фишкой полимино называется фигура, составленная из данного числа равных квадратов (равносторонних треугольников), удовлетворяющих условиям:
каждый квадрат (треугольник) примыкает хотя бы к одному соседнему, имеющему с ним общую сторону;
пересечение любых двух квадратов (треугольников) либо пустое, либо их общая сторона, либо их общая вершина;
если два квадрата (треугольника) имеют общую вершину, то либо они имеют общую сторону, либо они соединены квадратом (одним или двумя треугольниками), имеющим с данным по общей стороне.
Вариант № 1.
1. Составьте полный набор фишек квадратного тетрамино.
2. Используя полный набор фишек квадратного тетрамино (не разрезая их), составьте
а) квадрат 5 x 5 с вырезом в виде фишки пентамино;
б) прямоугольник 4 x 5.
3. Можно ли составить квадрат 4 x 4 из четырёх одинаковых фишек квадратного пентамино (рассмотрите каждую из фишек).
Вариант № 2.
1. Составьте полный набор фишек треугольного тетрамино.
2. Каждую фишку треугольного тетрамино разрежьте на части, из которых можно сложить квадрат.
3. Из полного набора фишек треугольного тетрамино составьте несколько многоугольников.
4. Из каких фишек треугольного тетрамино можно составить два правильных шестиугольника, имеющих общую сторону (сторона шестиугольника равна стороне треугольников, из которых составлены фишки).
Вариант № 3.
1. Составьте полный набор фишек квадратного пентамино.
2. Каждую фишку квадратного пентамино разрежьте на части, из которых можно составить квадрат.
3. Используя полный набор фишек квадратного пентамино (не разрезая их), составьте
а) квадрат 8 x 8 с квадратным вырезом 2 x 2 в центре (стороны выреза параллельны сторонам квадрата);
б) квадрат 8 x 8 с четырьмя квадратными вырезами 1 x 1, симметричными относительно центра квадрата.
Вариант № 4.
1. Составьте полный набор фишек квадратного пентамино.
2. Используя полный набор фишек квадратного пентамино, составьте
а) прямоугольник 3 x 20;
б) многоугольник, подобный одной (любой) из фишек пентамино, с коэффициентом подобия, равным 3 (в этом случае используются только 9 фишек пентамино).
3. Одну из фишек квадратного пентамино разрежьте на части, из которых можно составить квадрат.
Вариант № 5.
1. Составьте полный набор фишек треугольного гексамино.
2. Из полного набора фишек треугольного гексамино составьте фигуры
а) параллелограмм с острым углом 60° и сторонами 3 и 12;
б) ромб с острым углом 60° и стороной 6.
3. Одну из фишек треугольного гексамино разрежьте на части, из которых можно составить квадрат.
Седьмой этап. Оригами и свойства четырехугольников.
Удивительная особенность оригами заключается в том, что построение оригамской фигуры приводит к появлению множества геометрических вопросов и задач, требующих исследования и решения. Решенная задача приводит к созданию новых оригамских фигур, уже авторских. Таким образом, решение задач превращается в творческий процесс, результатом которого является новая, ранее не существовавшая фигура оригами. Изученные свойства четырехугольников также очень необычным образом применяются в оригами. Исследования проводятся в индивидуальной форме. Возможны выходы в темы “Движения плоскости”, “Векторная геометрия”, “Геометрия многогранников”.