Цель:
- Обобщить и закрепить навыки решения квадратных уравнений ах2 + вх + с = 0, в которых а + в + с = 0; продолжить развивать навыки устного решения таких уравнений.
- Способствовать выработке у школьников желания и потребности обощения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.
- Обеспечить закрепление теоремы на интересных примерах.
Оборудование:
- Кодоскоп
- Карточки тесты
- Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся
- Сигнальные карточки.
Ход урока
I Повторение пройденного материала
1) Устная работа через кодоскоп с применением сигнальных карточек. Если ученик готов отвечать, то зеленая, нет – красная. Согласен с ответом – зеленая, не согласен – красная.
| А) 5х2 – 7х + 2 = 0 | [т.к. а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 =  ] |
| Б) х2 – 12х + 35 = 0 | [по обратной теореме Виета х1 = 7, х2 = 5] |
| В) 313х2 + 326х + 13 = 0 | [а – в + с = 0, то х1 = –1, х2 = – ] |
| Г) 4х2 + 12х + 5 = 0 | [метод переброски х1 = – , х2 = – ] |
| Д) Составьте квадратное уравнение, если известны его корни: | |
| х1 = 5, х2 = –6 | [ х2 + х –30 = 0] |
х1 = 2, х2 =  |
[ х2 – (2 – ) х + 2 = 0] |
Доказательство теоремы Виета и свойств числовых коэффициентов уравнения.
Теорема Виета.
Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при х2; произведение корней этого уравнения равно свободному члену деленному на коэффициент при х2.
х1 + х2 = –
х1
х2 =
.
Доказательство.
Т.к. квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0 имеет корни х1 и х2, то справедливо тождество ах2 + вх + с = а(х – х1)(х – х2).
Раскроем скобки в правой части этого тождества:
х2 + 
х
– х2х + х1х2,
отсюда следует, что х1 + х2 = – 
и х1* х2
= . Что и
требовалось доказать.
Обратная теорема Виета.
Если выполняются равенства х1 + х2 =
– и х1х2 = , то числа х1 и х2
являются корнями уравнения ах2 + вх + с = 0.
Свойства коэффициентов 1.
Пусть дано квадратное уравнение ах2 + вх +
с = 0, где а
0. Если а + в + с
= 0, то х1 = 1, х2 = .
Доказательство.
ах2 + вх + с = 0, а0
Разделим обе части уравнения на а0, получим приведенное квадратное
уравнение х2 + 
.
| Согласно теореме Виета |  |
х1 + х2 = – |
х1 |
| По условию а + в + с = 0, откуда в = – а – с. Значит | |
х1 + х2 = –  = 1 +  |
| х1* х2 = 1 * |
Получим х1 = 1, х2 = 
.
Свойство коэффициентов 2.
Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0 а
– в + с = 0, то х1 = – 1, х2 = – .
Доказывается аналогично.
В итоге на доске открывается таблица:
Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
| Уравнение | Условие | Заключение | Пример |
| ах2 + вх + с = 0 | х1 и х2 | х1 + х2 = – , х1 * х2 = |
х1 = 7 +  ; х2 = 2 – х1 + х2 = 9; х1 |
| ах2 + вх + с = 0 | х1 + х2 = – , х1 * х2 = |
х1 и х2 корни | х2 + 5х + 6 = 0 х1 = – 2, х2 = – 3 |
| ах2 + вх + с = 0 | а + в + с = 0 | х1 = 1, х1 = |
1998х2 – 907х – 1091 = 0 х1 = 1, х2
= |
| ах2 + вх + с = 0 | а – в + с = 0 | х1 = – 1, х1 = – |
127х2 + 250х + 123 = 0 х1 = – 1, х1
= – |
| ах2 + вх + с = 0 | а2х2 + авх + ас = 0 у2 + в1у + с1 = 0 у1, у2 |
х1 =  х2 = |
4х2 + 12х + 5 = 0 у2 + 12у + 20 = 0 х1 = – у1 = – 2, у2 = – 10. |
,
х2 = – 
;Вывод:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе в, в знаменателе а.
II. Решение интересных заданий с применением теоремы Виета. Классу задается на дом подобрать по три интересных задания. Самые интересные решаются на уроке. №1 и №2 решаются на доске одновременно. №1 решается с полным комментированием, класс работает с учеником, который решает №1. №2 ученик рассказывает основные моменты.
1. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения х2 – 3e х? + 1 = 0.
Решение.
 |
х2 + 3х + 1 = 0; | х1 + х2 = – 3; | х1 * х2 = 1; |
| х2 – 3х + 1 = 0; | х3 + х4 = 3; | х1 * х2 = 1; |
х
+ х
+ х
+ х
= (х1 + х2)2 – 2х1х2 + (х3х4)2 – 2х3х4 = 9 – 2 + 9 – 2 = 14.
2. Пусть х1 и х2 – корни уравнения 2х2
– 7х + 1 = 0. Составьте квадратное уравнение,
корнями которого являются числа 
и 
.
Решение.
По теореме Виета х1 + х2 = 3,5; х1 * х2 = 0,5
Для составления квадратного уравнения с
заданными корнями и
воспользуемся теоремой, обратной теореме Виета,
для этого необходимо найти их сумму и
произведение:
=
=
= 150,5
=
= 2.
Искомое уравнение имеет вид
х2 + 150,5 + 2 = 0 или 2х2 – 301х + 4 = 0.
3. Корни уравнения х2 – вх – в = 0 таковы,
что х
+ х
+ хх = 7,5.
Решение.
х1 + х2 = b;
х1 * х2 = – b;
х
+
х
= (х
)(( х
– 3х
) + х
+ 3b) – b3 = b3 + 3b2 – b3 = 3b2 = 75.
3b2 = 75
b2 = 25
b1 = 5, b2 = – 5.
4. Пусть х1и х2 корни уравнения 3х2 + 14х – 4 = 0.
Установите, больше или меньше единицы значение дроби
.
Решение.
х1 + х2 = –
;
х1 * х2 = –
;
5. Для каких значений а разность корней уравнения 2х2 – (а + 1)х + а + 3 = 0 равна единице?
Решение.
х1 – х2 = 1 = > х1 = 1 + х2
х1 + х2 =
= > 1 + х1 + х2 =
х1 * х2 =
= > 2х2 + 1 =
= > х2 =
.
х1 = 1 +
х1 =
=
(а + 3)(а – 1) = 8а + 24
а2 + 3а – а – 3 – 8а – 24 = 0
а2 – 6а – 27 = 0
а1 = -3
а2 = 9.
Ответ: а1 = -3, а2 = 9.
III. Тест – самостоятельная по карточкам.
Вариант I.
Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).
Решите уравнение:
х2 + (
А) 2;
;
Б) -
-
;
В)
;
;
Г) нет правильных ответов.
Не решая квадратного уравнения 3х2-х-11 = 0,
составьте квадратное уравнение, корнями
которого являются числа 
и 
.
А) х2-
Б) х2-
В) х2 +
Г) х2 +
Вариант II.
Установите верный ответ из числа предложенных А), Б), В), Г).
1) Решите уравнение:
х2-(
А) 5;
Б) -
-
;
В) -
;
;
Г)
Не решая квадратного уравнения 2х2-5х-4 = 0,
составьте квадратное уравнение, корнями
которого являются числа и .
А) х2-
Б) х2-
В) х2 +
Г) х2 +
Проверка ответов через кодоскоп. Учащиеся меняются листочками с ответами, проверяют решение соседа и ставят оценку.
IV. Домашнее задание
Поменяться карточками с творческими заданиями.
VI. Итог урока