I. Отработка определения модуля:
1) Покажите на числовой прямой числа, для которых выполняется условие:
а) |x|=2; б) |-x|=5; в) |x|=0; г) |x|=-2; д) |-2x|=6; е) |3x|=12.
2) При каких значениях x верно равенство:
а) |x|=x; б) |-x|=-x; в) |x|=-x; г) |5y|=5y; д) |-4a|=4a.
3) Освободитесь от знака модуля в выражении:
а) |x| при x>0; x<0,
б) |2a| при a<0; a>0,
в) |x2|,
г) |-3a| при a>0; a<0,
д) |x+1| при x
-1;
x<-1,
е) |3x-6| при x<2; x>2,
ж) |-5x+15| при x
3;
x<3.
4) Заполните пропуски:
а) при x>-4 |3x+12|=…; б) при x<… |8-4x|=8-4x; в) при x…3 |3-x|=x-3.
5) Раскройте модуль и упростите полученное выражение:
а) 3|x-2|+2x при x>2;
б) |-5+15|-4x при x>3;
в) |2x-4|+|6-3x| при x>2;
г) |0,5x+4|-|x+8| при x<-8.
6) Решите уравнение:
а) |2a|=4; б) |-6x|=12; в) |4x-3|=0; г) |3x+5|=-4; д) |3-7x|=0; е) |1+6x|=-5; ж)
|3x+5|=4; з) |2x-3|=7; и) |3-7x|=10; к) |1+6x|=5; л)
; м) |-
x+4|+5=1; н) |5-0,5x|-4=2; о) ||x-3|+2|=4; п) |5-|2x+4||=1.
II. Решение уравнений, содержащих модули, с применением метода интервалов. (Замечание: числа, в которых подмодульное выражение обращается в нуль, мы называем “граничные”).
Задание (С оформлением решения):
|3x+4|+2|x-3|=16;
3x+4=0; x-3=0;
x=-
. x=3.
-
и 3 –
граничные числа
1 случай: x<-
;
-(3x+4)+2(-(x-3))=16;
-3x-4-2x+6=16;
-5x+2=16;
-5x=14;
x=-2,8.
Проверка: -2,8<-
– верно, следовательно x =-2,8 – корень
данного уравнения.
2 случай: -
x
3;
3x+4-2(x-3)=16;
3x+4-2x+6=16;
x+10=16;
x=6;
Проверка: -
6
3 – неверно, следовательно х=6 – не
является корнем данного уравнения
3 случай: x>3;
3x+4+2(x-3)=16;
3x+4+2x-6=16;
5x-2=16;
5x=18;
x=3,6.
Проверка: 3,6>3 – верно, следовательно x=3,6 – корень данного уравнения.
Ответ: -2,8; 3,6
Задания:
а) |3x-1|=x+2;
б) |2x+1|=|2x-2|;
в) |x+4|-|2x+1|=2;
г) |2x-3|-|x+1|=3;
д) |x-1|+|x+1|=2;
е) |1-x|+4x=|x|+15;
ж) |x|-|x-2|=2.
III. Решение неравенств вида |x|<a, |x|>a.
1) Подготовительные задания:
а) изобразите на координатной прямой множество точек, удовлетворяющее условию:
x>-3; -2
x
2;
;
.
б) Приведите примеры чисел, модули которых были бы: равны 3; меньше 3; больше 3; меньше или равны 5; больше или равны 5.
в) Изобразите эти множества чисел (из задания б)) на координатной прямой:
г) Обобщите полученные сведения (вывод записать или в виде уравнения, или в виде неравенства):
|x|=3<=>
;
|x|<3<=>-3<x<3;
|x|>3<=>
;
|x|
5<=>-5
x
5;
|x|
5<=>
.
Общий вывод:
при a>0 |x|
a<=>-a
x
a;
|x|
a<=>
.
частные случаи:
а) |x|
-3; б) |x|
-4; в) |x|
0;
x
.
x
R. x=0.
2) Решите неравенства вида |x|>a, |x|<a.
Задание 1 (с оформлением решения):
|5x-4|
1<=>-1
5x-4
1;
3
5x
5;
x
1;
Ответ: [
;1]
Задание 2 (с оформлением решения):
Задания:
а) |x-2|>1; б) |x-3|<1; в) |x-2|
4; г) |x+4,2|
5;
д)|x+5|<2; е) |x+8,1|>1,9; ж) |x-3|
5; з) |y+100|>20; и) |2x-3|>5; к) ||x-4|-1|
5.
IV Решение неравенств с модулем с использованием метода интервалов.
Задание 1 (с оформлением решения):
|x-2|
4x-3;
x-2=0;
x=2;
2 – граничное число.
1 случай: x<2;
-(x-2)
4x-3;
-x+2
4x-3;
-5x
-5;
x
1.
Проверка:
x 
[1;2)
2 случай: x
2;
x-2
4x-3;
-3x
-1;
x
.
Проверка:
x
[2;+
);
[1;2)
[2;+
)=[1;+
);
Ответ: [1;+
).
Задания:
а) |2x-3|<x+1; б) 4x-|x+1|>5; в) |x-2|>|3x+2|; г) |x+1|-|3x+6|
2; д) 2|x+1|
4x-1; е)
.
V. Кусочное задание функции
Задание (с рассмотрением решения):
f(x)=
.
Найти:
а) f(-3), f(0), f(2), f(4);
б) x, если f(x)=5;
в) построить график функции f(x).
Решение:
а) f(-3)=-(-3)=3;
f(0)=0,5•0+3=3;
f(2)=0,5•2+3=4;
f(4)=6-4=2.
б) если f(x)=5, то
-x=5;
x=-5;
-5<-2 верно.
0,5x+3=5;
0,5x=2;
x=4;
-24
2 неверно.
6-x=5;
-x=-1;
x=1;
1>2 неверно.
f(-5)=5.
в) график
f(x)=
.
Задание:
а) f(x)=
;
б) f(x)=
;
в) f(x)=
;
VI. Построение графиков функций, содержащих модуль.
Задание 1 (с оформлением решения):
y=|3x-6|;
3x-6=0;
x=2.
1 случай: x<2;
y=-3x+6.
2 случай: x
2;
y=3x-6.
Задаём функцию кусочно:
y=
;
Задание 2 (с оформлением решения):
y=|x-2|-|x+3|;
x-2=0; x+3=0;
x=2. x=-3.
2 и -3 – граничные числа.
1 случай: x<-3;
y=2-x+x+3;
y=5.
2 случай: -3
x<2;
y=2-x-x-3;
y=-2x-1.
3 случай: x
2;
y=x-2-x-3;
y=-5.
Задаём функцию кусочно:
y=
;
Задания:
а) f(x)=|-2x+4|; б) f(x)=|5-2x|; в) f(x)=|2x+4|-|x-1|; г) f(x)=3x-|x+2|; д) f(x)=|3x+6|-|x+2|.
Замечания: Данные вопросы рассматриваются в 6 классе, если есть возможность, объяснить учащимся темы: “Неравенства. Линейные неравенства”, “Функция. Линейная функция”, “Множества. Числовые промежутки”. Это возможно или при расширенном изучении математики, или на спецкурсе. Я работаю по расширенной программе.