Факультативный курс для учащихся 10—11-х классов "Задачи с параметрами" в курсе алгебры и начала анализа

Разделы: Математика


Объяснительная записка

Данная программа факультативного курса разработана в соответствии с идеей реализации методов формирования у учащихся 10–11 классов умений и навыков решать базовые виды задач с параметрами, а также усвоение дополнительных сведений, идей и подходов в этой области.

В последние годы задачи с параметрами (и прежде всего, уравнение и неравенства с одним параметром) постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в вузах, но и в контрольных в школе. Практика же выпускных и вступительных экзаменов по математике в форме ЕГЭ показывает, что задачи о параметрами представляют и для учащихся, и для абитуриентов наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу этих экзаменов.

Однако в учебниках алгебры крайне мало задач, содержащих параметры, а эти задачи стали вызывать повышенный интерес не только у сильных учащихся, но и увлекать тех ребят, которые достаточно хорошо владеют школьной программой. Школьная же программа не предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры, всеми учащимися, и поэтому более глубокое изучение возможно только на внеклассных занятиях. Тем более, что специфика задач c параметрами заключается в частном изобилии возможных вариантов и подвариантов, на которые распадаются основной ход решения в особых, допустимых и недопустимых значений параметра, в необходимости иногда выполнять большой объем работы по "собиранию" и систематизации ответа. И очень часто нельзя дать универсальных указаний по решению таких задач.

Таким образом, основные цели программы факультативного курса таковы :

– повысить математическую культуру учащихся при решении параметрических задач в рамках школьного курса математики;
– облегчить процесс обучения учеников методам решения как базовых видов задач c параметрами, так и более сложных нестандартных задач, применяя наряду с обычными методиками элементы алгоритмизации ;
– повысить логическое мышление учащихся;
– сформировать и отработать навыки исследовательской деятельности учащихся на содержательном теоретическом материале и специально подобранных практических упражнениях

Принципами построения курса являются:

– принцип системности (преемственность знаний);
– принцип дифференциации (развитие склонностей к работе на различных уровнях сложности);
– принцип междисциплинарной интеграции (выход на сложные науки);
– принцип вариативности подачи материала;
– принцип увлекательности.

Некоторые особенности предлагаемого варианта программы:

– в её основу положена программа по алгебре и началам анализа в общеобразовательных учреждениях;
– в соответствии с учебным планом школы на изучение курса отведено в 10 классе – 2 часа в неделю, в 11 классе – 1 час в неделю;
– возможна корректировка содержания программы в соответствии с задачами обучения, учитывая подготовленность класса, интересы учащихся.

Значительное место при изучении факультативного курса отведено самостоятельной математической деятельности учащихся – решению задач, проработке теоретического материала, подготовке сообщений и т.д.

В результате изучений курса учащиеся должны уметь:

– четко и последовательно сохранять равносильность решаемых уравнений и неравенств с параметром с учетом области определения выражений;
– учитывать выполнимость всех производимых операций;
– применять стандартные задачи с квадратным трехчленом (расположение точек относительно корней) к решению более сложных параметрических задач;
– производить отбор (параметрический) решений совокупностей и /или систем линейных, квадратных,показательных,логарифми-ческих,тригонометрических уравнений, сводя их к простейшим;
– использовать стандартные свойства элементарных функций и их графиков при решении задач с параметром, содержащих элементы математического анализа;
– осознавать, распознавать и создавать собственные алгоритмы решения параметрических задач.

СТРУКТУРИРОВАННОЕ СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

10 класс

Раздел 1 Линейные уравнения и неравенства с параметром ( 8 час)

Введение. Линейные уравнение и неравенства с параметром. Параметр в системах линейных уравнений и неравенств. Уравнение прямой в задачах.

Дробно-линейные уравнений и неравенства с параметром. Гипербола в задачах с параметром.

Раздел 2 Квадратные уравнения и неравенства с параметром (12 час)

Расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек.

Квадратная парабола в задачах с параметром. Параметр в квадратных уравнениях и неравенствах, системах.

Раздел 3 Иррациональные уравнения и неравенства о параметром (16 час)

Область допустимых значений уравнения и нахождение корней.

Параметр в иррациональных уравнениях и неравенствах.

Нестандартные методы решения задач.

Графический метод.

Параметр в алгебраических системах уравнений и неравенств;

Раздел 4 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметром (16час)

Показательная и логарифмическая функция в задачах с параметром.

Параметр в логарифмических и показательных уравнениях и неравенствах.

Раздел 5 Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром (16 час)

Параметр в простейших тригонометрических уравнениях и системах уравнений, неравенствах. использование графиков тригонометрических функций.

Применение ограниченности тригонометрических функций при решении задач с параметром.

Параметр в уравнениях, содержащих символы обратных тригонометрических функций.

11 класс

Раздел 1 Производная. Задачи с параметрами на координатной плоскости. (12час) Касательная к кривой.

Критические точки.

Монотонность;

Наибольшие и наименьшие значения функции.

Оценки.

Построение графиков функций.

Раздел 2 Первообразная. Интеграл. Применение первообразной и интеграла к решению задач, содержащих параметр (12 час)

Площадь плоской фигуры.

Объем тела. Механическая работа.

Координаты центра масс.

Путь, пройденный материальной точкой.

Задачи на составление уравнений с параметром;

Повторение (10 час)

Занятие “Производная в задачах с параметром”

Занятие проводятся в групповой форме работы. Каждая группа получает задачи разной степени сложности.

Часть 1. Решение задач по группам.

Задачи 1 группы

1. При каких значениях функция возрастает по всей числовой оси F(x)= 2ех-ае+(2а+1)х–3?

2. При каких значениях а точки экстремума функции F(x)=х3–3ах2+3(а2–1)х-1 лежат на отрезке

(–2;4)

3. При каких значениях а стационарные точки функции F(x)= 1/3х3–ах2+(а+2)х меньше 1?

Задачи 2 группы.

1. При каких значениях а функция F(x)=х3+3(а–7)х2+3(а2–9)х–1 имеет положительную точку максимума?

2. Найти все значения t такие, что функция у=2х3–3х2+7 возрастает в интервале (t–1; t +1)

3. При каких значениях а точка хо=а является точкой минимума функции у=2х3–3(а+1)х2+6ах–1?

 Задачи 3 группы.

1. При каких значениях а уравнение х+1=х+а имеет решение?

2. При каких значениях 2 хорда параболы у=а2х2+5ах–4, касающаяся кривой у=1/1–х в точке с абсциссой х0=2 делится этой точкой пополам?

Часть 2. Программированный контроль.

1. При каких значениях а функция у=(а+2)х3–2ах2+9ах–1 убывает на всей числовой оси?

Ответ:

  1. а меньше –2, а больше 0
  2. а меньше –3
  3. а меньше –3, а больше 0

2. Для каких а число 1 лежит между стационарными точками функции F(x)=1/3х3–ах2+(2а2–4а+3)х?

Ответ:

  1. а больше 1, но меньше 2
  2. а больше 1, но меньше 3
  3. а меньше 2

3. При каких m значение экстремумов функции F(x)=2/3х3–(2,5m–1,5)х2+х+1 равны по модулю, но противоположны по знаку?

Ответы:

  1. х=3/5
  2. х=1/2
  3. таких m нет

4. Найдите все значения р такие, что функция у=-х3+3х+5 убывает в интервале (р;р+ 1/2)

Ответ:

  1. р больше или равно 1
  2. р меньше или равно –1,5 или р больше или равно 1
  3. р меньше или равно –1,5