Согласно новой форме аттестации девятиклассников в список заданий включены задачи по геометрии. Даже обучение решению базовых задач в основной школе - дело непростое, а уж решение задач повышенной сложности по геометрии требует особо тщательной подготовки к уроку.
Поделюсь с вами опытом разбора одной интересной геометрической задачи из второй части варианта для ГИА.
Здесь же представлю на ваш суд решения и одного алгебраического задания, в котором дети предложили разные способы решения.
С большим интересом слежу за опытом коллег по подготовке к ГИА на нашем сайте Фестивале «Открытый урок».
Задача
Высоты
треугольника АВС пересекаются в точке Н, а медианы - в точке М. Точка К – середина
отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что АВ = 6, СН =
3, 
ВАС = 45o;.
Решение.
Выполняя рисунок к задаче, большинство учеников добросовестно провели все три высоты треугольника, помня о том, что они непременно пересекутся в одной точке. Затем – все три медианы, которые тоже пересекаются в своей общей точке, делящей каждую из них в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины. А при поиске ответа на вопрос задачи понадобились и другие дополнительные построения. В результате получился малопонятный рисунок, а до финиша дошёл только один ученик.
Но уже на этапе проведения высот мыслящий ученик должен был задать себе вопрос: «А как проводить высоты, если я не знаю, каковы углы треугольника?» Если треугольник тупоугольный, то две его высоты пройдут вне треугольника. Если прямоугольный, то эта точка есть вершина прямого угла. И только в остроугольном треугольнике точка пересечения высот окажется во внутренней области треугольника.
Эта задача методически интересна тем, что здесь полезно начать выполнение рисунка с попытки построения треугольника АВС по трём данным элементам, о которых говорится в условии задачи.
Именно этот метод часто оказывается благодарным в поисках пути решения многих трудных задач по геометрии.
Итак, сначала ставим перед собой проблему построения треугольника АВС. Поэтапно у нас с девятиклассниками получилось так:
- два луча, образующие угол в 45 градусов;
- откладываем АВ=6 (любые 6 равных отрезков);
- проводим перпендикуляр ВВ1 на горизонтальную сторону угла;
ВВ1 и будет одной из высот ещё не построенного треугольника АВС;
- поскольку треугольник АВ1В равнобедренный прямоугольный, то его медиана B1C2, проведённая из вершины прямого угла и задаёт направление будущей второй высоты ∆АВС, проведённой к стороне АВ. Заодно по пути заметим, что длина этой медианы равна 3.
Где же искать вершину С?
Пока нам известно, что точка Н где-то на высоте ВВ1, направление СН перпендикулярно прямой АВ, СН=3 ( как и отрезок В1С2). Где Н? Где С?
Построив параллелограмм В1С2НС, мы и обнаружим вершину С и вторую высоту (СС1) треугольника АВС.
Поделив медиану С2С на три равные части, легко отыскать точку М.
Из точек С2, М, К опустим перпендикуляры на сторону АС. Построим треугольник АКС, площадь которого требуется найти в задаче.
ММ1:С2D = 2:3
ММ1
= 
C2D = ∙ 1,5
=
C2D = HB1 = B1C = 1,5
Средняя линия КК1 трапеции М1МНВ1 равна полусумме ММ1 и НВ1
КК1
= 0,5 × (
1,5
АС = АВ1
+ В1С = 31,5
S∆АКС = 0,5×АС×КК1 = 0,5×4,5
Ответ: 5,625
Решить уравнение
(х + 4)(х + 5)3 = (х + 5)(х + 4)3
Решение.
(х + 4)(х + 5)3 - (х + 5)(х + 4)3= 0;
(х + 4)(х + 5)((х + 5)2 – (х + 4)2) = 0;
(х + 4)(х + 5)(х + 5 – х – 4)(х + 5 + х + 4) = 0;
(х + 4)(х + 5)(2х + 9) = 0.
Произведение двух или нескольких выражений равно нулю, если значение хотя бы одного из этих выражений равно нулю, а другие при этом не теряют смысла.
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Ответ: -5; -4,5; -4.
Один из моих учеников предложил другой путь.
(х + 4)(х + 5)3 = (х + 5)(х + 4)3
Легко видеть, что числа -4 и -5 являются решениями данного уравнения:
(-4 + 4)(-4 + 5)3 = (-4 + 5)(-4 + 4)3 - верное равенство;
(-5 +4)(-5 + 5)3 = (-5 + 5)(-5 +4)3 - тоже верное равенство.
Осталось проверить, есть ли решения среди значений значений х, отличных от -4 и -5.
Если обе части этого уравнения разделить на одно и то же число (x+4)(x+5), не равное нулю, то получим уравнение, равносильное данному на множестве чисел, не равных ни -5, ни -4.
(х + 5)2 = (х +4)2
Квадраты чисел равны в том и только в том случае, если эти числа либо равны, либо противоположны.
х + 5 = х + 4 или х + 5 = -х -4
или х = -4,5
Ответ: -5; -4,5; -4.
Можно согласиться с этим способом решения, но методически этот путь опасен вот чем. Помните «правило Штирлица»? Прочнее всего задерживается в памяти информация, высказанная в конце разговора. Вот и найдётся у нас школьник, который в похожем задании на первом же шаге, не задумываясь, сократит обе части уравнения на выражение, содержащее переменную, что может привести к потере корней. Только с очень аккуратными ребятами можно разобрать и рекомендовать этот путь решения.
Надеюсь, мои методические соображения, высказанные в данной статье, пригодятся коллегам.