Объяснительная записка
Данная программа факультативного курса разработана в соответствии с идеей реализации методов формирования у учащихся 10–11 классов умений и навыков решать базовые виды задач с параметрами, а также усвоение дополнительных сведений, идей и подходов в этой области.
В последние годы задачи с параметрами (и прежде всего, уравнение и неравенства с одним параметром) постоянно встречаются не только на вступительных экзаменах в вузах, но и в контрольных в школе. Практика же выпускных и вступительных экзаменов по математике в форме ЕГЭ показывает, что задачи о параметрами представляют и для учащихся, и для абитуриентов наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу этих экзаменов.
Однако в учебниках алгебры крайне мало задач, содержащих параметры, а эти задачи стали вызывать повышенный интерес не только у сильных учащихся, но и увлекать тех ребят, которые достаточно хорошо владеют школьной программой. Школьная же программа не предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры, всеми учащимися, и поэтому более глубокое изучение возможно только на внеклассных занятиях. Тем более, что специфика задач c параметрами заключается в частном изобилии возможных вариантов и подвариантов, на которые распадаются основной ход решения в особых, допустимых и недопустимых значений параметра, в необходимости иногда выполнять большой объем работы по "собиранию" и систематизации ответа. И очень часто нельзя дать универсальных указаний по решению таких задач.
Таким образом, основные цели программы факультативного курса таковы :
– повысить математическую культуру учащихся при решении параметрических задач в рамках школьного курса математики;
– облегчить процесс обучения учеников методам решения как базовых видов задач c параметрами, так и более сложных нестандартных задач, применяя наряду с обычными методиками элементы алгоритмизации ;
– повысить логическое мышление учащихся;
– сформировать и отработать навыки исследовательской деятельности учащихся на содержательном теоретическом материале и специально подобранных практических упражнениях
Принципами построения курса являются:
– принцип системности (преемственность знаний);
– принцип дифференциации (развитие склонностей к работе на различных уровнях сложности);
– принцип междисциплинарной интеграции (выход на сложные науки);
– принцип вариативности подачи материала;
– принцип увлекательности.
Некоторые особенности предлагаемого варианта программы:
– в её основу положена программа по алгебре и началам анализа в общеобразовательных учреждениях;
– в соответствии с учебным планом школы на изучение курса отведено в 10 классе – 2 часа в неделю, в 11 классе – 1 час в неделю;
– возможна корректировка содержания программы в соответствии с задачами обучения, учитывая подготовленность класса, интересы учащихся.
Значительное место при изучении факультативного курса отведено самостоятельной математической деятельности учащихся – решению задач, проработке теоретического материала, подготовке сообщений и т.д.
В результате изучений курса учащиеся должны уметь:
– четко и последовательно сохранять равносильность решаемых уравнений и неравенств с параметром с учетом области определения выражений;
– учитывать выполнимость всех производимых операций;
– применять стандартные задачи с квадратным трехчленом (расположение точек относительно корней) к решению более сложных параметрических задач;
– производить отбор (параметрический) решений совокупностей и /или систем линейных, квадратных,показательных,логарифми-ческих,тригонометрических уравнений, сводя их к простейшим;
– использовать стандартные свойства элементарных функций и их графиков при решении задач с параметром, содержащих элементы математического анализа;
– осознавать, распознавать и создавать собственные алгоритмы решения параметрических задач.
СТРУКТУРИРОВАННОЕ СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
10 класс
Раздел 1 Линейные уравнения и неравенства с параметром ( 8 час)
Введение. Линейные уравнение и неравенства с параметром. Параметр в системах линейных уравнений и неравенств. Уравнение прямой в задачах.
Дробно-линейные уравнений и неравенства с параметром. Гипербола в задачах с параметром.
Раздел 2 Квадратные уравнения и неравенства с параметром (12 час)
Расположение корней квадратичной функции относительно заданных точек.
Квадратная парабола в задачах с параметром. Параметр в квадратных уравнениях и неравенствах, системах.
Раздел 3 Иррациональные уравнения и неравенства о параметром (16 час)
Область допустимых значений уравнения и нахождение корней.
Параметр в иррациональных уравнениях и неравенствах.
Нестандартные методы решения задач.
Графический метод.
Параметр в алгебраических системах уравнений и неравенств;
Раздел 4 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметром (16час)
Показательная и логарифмическая функция в задачах с параметром.
Параметр в логарифмических и показательных уравнениях и неравенствах.
Раздел 5 Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром (16 час)
Параметр в простейших тригонометрических уравнениях и системах уравнений, неравенствах. использование графиков тригонометрических функций.
Применение ограниченности тригонометрических функций при решении задач с параметром.
Параметр в уравнениях, содержащих символы обратных тригонометрических функций.
11 класс
Раздел 1 Производная. Задачи с параметрами на координатной плоскости. (12час) Касательная к кривой.
Критические точки.
Монотонность;
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Оценки.
Построение графиков функций.
Раздел 2 Первообразная. Интеграл. Применение первообразной и интеграла к решению задач, содержащих параметр (12 час)
Площадь плоской фигуры.
Объем тела. Механическая работа.
Координаты центра масс.
Путь, пройденный материальной точкой.
Задачи на составление уравнений с параметром;
Повторение (10 час)
Занятие “Производная в задачах с параметром”
Занятие проводятся в групповой форме работы. Каждая группа получает задачи разной степени сложности.
Часть 1. Решение задач по группам.
Задачи 1 группы
1. При каких значениях функция возрастает по всей числовой оси F(x)= 2ех-ае-х+(2а+1)х–3?
2. При каких значениях а точки экстремума функции F(x)=х3–3ах2+3(а2–1)х-1 лежат на отрезке
(–2;4)
3. При каких значениях а стационарные точки функции F(x)= 1/3х3–ах2+(а+2)х меньше 1?
Задачи 2 группы.
1. При каких значениях а функция F(x)=х3+3(а–7)х2+3(а2–9)х–1 имеет положительную точку максимума?
2. Найти все значения t такие, что функция у=2х3–3х2+7 возрастает в интервале (t–1; t +1)
3. При каких значениях а точка хо=а является точкой минимума функции у=2х3–3(а+1)х2+6ах–1?
Задачи 3 группы.
1. При каких значениях а уравнение х+1=х+а имеет решение?
2. При каких значениях 2 хорда параболы у=а2х2+5ах–4, касающаяся кривой у=1/1–х в точке с абсциссой х0=2 делится этой точкой пополам?
Часть 2. Программированный контроль.
1. При каких значениях а функция у=(а+2)х3–2ах2+9ах–1 убывает на всей числовой оси?
Ответ:
- а меньше –2, а больше 0
- а меньше –3
- а меньше –3, а больше 0
2. Для каких а число 1 лежит между стационарными точками функции F(x)=1/3х3–ах2+(2а2–4а+3)х?
Ответ:
- а больше 1, но меньше 2
- а больше 1, но меньше 3
- а меньше 2
3. При каких m значение экстремумов функции F(x)=2/3х3–(2,5m–1,5)х2+х+1 равны по модулю, но противоположны по знаку?
Ответы:
- х=3/5
- х=1/2
- таких m нет
4. Найдите все значения р такие, что функция у=-х3+3х+5 убывает в интервале (р;р+ 1/2)
Ответ:
- р больше или равно 1
- р меньше или равно –1,5 или р больше или равно 1
- р меньше или равно –1,5