Решение простейших показательных уравнений

Миронова Людмила Евгеньевна

Цель урока: научить распознавать, соотносить с принципом решения и решать показательные уравнения.

Задачи урока:

сформировать аналитические навыки по группировке примеров по способам их решения;
выработать у учащихся умение решать показательные уравнения различными способами;
реализовать “обратную связь” через самостоятельную работу (таблица), проверить, как усвоены способы решения показательных уравнений.

Тип урока: сообщение новых знаний.

Аудитория: 11-й класс.

Ход урока.

1. Слово учителя: дается определение: уравнение, содержащее переменную только в показателе степени, называется показательным.

2. Рассмотрим примеры решения показательных уравнений.

Приведение показательных уравнений к виду а^f1(x)=а^f2(х)
	=8^2х	=8^2х;⁷ =(2³)^2х 2^7/3 = 2^6х6х= х=
	· =	= Х =3
	2^х· 5^х= 10 ^–1· 10 ^3х–3	2^х·5^х =10^–1·10^3х–3 10^х = 10^3х–4; Х=3х–4; Х=2
Вынесение общего множителя за скобки.
	3^х – 2•3 ^х–2 = 63	3^х – 2•3 ^х–2 = 63 3^х–2·(3²–2)=63 3^х–2·7=63 3^х–2=3²х–2 =2 х=4
	5^{2х – 3} – 5^2х + 2^2х + 2^{2х + 2} = 0	2^2х+2^2х+2=5^2х–5^2х–1 2^2х·(1+2²) = 5^2х·(1–) 2^2х·5 = 5^2х· = 2х=2; х=1
	2^{3 +2} – 2^{3 +1}= 12+ 2^{3 +1}	^–1· (2³–2²–1) = 12 х>0 ^3–12 = 2² 3–1 = 2 х =1

Приведение показательных уравнений к виду а^2х+ а^х = b
	7^2х – 8•7^х + 7 =0		Пусть 7^х+у, тогда у²–8у+7=0 у₁=1 у₂=7 7^х=1 х₁=0 7^х= 7 х₂=1 Ответ х₁=0; х₂=1
	2^2+х– 2^2–х =15		2²· 2^х– = 15 2^х=у 4у–=15 4у²–15у–4=0 у не равен 0 у₁=4 или у₂= –1/4 2^х=4 или 2^х=–1/4 2^х=2² х=2 уравнение 2^х= – не имеет решения, т.к. 2^х>0 ответ х=2
	2^2х+6^х= 2•3^2х		2^2х+2^х·3^х=2•3^2х =у у²+у+2=0 у₁=–2 или у₂=1, т.к. у=()>0 то у=1 =1 х=0 ответ х=0
Графическое решение показательных уравнений
Решить уравнение 2^х=х Решить уравнение 2^–x=x²–2x Строим график функций y=2^–x и y=x²–2x Из чертежа приближенно находим абсциссы точек пересечения графиков, являющихся решениями данного уравнения: x» –0,5; x» 2,2
		Графики функций не пересекаются, поэтому уравнение 2^x=x не имеет решений.

3. Работа учащихся: Сгруппируйте в таблицу упражнения по способам решения (решать не надо).

5 = 625	3^2х+5=3^х+2+2	125^1+х·25^х–2=625^х
2^{х–6х–2,5}=16	3^2х+5=3⁰	=1
5^х+3•5^х–2=140	3^х=	2х²+ах–а²=0
=0,01	625–5^х+1=0	5х–3=–7
7^х+2+2•7^х–1=345	=1	cos4x=–2cos²x
3 ^х + 3 ^х+1+3^х+2= 5 ^х +5 ^х+2	5^х+6–5^х+4=600	=
4^х–9•2^х +8 +0	3^х–5+3^х–8–3^х–6=57	3^2х=81
2^х=х+2	5^х+1– ^2х=0	· 2^х=
8^х+18^х–2•27^х=0	3^х+1·4^2х–1=1728	sin2x+3tgx=5
=	– 3^2х–1=0	ху =42
5^х+1–5^х–1=24	2^х+2+2^х+4+2^х+5=104	lg(x²+y)=2

Такая самостоятельная работа учащихся дает возможность освоить способы решения осмысленно.

Вид показательного уравнения	Способ решения	Пример
А^f1(x)=A^f2(x)
А^f(x)=b
А^f(x)=b^f(x)
a^2f(x)+b А^f(x)+c=0
“Лишние” уравнения

4. Практикум по решению показательных уравнений

Вариант №1	Вариант №2	Вариант №3
Решите уравнения
2^х=4 3^х=81 4^х=2	9^х=27 3^х=9 4^х=64	5^х=25 6^х=216 100^х=10000
5^х=– ; =4; 7^х=1	6^х= ; =27; 8^х=1	8^х= ; =125; 5^х=1
=25; 7^–х= –;	=36; 8^–х= –;	=16; 5^–х= –;
=1 2^6–х=2^3х–2 2^х– 2^х–2 =3	=1 3^5–х=3^2х–1 5^х+1– 5 =500	=1 4^9–х=4^2х–7 3^х–2– 3^х–3 =36
3^х+3– 2•3^х–1–4•3^х–2 =17	2•3^х+1 +2•3^2–х =56	2^х+ 2^х–1 +2^х–2 =3^х–3^х–1+3^х–2

Решите уравнение вынесением за скобки
2^х+2^х–1 +2^х–2 56 10^х+10^х–1=1100 3^х+3^3–х=12	2•3^3х–1+27^х–2/3=9^х–1+2•3^2х–16^х+6^х+2=222	3^х+1–4:3^х–1=45 2^х+2^х+2=40 2^2х+6+2^х+7=17
Решите уравнение графически
2^х=х–1	0,5^х =2х	х =3^х–2

Результаты урока. Урок проводится в течение 5 лет в выпускных классах и дает положительный результат: а) в ходе урока каждый ученик получает по 2 оценки (за заполнение таблицы и за практикум); средний балл = 4,02; б) при решении экзаменационной итоговой работы за курс средней школы показательное уравнение или неравенство решают 98% учащихся.

3.11.2003